Рассматриваемая система массового обслуживания (СМО) представляет собой механизм, в котором при помощи специально разработанного для этого комплекса приборов, происходит удовлетворение разнообразных требований, поступающих в данную систему. Ключевым свойством этой системы является количественный параметр числа работающих (обслуживающих) приборов. Оно может колебаться от одного до бесконечности.

В соответствии с тем, имеется ли возможность ожидания обслуживания или нет, различают системы:

СМО, где не нашлось ни одного инструмента (прибора) для удовлетворения требования, поступившего в данный момент времени. В этом случае такое требование теряется;

Система массового обслуживания с ожиданием, которая содержит в себе такой накопитель требований, который способен принять их все, образуя при этом очередь;

Система с ограниченным по емкости накопителем, где эта ограниченность и определяет величину очереди требований, подлежащих удовлетворению. Здесь теряются те требования, которые не могут вместиться в накопитель.

Во всех СМО, выбор требования и его обслуживание производится на основе дисциплины обслуживания. В качестве примера таких моделей обслуживания могут быть:

FCFS/FIFO - система, в которой первое в очереди требование удовлетворяется первым;

LCFS/LIFO - СМО, где первым обслуживается последнее в очереди требование;

Модель random - система удовлетворения требований на основе случайного выбора.

Как правило, такая система имеет очень сложное строение.

Любая система массового обслуживания описывается с помощью следующих понятий и категорий:

Требование — формирование и предъявление запроса на обслуживание;

Входящий поток — все заявки на удовлетворение требований, поступающие в систему;

Время обслуживания — временной интервал, необходимый для полного обслуживания поступившей заявки;

Математическая модель — выраженная в математической форме и с помощью математического аппарата модель данной СМО.

Являясь сложным по структуре феноменом, система массового обслуживания представляет собой предмет теории вероятностей. В рамках этой обширной области выделяется несколько концепций, каждая из которых, это достаточно автономная теория массового обслуживания. В этих теориях, как правило, используется методология

Основоположником одной из самых первых современных СМО является А. Я. Хинчин, который обосновал концепцию потока однородных событий. Затем датский телеграфист, а впоследствии - ученый Агнер Эрланг, разработал свою концепцию (на примере работы телефонистов, ожидающих запроса на удовлетворение соединения), в которой уже выделил СМО с ожиданием и без ожидания.

Построение современных технологий массового обслуживания осуществляется преимущественно Есть также системы, исследование которых ведется но такой подход довольно сложен. К СМО относятся и те системы, которые можно исследовать при помощи методов статистики - статистического моделирования и статистического анализа.

Каждая такая система массового обслуживания априори предполагает, что имеются некоторые стандартные пути, по которым проходят заявки субъектов на удовлетворение. Эти заявки проходят через так называемые каналы обслуживания, которые многообразны по своему назначению и характеристикам. Заявки приходят преимущественно хаотично по времени, их много, поэтому устанавливать логические и причинные связи между ними чрезвычайно сложно. Научный вывод, на этом основании, состоит в том, что СМО, в своем подавляющем большинстве, функционируют на принципах случайности.

Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, а именно.

• СМО (системы массового обслуживания) - это модели систем , в которые в случайные моменты времени извне или изнутри поступают заявки (требования). Они должны тем или иным образом быть обслужены системой. Длительность обслуживания чаще всего случайна.
• СМО представляет собой совокупность обслуживающего оборудования и персонала при соответствующей организации процесса обслуживания.
• Задать СМО – это значит задать ее структуру и статистические характеристики последовательности поступления заявок и последовательности их обслуживания.

• показатели, характеризующие систему в целом: число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λ b ), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λ c ) в единицу времени и т.д.;
• вероятностные характеристики : вероятность того, что заявка будет обслужена (P обс) или получит отказ в обслуживании (P отк), что все приборы свободны (p 0) или определенное число их занято (p k ), вероятность наличия очереди и т.д.;
• экономические показатели : стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.

Многоканальная система с отказами

Смешанные системы

1. Система с ограничением на длину очереди .
   Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m – максимально возможноечисло мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала, хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления в систему заняты все каналы обслуживания и все места в очереди.
   Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».
2. Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди .
   Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Т ож (чаще всего это случайная величина). Если её время Т ож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Математическое описание СМО

• Ординарность . События следуют по одиночке (противоположность потоку, где события следуют группами).
• Стационарность . Вероятность попадания заданного числа событий на интервал времени Т зависит только от длины интервала и не зависит от того, где на оси времени находиться этот интервал.
• Отсутствие последействия . Для двух непересекающихся интервалов времени τ 1 и τ 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой интервал.

Введение........................................................................................................... 3

1 Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем 4

2 Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем 8

3 Процессы рождения и гибели.................................................................... 11

4 Основные понятия и классификация систем массового обслуживания... 14

5 Основные типы открытых систем массового обслуживания.................... 20

5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами.............. 20

5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами........... 21

5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди........................................................................................................................ 23

5.4 Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью........................................................................................................................ 26

5.5 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью........................................................................................................................ 27

5.6 Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью........................................................................................................................ 30

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди............................................. 32

6 Метод Монте-Карло................................................................................... 36

6.1 Основная идея метода............................................................................. 36

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины................................ 36

6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением................. 38

7 Исследование системы массового обслуживания..................................... 40

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении............................ 40

7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания........ 45

7.3 Выводы о работе исследуемой СМО..................................................... 50

8 Исследование видоизмененной СМО........................................................ 51

Заключение.................................................................................................... 53

Список использованных источников............................................................ 54

Введение

Темой моей дипломной работы является исследование системы массового обслуживания. В своем изначальном состоянии рассматриваемая мной СМО представляет собой один из классических случаев, а конкретно M/M/2/5 по принятому обозначению Кэндалла. После исследования системы были сделаны выводы о неэффективности ее работы. Были предложены методы оптимизации работы СМО, но с этими изменениями система перестает быть классической. Основная проблема при исследовании систем массового обслуживания заключается в том, что в реальности они могут быть исследованы с использованием классической теории массового обслуживания только в редких случаях. Потоки входящих и исходящих заявок могут оказаться не простейшими, следовательно, нахождение предельных вероятностей состояний с использованием системы дифференциальных уравнений Колмогорова невозможно, в системе могут присутствовать приоритетные классы, тогда расчет основных показателей СМО также невозможен.

Для оптимизации работы СМО была введена система из двух приоритетных классов и увеличено число обслуживающих каналов. В таком случае целесообразно применить методы имитационного моделирования, например метод Монте-Карло. Основная идея метода заключается в том, что вместо неизвестной случайной величины принимается ее математическое ожидание в достаточно большой серии испытаний. Производится разыгрывание случайной величины (в данном случае это интенсивности входящего и исходящего потоков) изначально равномерно распределенной. Затем осуществляется переход от равномерного распределения к показательному распределению, посредством формул перехода. Была написана программа на языке VisualBasic, реализующая этот метод.

1 Марковские цепи с конечным числом состояний и дискретным временем

Пусть некоторая система S может находиться в одном из состояний конечного (или счетного) множества возможных состояний S 1 , S 2 ,…, S n , а переход из одного состояния в другое возможен только в определенные дискретные моменты времени t 1 , t 2 , t 3 , называемые шагами.

Если система переходит из одного состояния в другое случайно, то говорят, что имеет место случайный процесс с дискретным временем.

Случайный процесс называется марковским, если вероятность перехода из любого состояния S i в любое состояние S j не зависит от того, как и когда система S попала в состояние S i (т.е. в системе S отсутствует последствие). В таком случае говорят, что функционирование системы S описывается дискретной цепью Маркова.

Переходы системы S в различные состояния удобно изображать с помощью графа состояний (рис. 1).

Рисунок 1 – Пример размеченного графа состояний

Вершины графа S 1 , S 2 , S 3 обозначают возможные состояния системы. Стрелка, направленная из вершины S i в вершину S j обозначает переход ; число, стоящее рядом со стрелкой, обозначает величину вероятности этого перехода. Стрелка, замыкающаяся на i-той вершине графа, обозначает, что система остается в состоянии S i с вероятностью, стоящей у стрелки.

Графу системы, содержащему n вершин, можно поставить в соответствие матрицу NxN, элементами которой являются вероятности переходов p ij между вершинами графа. Например, граф на рис. 1 описывается матрицей P:

называемой матрицей вероятностей переходов. Элементы матрицы p ij удовлетворяют условиям:

Элементы матрицы p ij – дают вероятности переходов в системе за один шаг. Переход

S i – S j за два шага можно рассматривать как происходящий на первом шаге из S i в некоторое промежуточное состояние S k и на втором шаге из S k в S i . Таким образом, для элементов матрицы вероятностей переходов из S i в S j за два шага получим:

В общем случае перехода за m шагов для элементов матрицы вероятностей переходов справедлива формула:

(3)

Получим два эквивалентных выражения для :

Пусть система S описывается матрицей вероятностей переходов Р:

Если обозначить через Р(m) матрицу, элементами которой являются рi вероятности переходов из S i в S j за m шагов, то справедлива формула

где матрица Р m получается умножением матрицы P саму на себя m раз.

Исходное состояние системы характеризуется вектором состояния системы Q(q i) (называемым также стохастическим вектором).

где q j - вероятность того, что исходным состоянием системы является S j состояние. Аналогично (1) и (2) справедливы соотношения

Обозначим через

вектор состояния системы после m шагов, где q j – вероятность того, что после m шагов система находится в S i состоянии. Тогда справедлива формула

Если вероятности переходов P ij остаются постоянными, то такие марковские цепи называются стационарными. В противном случае марковская цепь называется нестационарной.

2. Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем

Если система S может переходить в другое состояние случайным образом в произвольный момент времени, то говорят о случайном процессе с непрерывным временем. В отсутствии последействия такой процесс называется непрерывной марковской цепью. При этом вероятности переходов для любых i и j в любой момент времени равны нулю (в силу непрерывности времени). По этой причине вместо вероятности перехода вводится величина - плотность вероятности перехода из состояния в состояние , определяемая как предел:

Если величины не зависят от t, то марковский процесс называется однородным. Если за время система может изменить свое состояние не более чем один раз, то говорят, что случайный процесс является ординарным. Величину называют интенсивностью перехода системы из S i в S j . На графе состояний системы численные значения ставят рядом со стрелками, показывающими переходы в вершины графа.

Зная интенсивности переходов можно найти величины p 1 (t), p 2 (t),…, p n (t) – вероятности нахождения системы S в состояниях S 1 , S 2 ,…, S n соответственно. При этом выполняется условие:

Распределение вероятностей состояний системы, которое можно характеризовать вектором , называется стационарным, если оно не зависит от времени, т.е. все компоненты вектора являются константами.

Состояния S i и Sj называются сообщающимися, если возможны переходы .

Состояние S i называется существенным, если всякое S j , достижимое из S i , является сообщающимся с S i . Состояние S i называется несущественным, если оно не является существенным.

Если существуют предельные вероятности состояний системы:

,

не зависящие от начального состояния системы, то говорят, что при в системе устанавливается стационарный режим.

Система, в которой существуют предельные (финальные) вероятности состояний системы, называется эргодической, а протекающий в ней случайный процесс эргодическим.

Теорема 1. Если S i – несущественное состояние, то т.е. при система выходит из любого несущественного состояния.

Теорема 2. Чтобы система с конечным числом состояний имела единственное предельное распределение вероятностей состояний, необходимо и достаточно, чтобы все ее существенные состояния сообщались между собой.

Если случайный процесс, происходящий в системе с дискретными состояниями является непрерывной марковской цепью, то для вероятностей p 1 (t), р 2 (t),…, p n (t) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями Колмогорова. При составлении уравнений удобно пользоваться графом состояний системы. В левой части каждого из них стоит производная вероятности какого-то (j-го) состояния. В правой части – сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых возможен переход в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного (j-го) состояния, умноженная на вероятность данного (j-го) состояния.

3 Процессы рождения и гибели

Так называется широкий класс случайных процессов, происходящих в системе, размеченный граф состояний которой изображен на рис. 3.

Рисунок 2 – Граф состояний для процессов гибели и размножения

Здесь величины , ,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние слева направо, можно интерпретировать как интенсивности рождения (возникновения заявок) в системе. Аналогично, величины ,,…, – интенсивности переходов системы из состояния в состояние справа налево, можно интерпретировать как интенсивности гибели (выполнения заявок) в системе.

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, существует (в силу теоремы 2) предельное (финальное) распределение вероятностей состояний. Получим формулы для финальных вероятностей состояний системы.

В стационарных условиях для каждого состояния поток, входящий в данное состояние должен равняться потоку, исходящему из данного состояния. Таким образом, имеем:

Для состояния S 0:

Следовательно:

Для состояния S 1:

Следовательно:

С учетом того, что :

(4)

, ,…, (5)

4. Основные понятия и классификация систем массового обслуживания

Заявкой (или требованием) называется спрос на удовлетворение какой-либо потребности (далее потребности предполагаются однотипными). Выполнение заявки называется обслуживанием заявки.

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.

Поступление заявки в СМО называется событием. Последовательность событий, заключающихся в поступлении заявок в СМО, называется входящим потоком заявок. Последовательность событий, заключающихся в выполнении заявок в СМО, называется выходящим потоком заявок.

Поток заявок называется простейшим, если он удовлетворяет следующим условиям:

1) отсутствие последействия, т.е. заявки поступают независимо друг от друга;

2) стационарность, т.е. вероятность поступления данного числа заявок на любом временном отрезке зависит лишь от величины этого отрезка и не зависит от значения t 1 , что позволяет говорить о среднем числе заявок за единицу времени, λ, называемом интенсивностью потока заявок;

3) ординарность, т.е. в любой момент времени в СМО поступает лишь одна заявка, а поступление одновременно двух и более заявок пренебрежимо мало.

Для простейшего потока вероятность p i (t) поступления в СМО ровно i заявок за время t вычисляется по формуле:

(6)

т.е. вероятности распределены по закону Пуассона с параметром λt. По этой причине простейший поток называется также пуассоновским потоком.

Функция распределения F(t) случайного интервала времени T между двумя последовательными заявками по определению равна . Но , где – вероятность того, что следующая после последней заявки поступит в СМО по истечении времени t, т.е. за время t в СМО не поступит ни одна заявка. Но вероятность этого события находится из (6) при i = 0. Таким образом:

Плотность вероятности f(t) случайной величины T определяется формулой:

,

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины T равны соответственно:

Каналом обслуживания называется устройство в СМО, обслуживающее заявку. СМО, содержащее один канал обслуживания, называется одноканальной, а содержащее более одного канала обслуживания – многоканальной.

Если заявка, поступающая в СМО, может получить отказ в обслуживании (в силу занятости всех каналов обслуживания) и в случае отказа вынуждена покинуть СМО, то такая СМО называется СМО с отказами.

Если в случае отказа в обслуживании заявки могут вставать в очередь, то такие СМО называются СМО с очередью (или с ожиданием). При этом различают СМО с ограниченной и неограниченной очередью. Очередь может быть ограничена как по количеству мест, так и по времени ожидания. Различают СМО открытого и замкнутого типа. В СМО открытого типа поток заявок не зависит от СМО. В СМО замкнутого типа обслуживается ограниченный круг клиентов, а число заявок может существенно зависеть от состояния СМО (например, бригада слесарей – наладчиков, обслуживающих станки на заводе).

СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Если в СМО нет приоритета, то заявки отбираются из очереди в канал по различным правилам.

· Первым пришел – первым обслужен (FCFS – First Came – First Served)

· Последним пришел – первым обслужен (LCFS – Last Came – First Served)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью обслуживания (SPT/SJE)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей длительностью дообслуживания (SRPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью обслуживания (SEPT)

· Первоочередное обслуживание требований с кратчайшей средней длительностью дообслуживания (SERPT)

Приоритеты бывают двух типов – абсолютный и относительный.

Если требование в процессе обслуживания может быть удалено из канала и возвращено в очередь (либо вовсе покидает СМО) при поступлении требования с более высоким приоритетом, то система работает с абсолютным приоритетом. Если обслуживание любого требования, находящегося в канале не может быть прервано, то СМО работает с относительным приоритетом. Существуют также приоритеты, осуществляемые с помощью конкретного правила или набора правил. Примером может служить приоритет, изменяющийся с течением времени.

СМО описываются некоторыми параметрами, которые характеризуют эффективность работы системы.

– число каналов в СМО;

– интенсивность поступления в СМО заявок;

– интенсивность обслуживания заявок;

– коэффициент загрузки СМО;

– число мест в очереди;

– вероятность отказа в обслуживании поступившей в СМО заявки;

– вероятность обслуживания поступившей в СМО заявки (относительная пропускная способность СМО);

При этом:

(8)

А – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО в единицу времени (абсолютная пропускная способность СМО)

– среднее число заявок, находящихся в СМО

– среднее число каналов в СМО, занятых обслуживанием заявок. В тоже время это – среднее число заявок, обслуживаемых в СМО за единицу времени. Величина определяется как математическое ожидание случайного числа занятых обслуживанием n каналов.

, (10)

где – вероятность нахождения системы в S k состоянии.

– коэффициент занятости каналов

– среднее время ожидания заявки в очереди

– интенсивность ухода заявок из очереди

– среднее число заявок в очереди. Определяется как математическое ожидание случайной величины m – числа заявок, состоящих в очереди

(11)

Здесь – вероятность нахождения в очереди i заявок;

– среднее время пребывания заявки с СМО

– среднее время пребывания заявки в очереди

Для открытых СМО справедливы соотношения:

(12)

Эти соотношения называются формулами Литтла и применяются только для стационарных потоков заявок и обслуживания.

Рассмотрим некоторые конкретные типы СМО. При этом будет предполагаться, что плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями в СМО имеет показательное распределение (7), а все потоки являются простейшими.

5. Основные типы открытых систем массового обслуживания

5.1 Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Размеченный граф состояний одноканальной СМО представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Граф состояний одноканальной СМО

Здесь и – интенсивность потока заявок и выполнения заявок соответственно. Состояние системы S o обозначает, что канал свободен, а S 1 – что канал занят обслуживанием заявки.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для такой СМО имеет вид:

где p o (t) и p 1 (t) – вероятности нахождения СМО в состояниях So и S1 соответственно. Уравнения для финальных вероятностей p o и p 1 получим, приравнивая нулю производные в первых двух уравнениях системы. В результате получим:

(14)

(15)

Вероятность p 0 по своему смыслу есть вероятность обслуживания заявки p обс, т. к. канал является свободным, а вероятность р 1 по своему смыслу является вероятностью отказа в обслуживании поступающей в СМО заявки р отк, т. к. канал занят обслуживанием предыдущей заявки.

5.2 Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Пусть СМО содержит n каналов, интенсивность входящего потока заявок равна , а интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна . Размеченный граф состояний системы изображён на рисунке 4.

Рисунок 4 – Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояние S 0 означает, что все каналы свободны, состояние S k (k = 1, n) означает, что обслуживанием заявок заняты k каналов. Переход из одного состояния в другое соседнее правое происходит скачкообразно под воздействием входящего потока заявок интенсивностью независимо от числа работающих каналов (верхние стрелки). Для перехода системы из одного состояния в соседнее левое неважно, какой именно канал освободится. Величина характеризует интенсивность обслуживания заявок при работе в СМО k каналов (нижние стрелки).

Сравнивая графы на рис. 3 и на рис. 5 легко увидеть, что многоканальная СМО с отказами является частным случаем системы рождения и гибели, если в последней принять и

(16)

При этом для нахождения финальных вероятностей можно воспользоваться формулами (4) и (5). С учётом (16) получим из них:

(17)

(18)

Формулы (17) и (18) называются формулами Эрланга – основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании заявки р отк равна вероятности того, что все каналы заняты, т.е. система находится в состоянии S n . Таким образом,

(19)

Относительную пропускную способность СМО найдём из (8) и (19):

(20)

Абсолютную пропускную способность найдём из (9) и (20):

Среднее число занятых обслуживанием каналов можно найти по формуле (10), однако сделаем это проще. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок, то можно найти по формуле:

5.3 Одноканальная система массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

В СМО с ограниченной очередью число мест m в очереди ограничено. Следовательно, заявка, поступившая в момент времени, когда все места в очереди заняты, отклоняется и покидает СМО. Граф такой СМО представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 – Граф состояний одноканальной СМО с ограниченной очередью

Состояния СМО представляются следующим образом:

S 0 – канал обслуживания свободен,

S 1 – канал обслуживания занят, но очереди нет,

S 2 – канал обслуживания занят, в очереди одна заявка,

S k +1 – канал обслуживания занят, в очереди k заявок,

S m +1 – канал обслуживания занят, все m мест в очереди заняты.

Для получения необходимых формул можно воспользоваться тем обстоятельством, что СМО на рисунок 5 является частным случаем системы рождения и гибели, представленной на рисунке 2, если в последней принять и

(21)

Выражения для финальных вероятностей состояний рассматриваемой СМО можно найти из (4) и (5) с учётом (21). В результате получим:

При р = 1 формулы (22), (23) принимают вид

При m = 0 (очереди нет) формулы (22), (23) переходят в формулы (14) и (15) для одноканальной СМО с отказами.

Поступившая в СМО заявка получает отказ в обслуживании, если СМО находится в состоянии S m +1 , т.е. вероятность отказа в обслуживании заявки равна:

Относительная пропускная способность СМО равна:

Среднее число заявок, стоящих в очереди L оч, находится по формуле

и может быть записано в виде:

(24)

При формула (24) принимает вид:

– среднее число заявок, находящихся в СМО, находится по формуле(10)

и может быть записано в виде:

(25)

При , из (25) получим:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди находится по формулам (12) и (13) соответственно.

5.4 Одноканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Примером такой СМО может служить директор предприятия, вынужденный рано или поздно решать вопросы, относящиеся к его компетенции, или, например, очередь в булочной с одним кассиром. Граф такой СМО изображён на рисунке 6.

Рисунок 6 – Граф состояний одноканальной СМО с неограниченной очередью

Все характеристики такой СМО можно получить из формул предыдущего раздела, полагая в них . При этом необходимо различать два существенно разных случая: а) ; б) . В первом случае, как это видно из формул (22), (23), р 0 = 0 и p k = 0 (при всех конечных значениях k). Это означает, что при очередь неограниченно возрастает, т.е. этот случай практического интереса не представляет.

Рассмотрим случай, когда . Формулы (22) и (23) при этом запишутся в виде:

Поскольку в СМО отсутствует ограничение на длину очереди, то любая заявка может быть обслужена, т.е.

Абсолютная пропускная способность равна:

Среднее число заявок в очереди получим из формулы (24) при :

Среднее число обслуживаемых заявок есть:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяются формулами (12) и (13).

5.5 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью

Пусть на вход СМО, имеющей каналов обслуживания, поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью . Интенсивность обслуживания заявки каждым каналом равна , а максимальное число мест в очереди равно .

Граф такой системы представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 – Граф состояний многоканальной СМО с ограниченной очередью

– все каналы свободны, очереди нет;

– заняты l каналов (l = 1, n), очереди нет;

Заняты все n каналов, в очереди находится i заявок (i = 1, m).

Сравнение графов на рисунке 2 и рисунке 7 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5). В результате получим:

(26)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все каналы заняты, т.е. в системе находятся либо n, либо (n+1),…, либо (n + m– 1) заявок. Т.к. эти события несовместны, то вероятность образования очереди p оч равна сумме соответствующих вероятностей :

(27)

Относительная пропускная способность равна:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется по формуле (11) и может быть записано в виде:

(28)

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.6 Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью

Граф такой СМО изображен на рисунке 8 и получается из графа на рисунке 7 при .

Рисунок 8 – Граф состояний многоканальной СМО с неограниченной очередью

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при . При этом следует иметь в виду, что при вероятность р 0 = р 1 =…= p n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай . При из (26) получим:

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

Из (27) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки:

Абсолютная пропускная способность:

Из формулы (28) при получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

Среднее число обслуживаемых заявок определяется формулой:

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (12) и (13).

5.7 Многоканальная система массового обслуживания с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в подразделе 5.5, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром , где – среднее время ожидания заявки в очереди, а – имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рисунке 9.

Рисунок 9 – Граф многоканальной СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в подразделе.

Сравнение графов на рис. 3 и 9 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (4) и (5) с учетом (29). В результате получим:

,

где . Вероятность образования очереди определяется формулой:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (11) и равно:

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (10) и равно:

Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки:

6. Метод Монте-Карло

6.1 Основная идея метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближённого значения) a * искомого числа a:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний.

6.2 Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть необходимо получить значения случайной величины , распределенной в интервале с плотностью . Докажем, что значения можно найти из уравнения

где – случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Т.е. выбрав очередное значение надо решить уравнение (30) и найти очередное значение . Для доказательства рассмотрим функцию:

Имеем общие свойства плотности вероятности:

Из (31) и (32) следует, что , а производная .

Значит, функция монотонно возрастает от 0 до 1. И любая прямая , где , пересекает график функции в единственной точке, абсциссу которой мы и принимаем за . Таким образом, уравнение (30) всегда имеет одно и только одно решение.

Выберем теперь произвольный интервал , содержащийся внутри . Точкам этого интервала отвечают ординаты кривой, удовлетворяющие неравенству . Поэтому, если принадлежит интервалу , то

Принадлежит интервалу , и наоборот. Значит: . Т.к. равномерно распределена в , то

, а это как раз и означает, что случайная величина , являющаяся корнем уравнения (30) имеет плотность вероятностей .

6.3 Случайная величина с экспоненциальным распределением

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) называется такой поток заявок, когда промежуток времени между двумя последовательными заявками есть случайная величина, распределенная на интервале с плотностью

Вычислим математическое ожидание:

После интегрирования по частям, получим:

.

Параметр есть интенсивность потока заявок.

Формулу для розыгрыша получим из уравнения (30), которое в данном случае запишется так: .

Вычислив интеграл, стоящий слева, получим соотношение . Отсюда, выражая , получим:

(33)

Т.к. величина распределена также как и , следовательно, формулу (33) можно записать в виде:

7 Исследование системы массового обслуживания

7.1 Проверка гипотезы о показательном распределении

Исследуемое мной предприятие представляет собой двухканальную систему массового обслуживания с ограниченной очередью. На вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивности обслуживания заявок каждым из каналов μ, а максимальное число мест в очереди m.

Начальные параметры:

Время обслуживания заявок имеет эмпирическое распределение, указанное ниже и имеет среднее значение .

Мной были проведены контрольные замеры времени обработки заявок, поступающих в данную СМО. Чтобы приступить к исследованию, необходимо установить по этим замерам закон распределения времени обработки заявок.

Таблица 6.1 – Группировка заявок по времени обработки

Выдвигается гипотеза о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, каждый i – й интервал заменяем его серединой и составляем последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2) Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3) Найти вероятности попадания X в частичные интервалы по формуле:

4) Вычислить теоретические частоты:

где - объем выборки

5) Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где S – число интервалов первоначальной выборки.

Таблица 6.2 – Группировка заявок по времени обработки с усредненным временным интервалом

Найдем выборочную среднюю:

2) Примем в качестве оценки параметра λ экспоненциального распределения величину, равную . Тогда:

()

3) Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле:

Для первого интервала:

Для второго интервала:

Для третьего интервала:

Для четвертого интервала:

Для пятого интервала:

Для шестого интервала:

Для седьмого интервала:

Для восьмого интервала:

4) Вычислим теоретические частоты:

Результаты вычислений заносим в таблицу. Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого вычислим разности , их квадраты, затем отношения . Суммируя значения последнего столбца, находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. По таблице критических точек распределения при уровне значимости и числу степеней свободы находим критическую точку

Таблица 6.3 – Результаты вычислений

Т.к. , то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.

7.2 Расчет основных показателей системы массового обслуживания

Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.

Граф данной системы:

Рисунок 10 – Граф состояний исследуемой СМО

Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.

(1)

Для состояния S 0:

Следовательно:

Для состояния S 1:

Следовательно:

С учетом того, что :

Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:

Решение этой системы будет иметь вид:

; ; ; ; ;

; .

Или, с учетом (1):

Коэффициент загруженности СМО:

С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:

Наивероятнейшее состояние – оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.

Вероятность образования очереди:

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:

Относительная пропускная способность равна:

Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529

Абсолютная пропускная способность:

СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:

В среднем все каналы СМО постоянно заняты.

Среднее число заявок, находящихся в СМО:

Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:

Среднее время пребывания заявки с СМО:

Среднее время пребывания заявки в очереди:

7.3 Выводы о работе исследуемой СМО

Наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО необслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания приходиться на ожидание в очереди. Оба канала постоянно заняты. Все это говорит о том, что в целом данная схема СМО неудовлетворительна.

Чтобы снизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов целесообразно увеличить до 4. Также необходимо сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки теперь будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей этой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования. Была написана программа на языке VisualBasic, реализующая метод Монте-Карло.

8 Исследование видоизмененной СМО

Пользователю при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов , распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За это же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО, исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому, который был получен с помощью методов теории массового обслуживания (см. приложение Б). Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений (см. приложение В). Высший приоритет был присвоен более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.

Заключение

В данной работе была исследована двухканальная СМО методами теории массового обслуживания, рассчитаны основные показатели, характеризующие ее работу. Был сделан вывод о том, что данный режим работы СМО не является оптимальным и были предложены методы, снижающие загруженность и повышающие пропускную способность системы. Для проверки этих методов была создана программа, моделирующая метод Монте-Карло, с помощью которой были подтверждены результаты вычислений для исходной модели СМО, а также рассчитаны основные показатели для видоизмененной. Погрешность алгоритма может быть оценена и снижена путем увеличения количества испытаний. Универсальность программы позволяет использовать ее при исследовании различных СМО, в том числе и классических.

1 Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: «Советское радио», 1972. - 552 с.

2 Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: «Высшая школа», 2003. - 479 с.

3 Лаврусь, О.Е. Теория массового обслуживания. Методические указания/ О.Е. Лаврусь, Ф.С. Миронов. - Самара: СамГАПС, 2002.- 38 с.

4 Саакян, Г.Р. Теория массового обслуживания: лекции / Г.Р. Саакян. - Шахты: ЮРГУЭС, 2006. - 27 с.

5 Авсиевич, А.В. Теория массового обслуживания. Потоки требований, системы массового обслуживания / А.В. Авсиевич, Е.Н. Авсиевич. - Самара: СамГАПС, 2004. - 24 с.

6 Черненко, В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3. т. Т. 3/ В.Д. Черненко. - Санкт – Петербург: Политехника, 2003. - 476 с.

7 Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. Пер.с англ./ Пер. И.И. Грушко; под ред. В.И. Нейман. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

8 Олзоева, С.И. Моделирование и расчет распределенных информационных систем. Учебное пособие / С.И. Олзоева. - Улан-Удэ: ВСГТУ, 2004. - 66 с.

9 Соболь, И.М. Метод Монте-Карло / И.М. Соболь. - М.: «Наука», 1968. - 64 с.

Раскрутка сайта в поисковых системах – вещь нужная, но далеко не единственная. Наряду с поисковой оптимизацией (SEO) существует еще и социальная (SMO и SMM), имеющая свои достоинства и недостатки. Но, несмотря на это, очень часто продвижение веб-ресурса ограничивается лишь раскруткой в поисковых системах, что в корне не верно – упускается неплохая возможность повысить посещаемость сайта.

Действия, необходимые для SMO и SMM, значительно отличаются от тех, что выполняются при SEO, поэтому социальная оптимизация заслуживает отдельного внимания. О том, что такое SMO и SMM, а также как правильно проводить социальную оптимизацию, и пойдет речь в этой статье.

Как известно, поисковая оптимизация используется для продвижения сайта в поисковых системах. И все работы, которые велись над сайтом, были направлены на оптимизацию под роботов. В SMO и SMM работы ведутся для оптимизации сайта под посетителей.

Социальное продвижение, как и , удобно разделить на две составляющие – внутреннее (СМО) и внешнее (СММ).

1.1 Задачи SMO

SMO (англ. Social media optimization – социальная медиа оптимизация) – это вид социальной оптимизации, задачей которого является удержание на сайте привлеченных с социальных сетей посетителей. Основное направление СМО – работа по улучшению сайта для пользователей.

СМО включает в себя лишь работы непосредственно с сайтом, не касающиеся продвижения в социальных сетях. Если проводить аналогию между SEO и SMO, то в этом случае СМО – это как внутренняя оптимизация сайта .

Достоинство SMO заключается в том, что все работы, проводящиеся на сайте, могут выполняться без денежных вложений (по аналогии с внутренней оптимизацией). Сюда входит ряд важных действий, которые должны быть проделаны на сайте.

1. Прежде всего, SMO включает в себя технический и сео-аудит сайта . Это первое, что должно быть сделано. Анализ веб-ресурса поможет выявить его слабые стороны и исправить положение. Более того, последующие работы во многом зависят от результатов аудита сайта, а его качество влияет на эффективность СМО. Подробно почитать об аудите сайта, а также о работах, входящих в него, можно .

2. SMO – работа с контентом (наполнением) сайта . Очень важно, чтобы информация была не только доступной, но и удобной для восприятия. Для этого нужно уметь грамотно составлять статьи, чтобы в них прослеживался смысл, чтобы каждое предложение было связано с предыдущими и последующими, чтобы в тексте присутствовало минимальное количество «воды» – только самое полезное. Для того чтобы статьи на сайте получались именно такими, важно придерживаться ряда рекомендаций, предложенных . От качества контента напрямую зависят поведенческие факторы, влияющие на позиции сайта в поисковых системах.

3. Социальная оптимизация – работа над дизайном сайта . Для этого важно подобрать правильный шаблон, красивый внешне и удобный в плане навигации для посетителей веб-ресурса. Идеальный вариант – заказ уникального шаблона, который будет сделан специально для конкретного сайта. Но если это невозможно, то даже бесплатную тему можно переделать так, чтобы она смотрелась очень неплохо.

Особое внимание стоит уделить цветовым гаммам: лучше отдавать предпочтение светло-синим тонам, нежели темным. Большое количество несочетающихся цветов будут раздражать посетителей, и те покинут сайт. Также важно подобрать фон, на котором будет располагаться текст.

Отдельно следует упомянуть о выборе правильных шрифтов, их цветов и размеров. Должны быть верно оформлены заголовки (теги

,

,

и т.д.), т.е. шрифт заголовка

должен быть меньше

, но больше

.

4. SMO – внутренняя перелинковка страниц сайта . Очень важно использовать этот элемент, улучшающий навигацию для посетителей и поисковых систем. Во-первых, этим вы улучшите поведенческие факторы сайта. Во-вторых, повысятся позиции сайта в ТОПе поисковых систем. Тонкости внутренней перелинковки, а также советы по ее использованию вы узнаете .

5. Проверка орфографических, стилистических и пунктуационных ошибок в текстовом контенте сайта . Казалось бы, столь неважный фактор не может влиять на отношение людей к веб-ресурсу, но на деле все наоборот. Дело в том, что посетители меньше доверяют сайтам, тексты на которых содержат много ошибок. Логика людей в этом случае такая: «ошибки в тексте ==> несерьезный ресурс ==> текст пишет неопытный человек ==> это сайт, не заслуживающий доверия». Во избежание этого необходимо проверять статьи на наличие различных ошибок, об этом можно почитать .

6. СМО – установка на сайт кнопок популярных социальных сетей . Еще один очень важный момент, который может принести огромную пользу. Речь идет о различных кнопках социальных сетей, позволяющих людям делиться ссылками на данный сайт. Всего одним нажатием человек порекомендует страницу веб-ресурса своим друзьям в социальной сети. Те, если будут заинтересованы, зайдут на эту страницу и, возможно, пригласят своих друзей. Цепная реакция приведет к росту посетителей с социальных сетей. О том, как устанавливаются кнопки социальных сетей на сайт, читайте .

7. Создание карты сайта . Это может быть отдельная страница веб-ресурса, на которой собраны ссылки на все остальные страницы. Что-то вроде содержания сайта. Очевидно, что людям будет удобнее искать информацию на веб-проекте, если у него будет удобная навигация. Карта сайта улучшает навигацию, поэтому ее следует создать и разместить в виде отдельной страницы. Подробнее об этом можно почитать .

8. SMO – установка формы комментариев от социальных сетей . Обычные комментарии для блога – уже не новость. Трудно найти сайт без них, если только это не конкретный коммерческий проект (хостинг-компания, сайт оператора сотовой связи, рекламное агентство и т.д.). Но помимо этого необходимо добавить на веб-ресурс комментарии от социальных сетей. Тогда люди, зарегистрированные в них, смогут сразу же комментировать статью/пост/запись. Комментарий вместе со ссылкой на страницу автоматически попадает на стену в их социальной сети – это дополнительная реклама. А любая реклама позволяет увеличить посетителей с социальных сетей и улучшить поведенческие факторы.

9. Установка формы подписки на сайт от социальных сетей . Тогда люди, имеющие аккаунты в социальных сетях (самые популярные – Вконтакте и Фейсбук), смогут подписываться на обновления сайта. И чем больше у сайта будет подписчиков, тем быстрее они будут расти (посетители увидят, как много людей подписаны, и тоже захотят подписаться). Эта форма подписки аналогична FeedBurner, но применима только для пользователей Вконтакте.

10. СМО – формирование блоков «лучшие статьи», «новое на сайте» и т.д . Продвигать сайт будет проще, если добавить в сайдбар (боковую колонку) сайта несколько блоков со ссылками на лучшие или на свежие статьи веб-ресурса. Пользователи любят читать популярные статьи, привлекающие их внимание. Поэтому такой блок поможет улучшить поведенческие факторы, задержать читателей на сайте и побудить их стать постоянными посетителями ресурса.

1.2 Задачи SMM

SMM (англ. Social Media Marketing – социальный медиа маркетинг) – это вид социальной оптимизации, направленный на привлечение посетителей с социальный сетей, включающий в себя «внешние» работы, не связанные с самим веб-сайтом.

В СММ входят работы по непосредственному привлечению людей с социальных сетей – т.е. работы с самими социальными сетями. Если проводить аналогию между SEO и SMM, то в этом случае СММ – это внешняя оптимизация сайта.

СММ позволяет привлечь на сайт большое число посетителей, но имеет существенный недостаток – необходимость в денежных затратах. В отличие от внешней сео-оптимизации, не допускающей «резких» действий (например, быстрого роста внешних ссылок), в СММ никаких ограничений нет, ведь работа идет не с поисковыми системами, а напрямую с людьми.

В SMM входит ряд работ, которые позволяют .

1. Рекламные кампании . Самый очевидный способ привлечь посетителей с социальных сетей – организовать рекламную кампанию, заказав контекстную рекламу в Контакте или другой социальной сети. Реклама настраивается таким образом (благодаря таргетингу), что показывается только целевой аудитории, а значит, эффект от нее будет максимальный. Данный вариант привлечения посетителей с социальных сетей подойдет интернет-магазинам и сайтам, рекламирующим товары или услуги.

2. Реклама в социальной сети . Если первый метод привлечения трафика существенно зависит от денежных вложений, то данный способ может быть вообще бесплатным. Речь идет о рекламе своего сайта в различных популярных группах (с разрешения администрации), на личных страницах, в играх и т.д. Для этого достаточно написать рекламное сообщение с ненавязчивым предложением посетить сайт (или его определенную страницу).

Эффективность метода зависит от объема проделанной работы и популярности групп/страниц, где был оставлен комментарий. И очень важно, чтобы сообщение не было расценено за спам, иначе есть риск быть забаненым в социальной сети.

3. Собственная группа/страница . Ни один серьезный сайт, продвигаемый в социальных сетях, не обходится без личной страницы в ведущих социалках (Фейсбук, Вконтакте). Раскрутив ее (а сделать это проще, нежели раскрутить сам сайт), потом можно будет через нее продвигать свой веб-ресурс. Туда можно добавлять анонсы новых статей и ссылки на интересные материалы сайта. С ростом группы будет увеличиваться и число посетителей веб-ресурса.

4. Покупка ссылок, сердечек, «лайков» и т.д . Не самый явный метод продвижения сайта в социальных сетях, но достаточно эффективный. Достоинство данного способа заключается в том, что продвигаясь в социальных сетях, вы автоматически улучшаете позиции в поисковых системах. Дело в том, что поисковики обращают внимание на количество «лайков» и ссылок с социальных сетей (несмотря на то, что они содрежат ).

Но основная задача – привлечь посетителей с социалок. Поэтому покупать сердечки и лайки лучше так, чтобы их размещали люди с большим числом активных друзей. Тогда высока вероятность, что они будут переходить по ссылкам на продвигаемый сайт.

2. Сравнение SEO и SMO (SMM)

Есть смысл разделять SEO на внешнюю (работа со ссылочной массой сайта, наращивание ) и внутреннюю (улучшение поведенческих факторов, оптимизация сайта, сео- и технический аудит). Внешняя оптимизация практически не может осуществляться без денежных вложений. Внутренняя, как правило, требует небольших затрат.

Социальная оптимизация также состоит из внешней (SMM) и внутренней (SMO). И в этом она очень похожа на поисковую.

Основное отличие SEO от SMO (SMM) – направленность. В случае СЕО – это поисковые системы, в случае социальной оптимизации – живые люди, потенциальные посетители. Другими словами, социальная оптимизация направлена на привлечение посетителей, в то время как поисковая – на улучшение позиций в социальных сетях.

2.1 Преимущества SMO и SMM

1. Направленность на пользователей . В случае SEO необходимо было оптимизировать сайт под поисковых роботов, а не под людей. Это приводило к тому, что идеальный с точки зрения поисковиков сайт был крайне неудобен для обычных людей. В случае SMO этой проблемы не возникает, т.к. оптимизация направлена на посетителей.

2. Лавинный (вирусный) эффект . Чем больше людей из соц. сетей узнают о сайте, тем быстрее он раскручивается. Это происходит из-за того, что сами пользователи участвуют в его продвижении (нажимая на кнопки соц. сетей, рекомендуя ресурс своим друзьям и т.д.). И чем больше новых посетителей, тем больше рекламы. В SEO такого эффекта практически не бывает.

3. Двойной эффект от продвижения . Помимо посетителей с социальных сетей вы также получаете и людей с поисковых систем. Это возможно благодаря тому, что поисковики обращают внимание на социальный трафик, и если он растет, то улучшаются позиции сайта в ТОПе поисковых систем. В случае же SEO сайт продвигается только в поисковиках, а из соц. сетей трафик не прибывает.

4. Более качественный трафик . Посетители, привлеченные с социальных сетей, оказываются более «целевыми», нежели привлеченные с поисковиков. А это значит, что поведенческие факторы сайта улучшаются с повышением социального трафика и ухудшаются с повышением поискового.

5. Больший эффект при меньших вложениях . Социальное продвижение SMO и SMM оказывается выгоднее, нежели поисковое, и эффект от него заметен намного раньше. К примеру, если сравнить стоимость одного привлеченного человека с социальной сети со стоимостью человека с поисковой системы, то в первом случае цифра окажется заметно ниже.

6. Простота раскрутки . В SEO есть куча «подводных камней», нюансов и особенностей. Чрезмерно быстрое продвижение вообще приводит к пессимизации сайта. В случае SMO такого не наблюдается.

2.2 Недостатки SMO и SMM

1. Недостаточная изученность . Социальное продвижение зародилось совершенно недавно, и знаний в этой области пока немного. Это не позволяет получать максимальную эффективность от SMO. Специалистов в этой области пока намного меньше, нежели «сеошников».

2. Большие временные затраты . В отличие от SEO, где основной акцент делается на деньги, в SMO преобладают временные затраты. Необходимо проделывать работу, отнимающую время (создание, раскрутка и поддержка группы; разработка рекламных кампаний и т.д.).

3. Необходимость в поддержке группы . Созданная в социальной сети группа нуждается в постоянном администрировании и всяческого рода поддержке. Можно, конечно, нанять человека для этого, но лучше владельца никто группой заниматься не сможет. А это отнимает время и силы.

4. Потребность в раскрутке . Группа, которая была создана для раскрутки сайта, сама нуждается в продвижении. И хотя оно намного проще, чем для сайта, все же это дополнительная трата времени.

Социальное продвижение SMO и SMM – перспективное направление, зародившееся совсем недавно. Нельзя упускать такой шанс привлечь дополнительных пользователей на сайт. Но ограничиваться лишь SMO тоже неправильно – грамотное продвижение включает в себя и социальную, и поисковую оптимизацию.

Применение различных математических методов к формализации. Акцент на сложную систему - непредсказуемую. Носитель неопределенности является человек.

Характерным примером стохастических (случайные, вероятностные) задач являются модели систем массового обслуживания.

СМО имеют повсеместное распространение. Это телефонные сети, автозаправочные станции, предприятия бытового обслуживания, билетные кассы, торговые мероприятия и т.д.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если такое имеется в блоке ожидания. Цикл функционирования СМО подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами СМО могут служить:

посты технического обслуживания автомобилей;

посты ремонта автомобилей;

аудиторские фирмы и т.д.

Основоположником теории массового обслуживания, в частности, теории очередей, является известный датский ученый А.К.Эрланг (1878-1929), который исследовал процессы обслуживания на телефонных станциях.

Системы, в которых имеют место процессы обслуживания, называют системами массового обслуживания (СМО).

Чтобы описать систему массового обслуживания, необходимо задать:

- входной поток заявок;

- дисциплину обслуживания;

- время обслуживания

- количество каналов обслуживания.

Входной поток требований (заявок) описывается путем выявления как вероятностного закона распределения моментов поступления требований в систему, так и количества требований в каждом поступлении.

При задании дисциплины обслуживания (ДО) необходимо описать правила постановки требований в очередь и обслуживания их в системе. При этом длина очереди может быть как ограниченной, так и неограниченной. В случае ограничений на длину очереди поступившая на вход СМО заявка получает отказ. Чаще всего используются ДО, определяемые следующими правилами:

первым пришел – первым обслуживаешься;

пришел последним - обслуживаешься первым; (коробочка для теннисных шариков, стек в технике)

случайный отбор заявок;

отбор заявок по критерию приоритетности.

Время обслуживания заявки в СМО является случайной величиной. Наиболее распространенным законом распределения является экспоненциальный закон.  - скорость обслуживания. =количество заявок обслуживания/ед. времени.

Каналы обслуживания , могут быть расположены параллельно и последовательно. При последовательном расположении каналов каждая заявка проходит обслуживание на всех каналах последовательно. При параллельном расположении каналов обслуживание производится на всех каналах одновременно по мере их освобождения.

Обобщенная структура СМО представлена на рис.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности СМО, и эффективностью ее функционирования.

Проблемы проектирования СМО.

К задачам определения характеристик структуры СМО относятся задача выбора количества каналов обслуживания (базовых элементов {Ф i }), задача определения способа соединения каналов (множества элементов связей {Hj}), а также задача определения пропускной способности каналов.

1). Выбор структуры . Если каналы работают параллельно, то проблема выбора Str сводится к определению количества каналов в обслуживающей части исходя из условия обеспечения работоспособности СМО. (Если очередь не является бесконечно растущей).

Отметим, что при определении количества каналов системы, в случае их параллельного расположения, необходимо соблюдать условие работоспособности системы . Обозначим:  - среднее число заявок, поступающих в единицу времени, т.е. интенсивность входного потока;  - среднее число заявок, удовлетворяемых в единицу времени, т.е. интенсивность обслуживания; S - количество каналов обслуживания. Тогда условие работоспособности СМО запишется

или
. Выполнение этого условия позволяет вычислить нижнюю границу количества каналов.

В случае, если
, система не справляется с очередью. Очередь при этом растет безгранично.

2). Необходимо определить критерий эффективности функционирования СМО с учетом затрат на потери времени как со стороны заявок, так и со стороны обслуживающей части.

В качестве показателей эффективности функционирования СМО рассматриваются следующие три основные группы показателей:

1. Показатели эффективности использования СМО.

Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это время.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок.

2. Показатели качества обслуживания заявок.

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, находящихся в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО - потребитель».

При выборе критерия эффективности функционирования СМО необходимо учесть двойственный подход к рассмотрению систем массового обслуживания. Например, работу универсама, как СМО, можно рассматривать с противоположных сторон. С одной, традиционно принятой, стороны покупатель, ожидающий свою очередь у кассы, представляет собой заявку на обслуживание, а кассир - канал обслуживания. С другой стороны, кассир, который ожидает покупателей, может быть рассмотрен в качестве заявки на обслуживание, а покупатель - обслуживающее устройство, способное удовлетворить заявку, т.е. подойти к кассе и прекратить вынужденный простой кассира. (традиционно – покупателей > чем кассиров, если кассиров > чем покупателей, они ждут покупателей).

С
учетом этого целесообразно минимизировать обе части СМО одновременно.

Применение такого двойственного подхода предполагает необходимость учета при формировании критерия эффективности не только перечисленных выше показателей в отдельности, но и одновременно нескольких показателей, отражающих интересы как обслуживающей, так и обслуживаемой подсистем СМО. Например, показано, что наиболее важным критерием эффективности в задачах массового обслуживания является суммарное время нахождения клиента в очереди, с одной стороны, и простоя каналов обслуживания - с другой.

Классификация систем массового обслуживания

1. По характеру обслуживания выделяют следующие виды СМО:

1.1. Системы с ожиданием или системы с очередью . Требования, поступившие в систему и не принятые немедленно к обслуживанию, накапливаются в очереди. Если каналы свободны, то заявка обслуживается. Если же все каналы заняты в момент поступления заявки, то очередная заявка будет обслужена после завершения обслуживания предыдущей. Такая система называется полнодоступной (с неограниченной очередью).

Существуют системы с автономным обслуживанием, когда обслуживание начинается в определенные моменты времени;

Системы с ограниченной очередью . (ремонт в гараже)

Системы с отказами . Все заявки, прибывшие в момент обслуживания заявки, получают отказ. (ГТС)

Системы с групповым входным потоком и групповым обслуживанием . В таких системах заявки поступают группами в моменты времени, обслуживание также происходит группами.

2. По количеству каналов обслуживания СМО подразделяются на следующие группы.

Одноканальные СМО.

Многоканальные СМО . Обслуживание очередной заявки может начаться до окончания обслуживания предыдущей заявки. Каждый канал действует как самостоятельное обслуживающее устройство.

3. По кругу обслуживаемых объектов различают два вида.

Замкнутые СМО. Замкнутая система массового обслуживания - это система массового обслуживания, в которой обслуженные требования могут возвращаться в систему и вновь поступать на обслуживание. Примерами замкнутой СМО являются ремонтные мастерские, сберегательные банки.

Открытые СМО.

4. По количеству этапов обслуживания различают однофазные и многофазные СМО.

Однофазные СМО - это однородные системы, которые выполняют одну и ту же операцию обслуживания.

Многофазные СМО - это системы, в которых каналы обслуживания расположены последовательно и выполняют различные операции обслуживания. Примером многофазной СМО являются станции технического обслуживания автомобилей.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего СМО выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.