5 примеров на вычитание с разными знаменателями. Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

На данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Для этого дроби необходимо привести к общему знаменателю. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. При этом мы уже умеем приводить алгебраические дроби к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями - одна из наиболее важных и сложных тем в курсе 8 класса. При этом данная тема будет встречаться во многих темах курса алгебры, которые вы будете изучать в дальнейшем. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров.

Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

Наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ: .

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

Пример 2. Сложить дроби: .

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: и дополнительные множители для каждой из них.

Ответ: .

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями :

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ: .

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

Ответ: .

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

Ответ: .

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Пример 7. Упростить: .

Решение:

Ответ: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Пример 8. Упростить: .

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему - сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями

Сфор-му-ли-ру-ем пра-ви-ло сло-же-ния (вы-чи-та-ния) ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми (оно сов-па-да-ет с ана-ло-гич-ным пра-ви-лом для обык-но-вен-ных дро-бей): То есть для сло-же-ния или вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ-хо-ди-мо со-ста-вить со-от-вет-ству-ю-щую ал-геб-ра-и-че-скую сумму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель оста-вить без из-ме-не-ний.

Это пра-ви-ло мы раз-бе-рём и на при-ме-ре обык-но-вен-ных дро-бей, и на при-ме-ре ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

Примеры применения правила для обыкновенных дробей

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Сло-жим чис-ли-те-ли дро-бей, а зна-ме-на-тель оста-вим таким же. После этого раз-ло-жим чис-ли-тель и зна-ме-на-тель на про-стые мно-жи-те-ли и со-кра-тим. По-лу-чим: .

При-ме-ча-ние: стан-дарт-ная ошиб-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ют при ре-ше-нии по-доб-но-го рода при-ме-ров, за-клю-ча-ет-ся в сле-ду-ю-щем спо-со-бе ре-ше-ния: . Это гру-бей-шая ошиб-ка, по-сколь-ку зна-ме-на-тель оста-ёт-ся таким же, каким был в ис-ход-ных дро-бях.

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние

Дан-ная за-да-ча ничем не от-ли-ча-ет-ся от преды-ду-щей: .

Примеры применения правила для алгебраических дробей

От обык-но-вен-ных дро-бей пе-рей-дём к ал-геб-ра-и-че-ским.

При-мер 3. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:как уже го-во-ри-лось выше, сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей ничем не от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния обык-но-вен-ных дро-бей. По-это-му метод ре-ше-ния такой же: .

При-мер 4. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние

Вы-чи-та-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей от-ли-ча-ет-ся от сло-же-ния толь-ко тем, что в чис-ли-тель за-пи-сы-ва-ет-ся раз-ность чис-ли-те-лей ис-ход-ных дро-бей. По-это-му .

При-мер 5. Вы-честь дроби: .

Ре-ше-ние: .

При-мер 6. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

Примеры применения правила с последующим сокращением

В дроби, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-те сло-же-ния или вы-чи-та-ния, воз-мож-ны со-кра-ще-ния. Кроме того, не стоит за-бы-вать об ОДЗ ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей.

При-мер 7. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: .

При этом . Во-об-ще, если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей сов-па-да-ет с ОДЗ ито-го-вой, то его можно не ука-зы-вать (ведь дробь, по-лу-чен-ная в от-ве-те, также не будет су-ще-ство-вать при со-от-вет-ству-ю-щих зна-че-ни-ях пе-ре-мен-ных). А вот если ОДЗ ис-ход-ных дро-бей и от-ве-та не сов-па-да-ет, то ОДЗ ука-зы-вать необ-хо-ди-мо.

При-мер 8. Упро-стить: .

Ре-ше-ние: . При этом y (ОДЗ ис-ход-ных дро-бей не сов-па-да-ет с ОДЗ ре-зуль-та-та).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

Чтобы скла-ды-вать и вы-чи-тать ал-геб-ра-и-че-ские дроби с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-дём ана-ло-гию с обык-но-вен-ны-ми дро-бя-ми и пе-ре-не-сём её на ал-геб-ра-и-че-ские дроби.

Рас-смот-рим про-стей-ший при-мер для обык-но-вен-ных дро-бей.

При-мер 1. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Вспом-ним пра-ви-ло сло-же-ния дро-бей. Для на-ча-ла дроби необ-хо-ди-мо при-ве-сти к об-ще-му зна-ме-на-те-лю. В роли об-ще-го зна-ме-на-те-ля для обык-но-вен-ных дро-бей вы-сту-па-ет наи-мень-шее общее крат-ное (НОК) ис-ход-ных зна-ме-на-те-лей.

Опре-де-ле-ние

Наи-мень-шее на-ту-раль-ное число, ко-то-рое де-лит-ся од-но-вре-мен-но на числа и .

Для на-хож-де-ния НОК необ-хо-ди-мо раз-ло-жить зна-ме-на-те-ли на про-стые мно-жи-те-ли, а затем вы-брать все про-стые мно-жи-те-ли, ко-то-рые вхо-дят в раз-ло-же-ние обоих зна-ме-на-те-лей.

; . Тогда в НОК чисел долж-ны вхо-дить две двой-ки и две трой-ки: .

После на-хож-де-ния об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для каж-дой из дро-бей найти до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель (фак-ти-че-ски, по-де-лить общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель со-от-вет-ству-ю-щей дроби).

Затем каж-дая дробь умно-жа-ет-ся на по-лу-чен-ный до-пол-ни-тель-ный мно-жи-тель. По-лу-ча-ют-ся дроби с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми, скла-ды-вать и вы-чи-тать ко-то-рые мы на-учи-лись на про-шлых уро-ках.

По-лу-ча-ем: .

Ответ: .

Рас-смот-рим те-перь сло-же-ние ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла рас-смот-рим дроби, зна-ме-на-те-ли ко-то-рых яв-ля-ют-ся чис-ла-ми.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При-мер 2. Сло-жить дроби: .

Ре-ше-ние:

Ал-го-ритм ре-ше-ния аб-со-лют-но ана-ло-ги-чен преды-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брать общий зна-ме-на-тель дан-ных дро-бей: и до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из них.

Ответ: .

Итак, сфор-му-ли-ру-ем ал-го-ритм сло-же-ния и вы-чи-та-ния ал-геб-ра-и-че-ских дро-бей с раз-ны-ми зна-ме-на-те-ля-ми :

1. Найти наи-мень-ший общий зна-ме-на-тель дро-бей.

2. Найти до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли для каж-дой из дро-бей (по-де-лив общий зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан-ной дроби).

3. До-мно-жить чис-ли-те-ли на со-от-вет-ству-ю-щие до-пол-ни-тель-ные мно-жи-те-ли.

4. Сло-жить или вы-честь дроби, поль-зу-ясь пра-ви-ла-ми сло-же-ния и вы-чи-та-ния дро-бей с оди-на-ко-вы-ми зна-ме-на-те-ля-ми.

Рас-смот-рим те-перь при-мер с дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-ле ко-то-рых при-сут-ству-ют бук-вен-ные вы-ра-же-ния.

Обыкновенные дробные числа впервые встречают школьников в 5 классе и сопровождают их на протяжении всей жизни, так как в быту зачастую требуется рассматривать или использовать какой-то объект не целиком, а отдельными кусками. Начало изучения этой темы - доли. Доли - это равные части , на которые разделен тот или иной предмет. Ведь не всегда получается выразить, допустим, длину или цену товара целым числом, следует принять во внимание части или доли какой-либо меры. Образованное от глагола «дробить» - разделять на части, и имея арабские корни, в VIII веке возникло само слово «дробь» в русском языке.

Дробные выражения продолжительное время считали самым сложным разделом математики. В XVII веке, при появлении первоучебников по математике, их называли «ломаные числа», что очень сложно отображалось в понимании людей.

Современному виду простых дробных остатков, части которых разделены именно горизонтальной чертой, впервые поспособствовал Фибоначчи - Леонардо Пизанский. Его труды датированы в 1202 году. Но цель этой статьи - просто и понятно объяснить читателю, как происходит умножение смешанных дробей с разными знаменателями.

Умножение дробей с разными знаменателями

Изначально стоит определить разновидности дробей :

правильные;
неправильные;
смешанные.

Далее нужно вспомнить, как происходит умножение дробных чисел с одинаковыми знаменателями. Само правило этого процесса несложно сформулировать самостоятельно: результатом умножения простых дробей с одинаковыми знаменателями является дробное выражение, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель - произведение знаменателей данных дробей. То есть, по сути, новый знаменатель есть квадрат одного из существующих изначально.

При умножении простых дробей с разными знаменателями для двух и более множителей правило не меняется:

a/ b * c/ d = a*c / b*d.

Единственное отличие в том, что образованное число под дробной чертой будет произведением разных чисел и, естественно, квадратом одного числового выражения его назвать невозможно.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

В примерах применяются способы сокращения дробных выражений. Можно сокращать только числа числителя с числами знаменателя, рядом стоящие множители над дробной чертой или под ней сокращать нельзя.

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Как происходит перемножение

Предлагается несколько примеров для рассмотрения.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть , записать правило для этого действия можно формулой:

a * b/ c = a*b / c.

По сути, такое произведение есть сумма одинаковых дробных остатков, а количество слагаемых указывает это натуральное число. Частный случай:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

d * e/ f = e/ f: d.

Этим приемом полезно пользоваться, когда знаменатель делится на натуральное число без остатка или, как говорится, нацело.

Перевести смешанные числа в неправильные дроби и получить произведение ранее описанным способом:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

В этом примере участвует способ представления смешанной дроби в неправильную, его также можно представить в виде общей формулы:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

В интернете существует множество помощников, чтобы решать даже сложные математические задачи в различных вариациях программ. Достаточное количество таких сервисов предлагают свою помощь при счете умножения дробей с разными числами в знаменателях - так называемые онлайн-калькуляторы для расчета дробей. Они способны не только умножить, но и произвести все остальные простейшие арифметические операции с обыкновенными дробями и смешанными числами. Работать с ним несложно, на странице сайта заполняются соответствующие поля, выбирается знак математического действия и нажимается «вычислить». Программа считает автоматически.

Тема арифметических действий с дробными числами актуальна на всем протяжении обучения школьников среднего и старшего звена. В старших классах рассматривают уже не простейшие виды, а целые дробные выражения , но знания правил по преобразованию и расчетам, полученные ранее, применяются в первозданном виде. Хорошо усвоенные базовые знания дают полную уверенность в удачном решении наиболее сложных задач.

В заключение имеет смысл привести слова Льва Николаевича Толстого, который писал: «Человек есть дробь. Увеличить своего числителя - свои достоинства, - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - своё мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к своему совершенству».

Как известно из математики, дробное число состоит из числителя и знаменателя. Числитель расположен вверху, а знаменатель внизу.

Производить математические действия по сложению или вычитанию дробных величин с одним и тем же знаменателем достаточно просто. Нужно всего лишь уметь складывать или вычитать между собой цифры, находящиеся в числителе (сверху), а одинаковое нижнее число остается без изменений.

Для примера возьмем дробное число 7/9, здесь:

цифра «семь» сверху - числитель;
цифра «девять» снизу - знаменатель.

Пример 1 . Сложение:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Пример 2 . Вычитание:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Вычитание простых дробных величин, имеющих разный знаменатель

Чтобы выполнить математическое действие по вычитанию величин, имеющих разный знаменатель, надо первым делом привести их к единому знаменателю. При выполнении этой задачи необходимо придерживаться того правила, что этот общий знаменатель должен быть меньшим из всех возможных вариантов.

Пример 3

Даны две простые величины с разными знаменателями (нижними цифрами): 7/8 и 2/9.

Необходимо вычесть из первой величины вторую.

Решение состоит из нескольких действий:

1. Находимо найти общее нижнее число, т.е. то, что делится как на нижнюю величину первой дроби, так и второй. Это будет цифра 72, поскольку она кратна цифрам «восемь» и «девять».

2. Нижняя цифра каждой дроби увеличилась:

цифра «восемь» в дроби 7/8 увеличилось в девять раз - 8*9=72;
цифра «девять» в дроби 2/9 увеличилось в восемь раз - 9*8=72.

3. Если изменился знаменатель (нижняя цифра), значит, должен измениться и числитель (верхняя цифра). По существующему математическому правилу, верхнюю цифру надо увеличить ровно во столько же, что и нижнюю. То есть:

числитель «семь» в первой дроби (7/8) умножаем на цифру «девять» - 7*9=63;
числитель «два» во второй дроби (2/9) умножаем на цифру «восемь» - 2*8=16.

4. В результате действий у нас получились две новые величины, которые, однако, тождественны первоначальным.

первая: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
вторая: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Теперь допускается произвести вычитание одного дробного числа из другого:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Выполняя это действие, возвращаемся к теме вычитания дробей с одинаковыми нижними цифрами (знаменателями). А это значит, что сверху, в числителе, будет проведено действие вычитания, а нижняя цифра переносится без изменений.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Пример 4

Усложним задачу, взяв для решения несколько дробей с разными, но кратными цифрами внизу.

Даны величины: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Надо их отнять друг от друга в этой последовательности.

1. Приводим дроби вышеуказанным способом к общему знаменателю, которым будет цифра «24»:

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - эту последнюю величину оставляем без изменения, поскольку знаменателем является общее число «24».

2. Выполняем вычитание всех величин:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Поскольку числитель и знаменатель получившейся дроби делятся на одно число, то их можно сократить, разделив на цифру «три»:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Ответ записываем так:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Пример 5

Дано три дроби с некратными знаменателями: 3/4; 2/7; 1/13.

Требуется найти разницу.

1. Приводим к общему знаменателю два первых числа, им будет цифра «28»:

¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Вычитаем первые две дроби между собой:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Вычитаем из получившегося значения третью заданную дробь:

4. Приводим числа к общему знаменателю. Если нет возможности подобрать одинаковый знаменатель более легким способом, то нужно лишь выполнить действия, умножив последовательно все знаменатели друг на друга, не забывая повышать и значение числителя на такую же цифру. В этом примере делаем так:

13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, где 13 - это нижняя цифра от 5/13;
5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, где 28 - нижняя цифра от 13/28.

5. Отнимаем полученные дроби:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Ответ: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Смешанные дробные числа

В примерах, которые были рассмотрены выше, применялись лишь правильные дроби.

Как пример:

8/9 - это правильная дробь;
9/8 - неправильная.

Неправильную дробь превратить в правильную нельзя, но есть возможность превратить ее в смешанную . Для чего верхнее число (числитель) делят на нижнее (знаменатель) и получают цифру с остатком. Получившееся при делении целое число так и записывают, остаток пишут в числитель вверху, а знаменатель, который снизу, остается прежним. Чтобы было понятнее, рассмотрим конкретный пример:

Пример 6

Переводим неправильную дробь 9/8 в правильную.

Для этого цифру «девять» делим на «восемь», получаем в результате смешанную дробь с целым числом и остатком:

9: 8 = 1 и 1/8 (по-другому это можно записать, как 1+1/8), где:

цифра 1 - получившееся при делении целое число;
другая цифра 1 - остаток;
цифра 8 - знаменатель, оставшийся неизменным.

Целое число называют еще натуральным.

Остаток и знаменатель - это новая, но уже правильная дробь.

При записи числа 1 его пишут перед правильной дробью 1/8.

Вычитание смешанных чисел с разным знаменателем

Из вышесказанного дадим определение смешанного дробного числа: «Смешанное число - это такая величина, которая равна сумме целого числа и правильной обыкновенной дроби. При этом целую часть называют натуральным числом , а то число, что в остатке, его дробной частью ».

Пример 7

Дано: две смешанные дробные величины, состоящие из целого числа и правильной дроби:

первая величина - 9 и 4/7, то есть (9+4/7);
вторая величина - 3 и 5/21, то есть (3+5/21).

Требуется найти разность между этими величинами.

1. Чтобы из 9+4/7 вычесть 3+5/21, нужно сначала вычесть друг из друга целые величины:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Полученный результат разницы двух смешанных чисел будет состоять из натурального (целого) числа 6 и правильной дроби 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Математики всех стран договорились, что знак «+» при написании смешанных величин можно опустить и оставить лишь целое число перед дробью без всякого знака.

Следующее действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, - вычитание. В рамках этого материала мы рассмотрим, как правильно вычислить разность дробей с одинаковыми и разными знаменателями, как вычесть дробь из натурального числа и наоборот. Все примеры будут проиллюстрированы задачами. Заранее уточним, что мы будем разбирать лишь случаи, когда разность дробей дает в итоге положительное число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями

Начнем сразу с наглядного примера: допустим, у нас есть яблоко, которое разделили на восемь частей. Оставим пять частей на тарелке и заберем две из них. Это действие можно записать так:

В итоге у нас осталось 3 восьмых доли, поскольку 5 − 2 = 3 . Получается, что 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Благодаря этому простому примеру мы увидели, как именно работает правило вычитания для дробей, знаменатели которых одинаковы. Сформулируем его.

Определение 1

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя одной вычесть числитель другой, а знаменатель оставить прежним. Это правило можно записать в виде a b - c b = a - c b .

Такую формулу мы будем использовать и в дальнейшем.

Возьмем конкретные примеры.

Пример 1

Вычтите из дроби 24 15 обыкновенную дробь 17 15 .

Решение

Мы видим, что эти дроби имеют одинаковые знаменатели. Поэтому все, что нам нужно сделать, – это вычесть 17 из 24 . Мы получаем 7 и дописываем к ней знаменатель, получаем 7 15 .

Наши подсчеты можно записать так: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Если необходимо, можно сократить сложную дробь или выделить целую часть из неправильной, чтобы считать было удобнее.

Пример 2

Найдите разность 37 12 - 15 12 .

Решение

Воспользуемся описанной выше формулой и подсчитаем: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Легко заметить, что числитель и знаменатель можно разделить на 2 (об этом мы уже говорили ранее, когда разбирали признаки делимости). Сократив ответ, получим 11 6 . Это неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть: 11 6 = 1 5 6 .

Как найти разность дробей с разными знаменателями

Такое математическое действие можно свести к тому, что мы уже описывали выше. Для этого просто приведем нужные дроби к одному знаменателю. Сформулируем определение:

Определение 2

Чтобы найти разность дробей, у которых разные знаменатели, необходимо привести их к одному знаменателю и найти разность числителей.

Рассмотрим на примере, как это делается.

Пример 3

Вычтите из 2 9 дробь 1 15 .

Решение

Знаменатели разные, и нужно привести их к наименьшему общему значению. В данном случае НОК равно 45 . Для первой дроби необходим дополнительный множитель 5 , а для второй – 3 .

Подсчитаем: 2 9 = 2 · 5 9 · 5 = 10 45 1 15 = 1 · 3 15 · 3 = 3 45

У нас получились две дроби с одинаковым знаменателем, и теперь мы легко можем найти их разность по описанному ранее алгоритму: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Краткая запись решения выглядит так: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45 .

Не стоит пренебрегать сокращением результата или выделением из него целой части, если это необходимо. В данном примере нам этого не нужно делать.

Пример 4

Найдите разность 19 9 - 7 36 .

Решение

Приведем указанные в условии дроби к наименьшему общему знаменателю 36 и получим соответственно 76 9 и 7 36 .

Считаем ответ: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Результат можно сократить на 3 и получить 23 12 . Числитель больше знаменателя, а значит, мы можем выделить целую часть. Итоговый ответ - 1 11 12 .

Краткая запись всего решения - 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Как вычесть из обыкновенной дроби натуральное число

Такое действие также легко свести к простому вычитанию обыкновенных дробей. Это можно сделать, представив натуральное число в виде дроби. Покажем на примере.

Пример 5

Найдите разность 83 21 – 3 .

Решение

3 – то же самое, что и 3 1 . Тогда можно подсчитать так: 83 21 - 3 = 20 21 .

Если в условии необходимо вычесть целое число из неправильной дроби, удобнее сначала выделить из нее целое, записав ее в виде смешанного числа. Тогда предыдущий пример можно решить иначе.

Из дроби 83 21 при выделении целой части получится 83 21 = 3 20 21 .

Теперь просто вычтем 3 из него: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Как вычесть обыкновенную дробь из натурального числа

Это действие делается аналогично предыдущему: мы переписываем натуральное число в виде дроби, приводим обе к единому знаменателю и находим разность. Проиллюстрируем это примером.

Пример 6

Найдите разность: 7 - 5 3 .

Решение

Сделаем 7 дробью 7 1 . Делаем вычитание и преобразуем конечный результат, выделяя из него целую часть: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Есть и другой способ произвести расчеты. Он обладает некоторыми преимуществами, которыми можно воспользоваться в тех случаях, если числители и знаменатели дробей в задаче – большие числа.

Определение 3

Если та дробь, которую нужно вычесть, является правильной, то натуральное число, из которого мы вычитаем, нужно представить в виде суммы двух чисел, одно из которых равно 1 . После этого нужно вычесть нужную дробь из единицы и получить ответ.

Пример 7

Вычислите разность 1 065 - 13 62 .

Решение

Дробь, которую нужно вычесть – правильная, ведь ее числитель меньше знаменателя. Поэтому нам нужно отнять единицу от 1065 и вычесть из нее нужную дробь: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Теперь нам нужно найти ответ. Используя свойства вычитания, полученное выражение можно записать как 1064 + 1 - 13 62 . Подсчитаем разность в скобках. Для этого единицу представим как дробь 1 1 .

Получается, что 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 .

Теперь вспомним про 1064 и сформулируем ответ: 1064 49 62 .

Используем старый способ, чтобы доказать, что он менее удобен. Вот такие вычисления вышли бы у нас:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 · 62 1 · 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Ответ тот же, но подсчеты, очевидно, более громоздкие.

Мы рассмотрели случай, когда нужно вычесть правильную дробь. Если она неправильная, мы заменяем ее смешанным числом и производим вычитание по знакомым правилам.

Пример 8

Вычислите разность 644 - 73 5 .

Решение

Вторая дробь – неправильная, и от нее надо отделить целую часть.

Теперь вычисляем аналогично предыдущему примеру: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Свойства вычитания при работе с дробями

Те свойства, которыми обладает вычитание натуральных чисел, распространяются и на случаи вычитания обыкновенных дробей. Рассмотрим, как использовать их при решении примеров.

Пример 9

Найдите разность 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Решение

Схожие примеры мы уже решали, когда разбирали вычитание суммы из числа, поэтому действуем по уже известному алгоритму. Сначала подсчитаем разность 25 4 - 3 2 , а потом отнимем от нее последнюю дробь:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Преобразуем ответ, выделив из него целую часть. Итог - 3 11 12 .

Краткая запись всего решения:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Если в выражении присутствуют и дроби, и натуральные числа, то рекомендуется при подсчетах сгруппировать их по типам.

Пример 10

Н айдите разность 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Решение

Зная основные свойства вычитания и сложения, мы можем сгруппировать числа следующим образом: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Завершим расчеты: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter