Vzhľadom na graf primitívnej funkcie nájdite počet riešení rovnice

51. Na obrázku je znázornený graf y=f "(x)- derivácia funkcie f(x), definovaný na intervale (− 4; 6). Nájdite úsečku bodu, v ktorom je dotyčnica ku grafu funkcie y=f(x) rovnobežne s čiarou y=3x alebo sa s ním zhoduje.

odpoveď: 5

52. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) f(x) f(x) pozitívne?

odpoveď: 7

53. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(x) a na osi x je vyznačených osem bodov: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. V koľkých z týchto bodov je funkcia f(x) negatívne?

odpoveď: 3

54. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(x) a desať bodov je vyznačených na osi x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. V koľkých z týchto bodov je funkcia f(x) pozitívne?

odpoveď: 6

55. Na obrázku je znázornený graf y=F(x f(x), definovaný na intervale (− 7; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)=0 na segmente [− 5;  2].

odpoveď: 3

56. Na obrázku je znázornený graf y=F(x) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f (X), definovaný na intervale (− 8; 7). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)= 0 na intervale [− 5;  5].

odpoveď: 4

57. Na obrázku je znázornený graf y=F(X) jeden z primitívnych derivátov nejakej funkcie f(X), definovaný na intervale (1;13). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f (X)=0 na segmente .

odpoveď: 4

58. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x)(dva lúče so spoločným východiskovým bodom). Pomocou obrázku vypočítajte F(−1)−F(−8), Kde F(x) f(x).

odpoveď: 20

59. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x) (dva lúče so spoločným východiskovým bodom). Pomocou obrázku vypočítajte F(−1)−F(−9), Kde F(x)- jedna z primitívnych funkcií f(x).

odpoveď: 24

60. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x). Funkcia

-jedna z primitívnych funkcií f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

odpoveď: 6

61. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y=f(x). Funkcia

Jedna z primitívnych funkcií f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Odpoveď: 14.5

rovnobežne s dotyčnicou ku grafu funkcie

Odpoveď: 0,5

Nájdite úsečku dotykového bodu.

odpoveď: -1

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť c.

odpoveď: 20

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť a.

Odpoveď: 0,125

je dotyčnicou ku grafu funkcie

Nájsť b berúc do úvahy, že úsečka dotykového bodu je väčšia ako 0.

Odpoveď: -33

67. Materiálny bod sa podľa zákona pohybuje v priamom smere

Kde X t- čas v sekundách, meraný od okamihu začiatku pohybu. V ktorom časovom bode (v sekundách) sa jeho rýchlosť rovnala 96 m/s?

odpoveď: 18

68. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách, meraný od okamihu začiatku pohybu. V akom časovom bode (v sekundách) bola jeho rýchlosť 48 m/s?

odpoveď: 9

69. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X t t=6 s.

odpoveď: 20

70. Hmotný bod sa podľa zákona pohybuje priamočiaro

Kde X- vzdialenosť od referenčného bodu v metroch, t- čas v sekundách meraný od začiatku pohybu. Nájdite jeho rýchlosť (v m/s) v danom čase t=3 s.

odpoveď: 59

Dobrý deň, priatelia! V tomto článku sa pozrieme na úlohy pre primitívne deriváty. Tieto úlohy sú zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Napriek tomu, že samotné sekcie - diferenciácia a integrácia - sú v kurze algebry dosť priestranné a vyžadujú si zodpovedný prístup k porozumeniu, ale samotné úlohy, ktoré sú zahrnuté v otvorená banka matematické úlohy budú na jednotnej štátnej skúške veľmi jednoduché a dajú sa vyriešiť v jednom alebo dvoch krokoch.

Je dôležité presne pochopiť podstatu primitívnej derivácie a najmä geometrický význam integrálu. Pozrime sa stručne na teoretické základy.

Geometrický význam integrálu

Stručne o integráli môžeme povedať toto: integrál je plocha.

Definícia: Nech je na súradnicovej rovine daný graf kladnej funkcie f definovanej na úsečke. Podgraf (alebo krivočiary lichobežník) je útvar ohraničený grafom funkcie f, priamkami x = a a x = b a osou x.

Definícia: Nech je daná kladná funkcia f, definovaná na konečnom segmente. Integrál funkcie f na segmente je oblasť jeho podgrafu.

Ako už bolo povedané F′(x) = f (x).Čo môžeme uzavrieť?

Je to jednoduché. Musíme určiť, koľko bodov je na tomto grafe, v ktorých F′(x) = 0. Vieme, že v tých bodoch, kde dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná s osou x. Ukážme tieto body na intervale [–2;4]:

Toto sú extrémne body danej funkcie F (x). Je ich desať.

odpoveď: 10

323078. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y = f (x) (dva lúče so spoločným začiatočným bodom). Pomocou obrázku vypočítajte F (8) – F (2), kde F (x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f (x).

Zapíšme si znova Newtonovu-Leibnizovu vetu:Nech f túto funkciu, F je jeho ľubovoľný primitívny prvok. Potom

A to, ako už bolo povedané, je oblasť podgrafu funkcie.

Problém teda spočíva v nájdení oblasti lichobežníka (interval od 2 do 8):

Nie je ťažké to vypočítať podľa buniek. Dostaneme 7. Znamienko je kladné, keďže obrazec sa nachádza nad osou x (alebo v kladnej polrovine osi y).

Aj v tomto prípade by sa dalo povedať toto: rozdiel v hodnotách primitívnych prvkov v bodoch je plocha obrázku.

odpoveď: 7

323079. Na obrázku je znázornený graf určitej funkcie y = f (x). Funkcia F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 je jedným z primitívnych derivátov funkcie y = f (x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Ako už bolo povedané o geometrickom význame integrálu, je to oblasť obrázku obmedzená grafom funkcie f (x), priamkami x = a a x = b a osou ox.

Veta (Newton-Leibniz):

Problém sa teda redukuje na kalkuláciu určitý integrál tejto funkcie v intervale od –11 do –9, alebo inými slovami, musíme nájsť rozdiel v hodnotách priradení vypočítaných v uvedených bodoch:

odpoveď: 6

323080. Na obrázku je znázornený graf nejakej funkcie y = f (x).

Funkcia F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je jedným z primitívnych derivátov funkcie f (x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Veta (Newton-Leibniz):

Problém nastáva pri výpočte určitého integrálu danej funkcie v intervale od –10 do –8:

odpoveď: 4 Môžete zobraziť .

Deriváty a pravidlá diferenciácie sú tiež v . Je potrebné ich poznať, nielen na riešenie takýchto úloh.

Môžete si tiež pozrieť informácie pomoci na webovej lokalite a.

Pozrite si krátke video, toto je úryvok z filmu „The Blind Side“. Dá sa povedať, že je to film o výchove, o milosrdenstve, o dôležitosti údajne „náhodných“ stretnutí v našich životoch... Ale tieto slová stačiť nebudú, odporúčam pozrieť si samotný film, vrelo odporúčam.

Prajem ti úspech!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je menšia ako nula.

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=9 a x=5. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 4 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-4; 10). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo Vašej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Riešenie

Ako je známe, funkcia f(x) klesá na tých intervaloch, v ktorých je derivácia f"(x) menšia ako nula. Vzhľadom na to, že je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z nich, sú tri takéto intervaly prirodzene odlíšené od čísla: (-4; -2); (0; 3);

Dĺžka najväčšieho z nich - (5; 9) je 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-8; 7). Nájdite počet maximálnych bodov funkcie f(x) patriacich do interval [-6;

Riešenie

Graf ukazuje, že derivácia f"(x) funkcie f(x) mení znamienko z plus na mínus (v takýchto bodoch bude maximum) presne v jednom bode (medzi -5 a -4) z intervalu [ -6 -2 ] V intervale [-6] je teda práve jeden maximálny bod.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých sa derivácia funkcie f(x) rovná 0.

Riešenie

Rovnosť derivácie v bode k nule znamená, že dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v tomto bode je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existuje 5 extrémnych bodov.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenie

Uhlový koeficient priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y" (x_0)=-2x_0+5 Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke sa rovná -3. Preto nájdeme hodnotu x_0 tak, že = -2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a na vodorovnej osi sú vyznačené body -6, -1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je derivácia najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(9)-F(5), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=9 a x=5. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 4 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x) - jednej z primitív nejakej funkcie f(x) definovanej na intervale (-5; 5). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f(x)=0 na úsečke [-3; 4].

Riešenie

Podľa definície primitívnosti platí rovnosť: F"(x)=f(x). Preto rovnicu f(x)=0 môžeme zapísať ako F"(x)=0. Keďže na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x), musíme tieto body nájsť v intervale [-3; 4], v ktorom sa derivácia funkcie F(x) rovná nule. Z obrázku je zrejmé, že to budú úsečky krajných bodov (maximum alebo minimum) F(x) grafu. V uvedenom intervale je ich presne 7 (štyri minimálne body a tri maximálne body).

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) (čo je prerušovaná čiara zložená z troch priamych segmentov). Pomocou obrázku vypočítajte F(5)-F(0), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x).

Riešenie

Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa rozdiel F(5)-F(0), kde F(x) je jedným z primitívnych derivátov funkcie f(x), rovná ploche ohraničeného krivočiareho lichobežníka. grafom funkcie y=f(x), priamky y=0 , x=5 a x=0. Z grafu určíme, že naznačený zakrivený lichobežník je lichobežník so základňami rovnými 5 a 3 a výškou 3.

Jeho plocha je rovnaká \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x) - jednej z primitív nejakej funkcie f(x), definovanej na intervale (-5; 4). Pomocou obrázku určte počet riešení rovnice f (x) = 0 na úsečke (-3; 3].

Riešenie

Podľa definície primitívnosti platí rovnosť: F"(x)=f(x). Preto rovnicu f(x)=0 môžeme zapísať ako F"(x)=0. Keďže na obrázku je znázornený graf funkcie y=F(x), musíme tieto body nájsť v intervale [-3; 3], v ktorom sa derivácia funkcie F(x) rovná nule.

Z obrázku je zrejmé, že to budú úsečky krajných bodov (maxima alebo minima) grafu F(x). V uvedenom intervale je ich presne 5 (dva minimálne body a tri maximálne body).

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf nejakej funkcie y=f(x). Funkcia F(x)=-x^3+4,5x^2-7 je jednou z primitívnych derivácií funkcie f(x).

Nájdite oblasť tieňovanej postavy.

Riešenie

Vytieňovaný obrazec je krivočiary lichobežník ohraničený zhora grafom funkcie y=f(x), priamkami y=0, x=1 a x=3. Podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca sa jeho plocha S rovná rozdielu F(3)-F(1), kde F(x) je primitívna derivácia funkcie f(x) špecifikovanej v podmienke. Preto S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Prijímač funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf nejakej funkcie y=f(x). Funkcia F(x)=x^3+6x^2+13x-5 je jednou z primitívnych derivácií funkcie f(x). Nájdite oblasť tieňovanej postavy.