Как найти площадь треугольника с равными сторонами. Как найти площадь треугольника

Некоторые из задач по геометрии, а если точнее, то по планиметрии, требуют нахождения площади какой-то заданной фигуры. Площадь любой фигуры может быть как конечной целью задачи, так и промежуточным вычислением, необходимым для подстановки в более сложную формулу. Часто в таких задачах просят найти площадь треугольника. Начальные данные могут быть разными. В одних случаях известна какая-то сторона треугольника и значение высоты, проведенной к ней, в других - периметр треугольника и так далее.

Допустим, задано найти площадь треугольника, если известно три стороны. Для нахождения площади такого треугольника используется формула Герона. Чтобы определить площадь по этой формуле требуется сначала вычислить полупериметр треугольника (п) . Зная значения всех трех сторон, сделать это элементарно. Нужно суммировать все стороны треугольника - это будет его периметр, а затем разделить полученное значение на два. После этого надо от значения полупериметра вычесть по очереди значения длины каждой из трех заданных сторон треугольника, то есть из п вычесть а, потом из п вычесть b и, наконец, из п вычесть с.

Полученные три разности следует перемножить между собой и это произведение снова умножить на значение полупериметра. Проведя все перечисленные действия и получив результат умножения, надо из этого результата извлечь квадратный корень. То число, которое получится после извлечения квадратного корня, и будет площадью заданного треугольника. Если записать вкратце, то формула площади треугольника будет такая: площадь (S) =корень кв-ный из (п*(п-а) *(п-b) *(п-с)) . Как можно понять из формулы, решается вопрос нахождения треугольника с известными значениями сторон очень легко.

Например, как найти площадь треугольника, если известны 3 стороны: сторона а равняется 3 сантиметрам, сторона b равняется 4 сантиметрам и сторона с равняется 2 сантиметрам. Периметр этого треугольника будет равен а + b + с = 3 сантиметра + 4 сантиметра + 2 сантиметра = 9 см. Значит полупериметр равняется 9: 2=4,5 сантиметраПолучим: S=корень кв-ный из (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 4 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 2 сантиметра)) = 2,9 квадратных сантиметров

А что, если значения сторон не только известны, но также указано, что они равны по условию задачи? В таком случае, как найти площадь треугольника, если известны все стороны, а также они равны? Можно, конечно, тоже вычислить ее по рассмотренной выше формуле Герона, но зачем лишние расчеты, если для такого треугольника выведена другая формула, которая гораздо проще формулы Герона. По этой формуле нужно сначала высчитать кв-ный корень из числа 3, затем возвести во вторую степень значение длины стороны треугольника, перемножить это значение во второй степени с корнем из числа 3 и полученное в результате умножения произведение разделить на число 4. Получится площадь заданного треугольника. При записи эта формула выглядит так: S=(a^2*корень(3)) /4

Пусть имеется треугольник с одинаковой длиной сторон, равной 3 сантиметрам. По этой формуле можно получить площадь такого треугольника: S=(3^2*корень(3)) /4=3,9 квадратных сантиметров. Чтобы проверить, правильно или нет вычислено значение площади конкретного треугольника, можно провести дополнительные расчеты по ф-ле Герона и сверить полученные результаты.

Полупериметр (п) =(3+3+3) /2=4,5 сантиметра. По формуле Герона находится: S=корень кв-ный из (4,5 сантиметра * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра) * (4,5 сантиметра - 3 сантиметра)) = 3,9 квадратных сантиметров. Оба значения площади, найденные по разным формулам, совпадают. Значит площадь треугольника определена правильно. Решая какие-нибудь другие задачи, следует учитывать данные в условии и использовать соответствующую этим данным формулу.

Как вы можете помнить из школьной программы по геометрии, треугольник – это фигура, образованная из трех отрезков, соединяющихся тремя точками, не лежащими на одной прямой. Треугольник образует три угла, отсюда и название фигуры. Определение может быть и иным. Треугольник можно так же назвать многоугольником с тремя углами, ответ будет так же верным. Треугольники делятся по числу равных сторон и по величине углов в фигурах. Так выделяют такие треугольники, как равнобедренный, равносторонний и разносторонний, а так же прямоугольный, остроугольный и тупоугольный, соответственно.

Формул вычисления площади треугольника очень много. Выбирать, как найти площадь треугольника, т.е. какой формулой воспользоваться, только вам. Но стоит отметить лишь некоторые обозначения, которые используются во многих формулах вычисления площади треугольника. Итак, запоминайте:

S – это площадь треугольника,

a, b, c – это стороны треугольника,

h – это высота треугольника,

R – это радиус описанной окружности,

p – это полупериметр.

Вот основные обозначения, которые могут вам пригодиться, если вы совершенно забыли курс геометрии. Ниже будут приведены наиболее понятные и не сложные варианты вычисления неизвестной и загадочной площади треугольника. Это не сложно и пригодится как вам в домашних нуждах, так и для помощи своим детям . Давайте вспомним, как вычислить площадь треугольника проще простого:

В нашем случае площадь треугольника равна: S = ½ * 2,2 см. * 2,5 см. = 2,75 кв.см. Помните, что площадь измеряется в квадратных сантиметрах (кв.см.).

Прямоугольный треугольник и его площадь.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам (потому называется прямым). Прямой угол образуют две перпендикулярные линии (в случае с треугольником – два перпендикулярных отрезка). В прямоугольном треугольнике прямой угол может быть только один, т.к. сумма всех углов одного любого треугольника равна 180 градусам. Получается, что 2 других угла должны делить между собой оставшиеся 90 градусов, например 70 и 20, 45 и 45 и т.д. Итак, основное вы вспомнили, осталось узнать, как найти площадь прямоугольного треугольника. Представим, что перед нами вот такой прямоугольный треугольник, и нам необходимо найти его площадь S.

1. Самый простой способ определения площади прямоугольного треугольника высчитывается по следующей формуле:

В нашем случае, площадь прямоугольного треугольника равна: S = 2,5 см. * 3 см. / 2 = 3,75 кв.см.

В принципе, больше нет необходимости выверения площади треугольника иными способами, т.к. в быту пригодится и поможет только этот. Но существуют и варианты измерения площади треугольника через острые углы.

2. Для других способов вычисления необходимо иметь таблицу косинусов, синусов и тангенсов. Посудите сами, вот какие варианты вычисления площадей прямоугольного треугольника еще можно использовать:

Мы решили воспользоваться первой формулой и с небольшими помарками (чертили в блокноте и использовали старую линейку и транспортир), но у нас вышел верный расчет:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). У нас вышли такие результаты 3,6=3,7, но с учетом сдвига клеток, этот нюанс нам можно простить.

Равнобедренный треугольник и его площадь.

Если перед вами стоит задача вычислить формулу равнобедренного треугольника, то проще всего воспользоваться главной и как считается классической формулой площади треугольника.

Но для начала, перед тем, как найти площадь равнобедренного треугольника, узнаем, что это за фигура такая. Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. Эти две стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. Не путайте равнобедренный треугольник с равносторонним, т.е. правильным треугольником, у которого все три стороны равны. В таком треугольнике нет особых тенденций к углам, точнее к их величине. Однако углы у основания в равнобедренном треугольнике равны, но отличаются от угла между равными сторонами. Итак, первую и главную формулу вы уже знаете, осталось узнать, какие еще формулы определения площади равнобедренного треугольника известны:

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые

Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.

Школьная программа предусматривает обучение детей геометрии с раннего возраста. Одно из самых базовых знаний этой области - это нахождение площади различных фигур. В этой статье мы постараемся привести все возможные способы получения этой величины, от простейших до самых сложных.

Основа

Первая формула, которую изучают дети в школе, предусматривает нахождение площади треугольника через длину его высоты и основания. Высота - это отрезок, проведённый из вершины треугольника под прямым углом к противолежащей стороне, которая будет являться основанием. Как найти площадь треугольника по этим величинам?

Если V - высота, а O - основание, тогда площадь S=V*O:2.

Другой вариант получения искомой величины требует от нас знания длин двух сторон, а также величины угла между ними. Если у нас L и M - длины сторон, а Q - угол между ними, тогда вы можете получить площадь по формуле S=(L*M*sin(Q))/2.

Формула Герона

Кроме всех прочих ответов на вопрос о том, как вычислить площадь треугольника, есть формула, позволяющая получить необходимое нам значение, зная исключительно длины сторон. То есть, если нам известны длины всех сторон, то нам нет необходимости проводить высоту и вычислять её длину. Мы можем воспользоваться, так называемой формулой Герона.

Если M, N, L - это длины сторон, тогда мы можем найти площадь треугольника, следующим образом. P=(M+N+L)/2, тогда необходимая нам величина S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). В итоге, нам останется только вычислить корень.

Для прямоугольного треугольника формула Герона немного упрощается. Если M, L -это катеты, тогда S=(P-M)*(P-L).

Окружности

Другой способ, с помощью которого можно найти площадь треугольника, предусматривает использование вписанных и описанных окружностей. Чтобы получить необходимую нам величину с помощью вписанной окружности, нам потребуется узнать её радиус. Обозначим его "r". Тогда формула, по которой мы будем проводить вычисления, примет следующий вид: S=r*P, где P - это половина от суммы длин всех сторон.

В прямоугольном треугольнике эта формула немного преобразуется. Конечно, вы можете использовать и указанную выше, однако лучше взять для вычислений другое выражение. S=E*W, где E и W - это длины отрезков, на которые делится гипотенуза, точкой касания окружности.

Говоря об описанной окружности, найти площадь треугольника, также не составит труда. Введя обозначение R, как радиус описанной окружности, можно получить следующую формулу, необходимую для вычисления искомой величины: S= (M*N*L):(4*R). Где три первые величины - это стороны треугольника.

Говоря о равностороннем треугольнике, за счет ряда простейших математических преобразований можно получить немого изменённые формулы:

S=(3 1/2 *M 2)/4;

S=(3*3 1/2 *R 2)/4;

S=3*3 1/2 *r 2 .

Во всяком случае, любая формула, позволяющая найти площадь треугольника, может быть изменена в соответствии с данными поставленной задачи. Так что все написанные выражения не являются абсолютами. При решении задач поразмышляйте, чтобы найти наиболее подходящий способ решения.

Координаты

При изучении координатных осей задачи, стоящие перед учениками, усложняются. Однако не настолько, чтобы впадать в панику. Для того чтобы найти площадь треугольника по координатам вершин, вы можете воспользоваться всё той же, но немного изменённой формулой Герона. Для координат она приобретает следующий вид:

S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2 .

Впрочем, никто не запрещает, используя координаты, вычислить длины сторон треугольника и затем, по формулам, которые были написаны выше, посчитать площадь. Для преобразования координат в длину пользуйтесь следующей формулой:

l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2 .

Примечания

В статье использовались стандартные обозначения величин, которые применяются в условиях большинства задач. При этом степень "1/2" означает, что вам необходимо извлечь корень из всего выражения под скобками.

При выборе формулы будьте внимательнее. Некоторые из них теряют свою актуальность в зависимости от начальных условий. Например, формула описанной окружности. Она способна высчитать вам результат в любом случае, однако может быть такая ситуация, когда треугольника с заданными параметрами может вообще не существовать.

Если вы сидите дома и делаете домашнее задание, тогда можете воспользоваться онлайн-калькулятором. Многие сайты предоставляют возможность вычисления различных величин по заданным параметрам, причем не суть важно, каким именно. Вы просто можете вписать начальные данные в поля, и компьютер (сайт) посчитает за вас результат. Таким образом, вы сможете избежать ошибок, допущенных по невнимательности.

Надеемся наша статья ответила все ваши вопросы касательно вычисления площади самых разных треугольников, и вам не придётся искать допонительную информацию в другом месте. Удачи с учебой!

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника , у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

Тогда площадь треугольника равняется

Ответ: $15$.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ - длина стороны, $h$ - высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β}$

$h^2=γ^2-(\frac{γ^2-α^2+β^2}{2β})^2$

$h^2=\frac{(α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2)}{4β^2}$

$h^2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β^2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h^2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β^2}$

$h^2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β^2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$