Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед­ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя­щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова­нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.

ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА - утверждение Пьера Ферма (французский юрист и по совместительству математик) о том, что диофантово уравнение X n + Y n = Z n , при показателе степени n>2, где n = целое число, не имеет решений в целых положительных числах. Авторский текст: "Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем."

"Ферма и его теорема", Амадео Модильяни, 1920

Пьер придумал эту теорему 29 марта 1636-го года. А ещё через каких-то 29 лет скончался. Но тут-то всё и началось. Ведь состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма! Но ажиотаж вокруг теоремы был связан не только с этим, но и с профессиональным математическим азартом. Сам Ферма намекнул математическому сообществу, что знает доказательство - незадолго до смерти, в 1665-ом году он оставил на полях книги Диофанта Александрийского "Арифметика" следующую запись: "Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях."

Именно этот намёк (плюс, конечно, денежная премия) заставил математиков безуспешно тратить на поиск доказательства свои лучшие годы (по подсчётам американских учёных, только профессиональными математиками было потрачено на это 543 лет в общей сложности).

В какой-то момент (в 1901-ом) работа над теоремой Ферма приобрела сомнительную славу "работы, сродни поиску вечного двигателя" (появился даже уничижительный термин - "ферматисты"). И вдруг 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже английский профессор математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США) Эндрю Уайлс объявил, что наконец-то доказал Ферма!

Доказательство, правда, было не только сложным, но и очевидно ошибочным, на что Уайлсу было указано его коллегами. Но профессор Уайлс всю жизнь мечтал доказать теорему, поэтому не удивительно что в мае 1994-го он представил на суд учёного сообщества новый, доработанный вариант доказательства. В нём не было стройности, красоты, и оно по-прежнему было весьма сложным - тот факт, что математики целый год (!) это доказательство анализировали, что бы понять, не является ли оно ошибочным, говорит сам за себя!

Но в итоге доказательство Уайлса было признано верным. А вот Пьеру Ферма его тот самый намёк в "Арифметике" математики не простили, и, фактически, стали считать его лжецом. Собственно, первым, кто рискнул усомниться в моральной чистоплотности Ферма был сам Эндрю Уайлс, который заметил, что "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века." Затем и среди других ученых укрепилось мнение, что Ферма "не мог доказать свою теорему другим путём, а доказать её тем путем, по которому пошёл Уайлс, Ферма не мог по объективным причинам."

На самом деле, Ферма конечно же мог доказать её, и чуть позже это доказательство будет аналитиками "Новой Аналитической Энциклопедии" воссоздано. Но - что же это за такие "объективные причины"?
Такая причина на самом деле только одна: в те годы, когда жил Ферма, не могла появиться гипотеза Таниямы, на которой и построил свой доказательство Эндрю Уайлс, ведь модулярные функции, которыми оперирует гипотеза Таниямы были открыты только в конце XIX века.

Как доказал теорему сам Уайлс? Вопрос непраздный - это важно для понимания того, каким образом свою теорему мог доказать сам Ферма. Уайлс построил своё доказательство на доказательстве гипотезы Таниямы, выдвинутой в 1955-ом 28-летним японским математиком Ютакой Таниямой.

Гипотеза звучит так: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости), модулярные же функции, имеют четырехмерный вид. Т.е гипотеза Таниямы соединила совершенно разные понятия - простые плоские кривые и невообразимые четырёхмерные формы. Сам факт соединения разномерных фигур в гипотезе показался учёным абсурдным, именно поэтому в 1955-ом ей не придали значения.

Однако осенью 1984 года о "гипотезе Таниямы" вдруг снова вспомнили, и не просто вспомнили, но связали её возможное доказательство с доказательством теоремы Ферма! Это сделал математик из Саарбрюкена Герхард Фрей, который сообщил учёному сообществу, что "если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма".

Что сделал Фрей? Он преобразовал уравнение Ферма в кубическое, затем обратил внимание на то, что эллиптическая кривая, полученная при помощи преобразованного в кубическое уравнения Ферма не может быть модулярной. Однако гипотеза Таниямы утверждала, что любая эллиптическая кривая может быть модулярной! Соответственно, эллиптическая кривая, построенная из уравнения Ферма не может существовать, значит не может быть целых решений и теоремы Ферма, значит она верна. Ну а в 1993-ем Эндрю Уайлс попросту доказал гипотезу Таниямы, а значит и теорему Ферма.

Однако, теорему Ферма можно доказать значительно проще, на основе той же самой многомерности, которой оперировали и Танияма, и Фрей.

Для начала, обратим внимание на условие, оговорённое самим Пьером Ферма - n>2. Для чего было нужно это условие? Да лишь для того, что при n=2 частным случаем теоремы Ферма становится обычная теорема Пифагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , которое имеет бесчисленное множество целых решений - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 и так далее. Таким образом, теорема Пифагора является исключением из теоремы Ферма.

Но почему именно в случае с n=2 возникает подобное исключение? Всё становится на свои места, если увидеть взаимосвязь между степенью (n=2) и мерностью самой фигуры. Пифагоров треугольник - двухмерная фигура. Не удивительно, что Z (то есть гипотенуза), может быть выражена через катеты (X и Y), которые могут быть целыми числами. Размер угла (90) дает возможность рассматривать гипотенузу как вектор, а катеты - векторы, расположенные на осях и идущие из начала координат. Соответственно, можно выразить двумерный вектор, не лежащий ни на одной из осей, через векторы, на них лежащие.

Теперь, если перейти к третьему измерению, а значит к n=3, для того чтобы выразить трёхмерный вектор, будет недостаточно информации о двух векторах, а следовательно, выразить Z в уравнении Ферма можно будет как минимум через три слагаемых (три вектора, лежащих, соответственно, на трех осях системы координат).

Если n=4, значит, слагаемых должно быть уже 4, если n=5, то слагаемых должно быть 5 и так далее. В этом случае, целых решений будет хоть отбавляй. Например, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 и так далее (другие примеры для n=3, n=4 и так далее можете подобрать самостоятельно).

Что из всего этого следует? Из этого следует, что теорема Ферма действительно не имеет целых решений при n>2 - но лишь потому, что само по себе уравнение некорректно! С таким же успехом можно было бы пытаться выразить объём параллелепипеда через длины двух его рёбер - разумеется, это невозможно (целых решений никогда не будет найдено), но лишь потому, что для нахождения объёма параллелепипеда нужно знать длины всех трёх его рёбер.

Когда знаменитого математика Давида Гилберта спросили, какая задача сейчас для науки наиболее важна, он ответил "поймать муху на обратной стороне Луны". На резонный вопрос "А кому это надо?" он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить".

Другими словами, Ферма (юрист в первую очередь!) сыграл со всем математическим миром остроумную юридическую шутку, основанную на неверной постановке задачи. Он, фактически, предложил математикам найти ответ, почему муха на другой стороне Луны жить не может, а на полях "Арифметики" хотел написать лишь о том, что на Луне просто нет воздуха, т.е. целых решений его теоремы при n>2 быть не может лишь потому, что каждому значению n должно соответствовать определённое количество членов в левой части его уравнения.

Но была ли это просто шутка? Отнюдь. Гениальность Ферма заключается именно в том, что он фактически первый увидел взаимосвязь между степенью и мерностью математической фигуры - то есть, что абсолютно эквивалентно, количеством членов в левой части уравнения. Смысл его знаменитой теоремы был именно в том, чтобы не просто натолкнуть математический мир на идею этой взаимосвязи, но и инициировать доказательство существования этой взаимосвязи - интуитивно понятной, но математически пока не обоснованной.

Ферма как никто другой понимал, что установление взаимосвязи между, казалось бы, различными объектами чрезвычайно плодотворно не только в математике, но и в любой науке. Такая взаимосвязь указывает на какой-то глубокий принцип, лежащий в основе обоих объектов и позволяющий глубже понять их.

Например, первоначально физики рассматривали электричество и магнетизм как совершенно не связанные между собой явления, а в XIX веке теоретики и экспериментаторы поняли, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой. В результате было достигнуто более глубокое понимание и электричества, и магнетизма. Электрические токи порождают магнитные поля, а магниты могут индуцировать электричество в проводниках, находящихся вблизи магнитов. Это привело к изобретению динамомашин и электромоторов. В конце концов было открыто, что свет представляет собой результат согласованных гармонических колебаний магнитного и электрического полей.

Математика времён Ферма состояла из островов знания в море незнания. На одном острове обитали геометры, занимающиеся изучением форм, на другом острове теории вероятностей математики изучали риски и случайность. Язык геометрии сильно отличался от языка теории вероятностей, а алгебраическая терминология была чужда тем, кто говорил только о статистике. К сожалению, математика и наших времён состоит примерно из таких же островов.

Ферма первым понял, что все эти острова взаимосвязаны. И его знаменитая теорема - ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА - отличное тому подтверждение.

Судя по популярности запроса "теорема Ферма - краткое доказательство", эта математическая проблема действительно многих интересует. Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на краю копии "Арифметики", где он утверждал, что у него было ее решение, оно было слишком велико для того, чтобы поместиться на краю.

Первое успешное доказательство было опубликовано в 1995 году - это было полное доказательство теоремы Ферма, осуществленное Эндрю Уайлсом. Оно было описано как «ошеломляющий прогресс», и привело Уайлса к получению премии Абеля в 2016 году. Будучи описанным относительно кратко, доказательство теоремы Ферма также доказало большую часть теоремы модульности и открыло новые подходы к многочисленным другим проблемам и эффективным методам подъема модульности. Эти свершения продвинули математику на 100 лет вперед. Доказательство малой теоремы Ферма сегодня не является чем-то из ряда вон выходящим.

Неразрешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и поиск доказательства теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых заметных теорем в истории математики и до полного доказательства великой теоремы Ферма методом деления она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема», одной из особенностей которой является то, что она имеет наибольшее количество неудачных доказательств.

Историческая справка

Пифагорейское уравнение x 2 + y 2 = z 2 имеет бесконечное число положительных целочисленных решений для x, y и z. Эти решения известны как троицы Пифагора. Примерно в 1637 году Ферма написал на краю книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n является целым числом, большим чем 2. Хотя сам Ферма утверждал, что имеет решение своей задачи, он не оставил никаких подробностей о ее доказательстве. Элементарное доказательство теоремы Ферма, заявленное ее создателем, скорее было его хвастливой выдумкой. Книга великого французского математика была обнаружена спустя 30 лет после его смерти. Это уравнение, получившее название «Последняя теорема Ферма», в течение трех с половиной столетий оставалось нерешенным в математике.

Теорема в конечном итоге стала одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел, и с течением времени последняя теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема математики.

Краткая история доказательств

Если n = 4, что доказано самим Ферма, достаточно доказать теорему для индексов n, которые являются простыми числами. В течение следующих двух столетий (1637-1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен обновляла и доказывала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19 века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех правильных простых чисел, в результате чего нерегулярные простые числа анализировались индивидуально. Основываясь на работе Куммера и, используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить решение теоремы, имея цель охватить все основные показатели до четырех миллионов, но док-во для всех экспонентов по-прежнему было недоступным (это означает, что математики обычно считали решение теоремы невозможным, чрезвычайно сложным, или недостижимым с современными знаниями).

Работа Шимуры и Таниямы

В 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами, двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время, как гипотеза Танияма-Шимура-Вейля и (в конечном счете) как теорема модульности, она существовала сама по себе, без видимой связи с последней теоремой Ферма. Она сама по себе широко рассматривалась как важная математическая теорема, но при этом считалась (как и теорема Ферма) невозможной для доказательства. В то же время доказательство великой теоремы Ферма (методом деления и применения сложных математических формул) было осуществлено лишь полвека спустя.

В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. Полное подтверждение того, что две теоремы были тесно связаны, было опубликовано в 1986 году Кеном Рибетом, который основывался на частичном доказательстве Жана-Пьера Серра, который доказал все, кроме одной части, известной как «гипотеза эпсилона». Проще говоря, эти работы Фрея, Серра и Рибе показали, что если бы теорема о модульности могла быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, то и доказательство последней теоремы Ферма также рано или поздно будет открыто. Любое решение, которое может противоречить последней теореме Ферма, может также использоваться, чтобы противоречить теореме модульности. Поэтому, если теорема о модульности оказалась истинной, то по определению не может существовать решение, противоречащее последней теореме Ферма, а значит она вскоре должна была быть доказана.

Хотя обе теоремы были сложными проблемами для математики, считающимися нерешаемыми, работа двух японцев стала первым предположением о том, как последняя теорема Ферма могла бы быть продолжена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых. Важным для исследователей, выбравших тему исследования, был тот факт, что в отличие от последней теоремы Ферма, теорема модульности была основной активной областью исследований, для которой было разработано доказательство, а не только исторической странностью, поэтому время, затраченное на ее работу, могло быть оправдано с профессиональной точки зрения. Однако общее мнение заключалось в том, что решение гипотезы Таниямы-Шимуры оказалось нецелесообразным.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Характеристика работы

Доказательство теоремы Ферма Эндрю Уайлсом использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много разветвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем и теория Ивасавы, а также другие методы XX века, которые не были доступны Пьеру Ферма.

Две статьи, содержащие доказательства, составляют 129 страниц, которые писались в течение семи лет. Джон Коутс описал это открытие как одно из величайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его главным математическим свершением 20 века. Уайлс, чтобы доказать последнюю теорему Ферма путем доказательства теоремы модульности для частного случая полустабильных эллиптических кривых, разработал действенные методы подъема модульности и открыл новые подходы к многочисленным другим проблемам. За решение последней теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие награды. Когда стало известно, что Уайлс выиграл премию Абеля, Норвежская академия наук описала его достижение как «восхитительное и элементарное доказательство последней теоремы Ферма».

Как это было

Одним из людей, анализировавших первоначальную рукопись Уайлса с решением теоремы, был Ник Кац. В ходе своего обзора он задал британцу ряд уточняющих вопросов, которые заставили Уайлса признать, что его работа явно содержит пробел. В одной критической части доказательства была допущена ошибка, которая давала оценку для порядка конкретной группы: система Эйлера, используемая для расширения метода Колывагина и Флача, была неполной. Ошибка, однако, не сделала его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значительной и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы и которые затрагивали лишь одну часть рукописи. Тем не менее в этой первоначальной работе, опубликованной в 1993 году, действительно не было доказательства великой теоремы Ферма.

Уайлс провел почти год, пытаясь заново найти решение теоремы - сперва в одиночку, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором, но все, казалось, было тщетным. К концу 1993 года распространились слухи, что при проверке доказательство Уайльса потерпело неудачу, но насколько серьезной была эта неудача, известно не было. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы он раскрыл детали своей работы, независимо от того, была она выполнена или нет, чтобы более широкое сообщество математиков могло исследовать и использовать все, чего ему удалось добиться. Вместо того, чтобы быстро исправить свою ошибку, Уайлс лишь обнаружил дополнительные сложные аспекты в доказательстве великой теоремы Ферма, и наконец-то осознал, насколько сложной она является.

Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани того, чтобы бросить все и сдаться, и почти смирился с тем, что потерпел неудачу. Он готов был опубликовать свою неоконченную работу, чтобы другие могли на ней основываться и найти, в чем он ошибся. Английский математик решил дать себе последний шанс и в последний раз проанализировал теорему, чтобы попытаться понять основные причины, по которым его подход не работал, как вдруг внезапно осознал, что подход Колывагина-Флака не будет работать, пока он не подключит к процессу доказательства еще и теорию Ивасавы, заставив ее работать.

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Фалтинса) рассмотреть его новую работу, а 24 октября 1994 г. он представил две рукописи - «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма» и «Теоретические свойства кольца некоторых Гекке-алгебр», вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для оправдания исправленного шага в основной статье.

Эти две статьи были проверены и, наконец, опубликованы в качестве полнотекстового издания в журнале «Анналы математики» за май 1995 года. Новые расчеты Эндрю были широко проанализированы и научное сообщество в конце концов их признало. В этих работах была установлена теорема модульности для полустабильных эллиптических кривых - последний шаг к доказательству великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была создана.

История великой проблемы

Решение этой теоремы считалось самой большой проблемой в математике на протяжении многих столетий. В 1816 и в 1850 годах Французская академия наук предложила приз за общее доказательство великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила 3000 франков и золотую медаль Куммеру за исследования идеальных чисел, хотя он и не подавал заявку на приз. Еще одна премия была предложена ему в 1883 году Брюссельской академией.

Премия Вольфскеля

В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок (большую сумму для того времени) Академии наук Геттингена, чтобы эти деньги стали призом за полное доказательство великой теоремы Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, эти правила требовали опубликования доказательства в рецензируемом журнале. Приз должен был присуждаться лишь через два года после публикации. Срок конкурса должен был истечь 13 сентября 2007 - примерно через столетие после своего начала. 27 июня 1997 года Уайлс получил призовые деньги Вольфсхеля, а затем еще 50 000 долларов. В марте 2016 года он получил 600 000 евро от правительства Норвегии в рамках премии Абеля за «потрясающее доказательство последней теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающей новую эру в теории чисел». Это был мировой триумф скромного англичанина.

До доказательства Уайлса теорема Ферма, как уже говорилось ранее, считалась абсолютно нерешаемой на протяжении целых столетий. Тысячи неверных доказательств в разное время были представлены комитету Вольфскеля, составив примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только в первый год существования премии (1907-1908) было подано 621 заявок с претензией на решение теоремы, хотя к 1970-м годам их количество уменьшилось примерно до 3-4 заявок в месяц. По мнению Ф. Шлихтинга, рецензента Вольфсхеля, большинство доказательств были основаны на элементарных методах, преподаваемых в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Эйвса, последняя теорема Ферма установила своеобразный рекорд - это теорема, набравшая наибольшее количество неверных доказательств.

Лавры Ферма достались японцам

Как уже говорилось ранее, примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма открыли возможную связь между двумя, по-видимому, совершенно разными отраслями математики - эллиптическими кривыми и модульными формами. Полученная в результате их исследований теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы-Шимуры) гласит, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой.

Теория первоначально была отклонена как маловероятная или весьма спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие выводы японцев. В результате гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Она стала частью программы Langlands, представляющей собой список важных гипотез, требующих доказательства в будущем.

Даже после серьезного внимания, гипотеза была признана современными математиками как чрезвычайно трудная или, возможно, недоступная для доказательства. Теперь именно эта теорема ждет своего Эндрю Уайлса, который смог бы удивить весь мир ее решением.

Теорема Ферма: доказательство Перельмана

Не смотря на расхожий миф, российский математик Григорий Перельман, при всей своей гениальности, не имеет никакого отношения к теореме Ферма. Что, впрочем, никак не умаляет его многочисленных заслуг перед научным сообществом.

Великая Теорема Ферма Сингх Саймон

«Доказана ли Великая теорема Ферма?»

Был сделан лишь первый шаг на пути к доказательству гипотезы Таниямы-Шимуры, но избранная Уайлсом стратегия была блестящим математическим прорывом, результатом, который заслуживал публикации. Но в силу обета молчания, наложенного Уайлсом самим на себя, он не мог поведать о полученном результате остальному миру и не имел ни малейшего представления о том, кто еще мог совершить столь же значительный прорыв.

Уайлс вспоминает о своем философском отношении к любому потенциальному сопернику: «Никто не захочет затратить годы на доказательство чего-то и обнаружить, что кому-то другому удалось найти доказательство несколькими неделями раньше. Но, как ни странно, поскольку я пытался решить проблему, которая по существу считалась неразрешимой, я не очень опасался соперников. Я просто не надеялся, что мне или кому-нибудь другому придет в голову идея, которая приведет к доказательству».

8 марта 1988 года Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах газет набранные крупным шрифтом заголовки, гласившие: «Великая теорема Ферма доказана». Газеты «Washington Post» и «New York Times» сообщали, что тридцативосьмилетний Иоичи Мияока из токийского Метрополитен университета решил самую трудную математическую проблему в мире. Пока Мияока еще не опубликовал свое доказательство, но в общих чертах изложил его ход на семинаре в Институте Макса Планка по математике в Бонне. Дон Цагир, присутствовавший на докладе Мияоки, выразил оптимизм математического сообщества в следующих словах: «Представленное Мияокой доказательство необычайно интересно, и некоторые математики полагают, что оно с высокой вероятностью окажется правильным. Полной уверенности еще нет, но пока доказательство выглядит весьма обнадеживающим».

Выступая с докладом на семинаре в Бонне, Мияока рассказал о своем подходе к решению проблемы, которую он рассматривал с совершенно иной, алгебро-геометрической, точки зрения. За последние десятилетия геометры достигли глубокого и тонкого понимания математических объектов, в частности, свойств поверхностей. В 70-е годы российский математик С. Аракелов попытался установить параллели между проблемами алгебраической геометрии и проблемами теории чисел. Это было одно из направлений программы Ленглендса, и математики надеялись, что нерешенные проблемы теории чисел удастся решить, изучая соответствующие проблемы геометрии, которые также еще оставались нерешенными. Такая программа была известна под названием философии параллелизма. Те алгебраические геометры, которые пытались решать проблемы теории чисел, получили название «арифметических алгебраических геометров». В 1983 году они возвестили о своей первой значительной победе, когда Герд Фалтингс из Принстонского Института высших исследований внес существенный вклад в понимание теоремы Ферма. Напомним, что, по утверждению Ферма, уравнение

при n б?льших 2 не имеет решений в целых числах. Фалтингс решил, что ему удалось продвинуться в доказательстве Великой теоремы Ферма с помощью изучения геометрических поверхностей, связанных с различными значениями n . Поверхности, связанные с уравнениями Ферма при различных значениях n , отличаются друг от друга, но обладают одним общим свойством - у них всех имеются сквозные отверстия, или, попросту говоря, дыры. Эти поверхности четырехмерны, как и графики модулярных форм. Двумерные сечения двух поверхностей представлены на рис. 23. Поверхности, связанные с уравнением Ферма, выглядят аналогично. Чем больше значение n в уравнении, тем больше дыр в соответствующей поверхности.

Рис. 23. Эти две поверхности получены с использованием компьютерной программы «Mathematica». Каждая из них представляет геометрическое место точек удовлетворяющих уравнению x n + y n = z n (для поверхности слева n =3, для поверхности справа n =5). Переменные x и y здесь считаются комплексными

Фалтингсу удалось доказать, что, поскольку такие поверхности всегда имеют несколько дыр, связанное с ними уравнение Ферма могло бы иметь лишь конечное множество решений в целых числах. Число решений могло быть любым - от нуля, как предполагал Ферма, до миллиона или миллиарда. Таким образом, Фалтингс не доказал Великую теорему Ферма, но по крайней мере сумел отвергнуть возможность существования у уравнения Ферма бесконечно многих решений.

Пятью годами позже Мияока сообщил, что ему удалось продвинуться еще на один шаг. Ему тогда было двадцать с небольшим лет. Мияока сформулировал гипотезу относительно некоторого неравенства. Стало ясно, что доказательство его геометрической гипотезы означало бы доказательство того, что число решений уравнения Ферма не просто конечно, а равно нулю. Подход Мияоки был аналогичен подходу Уайлса в том, что они оба пытались доказать Великую теорему Ферма, связывая ее с фундаментальной гипотезой в другой области математики. У Мияоки это была алгебраическая геометрия, для Уайлса путь к доказательству лежал через эллиптические кривые и модулярные формы. К великому огорчению Уайлса, он все еще бился над доказательством гипотезы Таниямы-Шимуры, когда Мияока заявил о том, что располагает полным доказательством собственной гипотезы и, следовательно, Великой теоремы Ферма.

Через две недели после своего выступления в Бонне Мияока опубликовал пять страниц вычислений, составлявших суть его доказательства, и началась тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической геометрии во всех странах мира изучали, строка за строкой, опубликованные вычисления. Через несколько дней математики обнаружили в доказательстве одно противоречие, которое не могло не вызывать беспокойства. Одна из частей работы Мияоки приводила к утверждению из теории чисел, из которого, при переводе на язык алгебраической геометрии, получалось утверждение, противоречившее результату, полученному несколькими годами раньше. И хотя это не обязательно обесценивало все доказательство Мияоки, обнаруженное противоречие не вписывалось в философию параллелизма между теорией чисел и геометрией.

Еще через две недели Герд Фалтингс, проложивший путь Мияоке, объявил о том, что обнаружил точную причину кажущегося нарушения параллелизма - пробел в рассуждениях. Японский математик был геометром и при переводе своих идей на менее знакомую территорию теории чисел не был абсолютно строг. Армия специалистов по теории чисел предприняла отчаянные усилия залатать прореху в доказательстве Мияоки, но тщетно. Через два месяца после того, как Мияока заявил о том, что располагает полным доказательством Великой теоремы Ферма, математическое сообщество пришло к единодушному заключению: доказательство Мияоки обречено на провал.

Как и в случае прежних несостоявшихся доказательств, Мияоке удалось получить немало интересных результатов. Отдельные фрагменты его доказательства заслуживали внимания как весьма остроумные приложения геометрии к теории чисел, и в последующие годы другие математики воспользовались ими для доказательства некоторых теорем, но доказать Великую теорему Ферма этим путем не удалось никому.

Шумиха по поводу Великой теоремы Ферма вскоре утихла, и газеты поместили краткие заметки, в которых говорилось, что трехсотлетняя головоломка по-прежнему остается нерешенной. На стене станции нью-йоркской подземки на Восьмой стрит появилась следующая надпись, несомненно, вдохновленная публикациями в прессе по поводу Великой теоремы Ферма: «Уравнение xn + yn = zn не имеет решений. Я нашел поистине удивительное доказательство этого факта, но не могу записать его здесь, так как пришел мой поезд».