Ako riešiť logaritmické rovnice so zlomkami. Redukcia na jednu základňu. Logaritmické rovnice. Od jednoduchých po zložité

Algebra 11. ročník

Téma: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“

Ciele lekcie:

vzdelávacie: budovanie vedomostí o rôznymi spôsobmi riešenie logaritmických rovníc, schopnosť ich aplikovať v každej konkrétnej situácii a zvoliť si akúkoľvek metódu riešenia;

vyvíja: rozvoj schopností pozorovať, porovnávať, aplikovať poznatky v novej situácii, identifikovať vzory, zovšeobecňovať; rozvíjanie zručností vzájomnej kontroly a sebakontroly;

vzdelávacie: podporovať zodpovedný prístup k vzdelávacej práci, pozorné vnímanie učiva na hodine a starostlivé písanie poznámok.

Typ lekcie : lekcia o predstavovaní nového materiálu.

"Vynález logaritmov, zatiaľ čo znížil prácu astronóma, predĺžil jeho život."
Francúzsky matematik a astronóm P.S. Laplace

Pokrok v lekcii

I. Stanovenie cieľa lekcie

Naštudovaná definícia logaritmu, vlastnosti logaritmov a logaritmická funkcia nám umožnia riešiť logaritmické rovnice. Všetky logaritmické rovnice, bez ohľadu na to, aké zložité sú, sa riešia pomocou jednotných algoritmov. Na tieto algoritmy sa pozrieme v dnešnej lekcii. Nie je ich veľa. Ak ich zvládnete, každá rovnica s logaritmami bude realizovateľná pre každého z vás.

Zapíšte si tému lekcie do zošita: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“. Pozývam všetkých k spolupráci.

II. Aktualizácia referenčných znalostí

Pripravme sa na štúdium témy lekcie. Vyriešte každú úlohu a zapíšte si odpoveď, nemusíte písať podmienku. Pracujte vo dvojiciach.

1) Pre aké hodnoty x má funkcia zmysel:

A)

b)

V)

d)

(Odpovede sú skontrolované pre každú snímku a chyby sú vytriedené)

2) Zhodujú sa grafy funkcií?

a) y = x a

b)A

3) Prepíšte rovnosti ako logaritmické rovnosti:

4) Zapíšte čísla ako logaritmy so základom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítajte :

6) Pokúste sa obnoviť alebo doplniť chýbajúce prvky v týchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Na obrazovke sa zobrazí nasledujúce vyhlásenie:

"Rovnica je zlatý kľúč, ktorý otvára všetky matematické sezamy."
Moderný poľský matematik S. Kowal

Pokúste sa sformulovať definíciu logaritmickej rovnice. (Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu ).

UvažujmeNajjednoduchšia logaritmická rovnica: log A x = b (kde a>0, a ≠ 1). Keďže logaritmická funkcia rastie (alebo klesá) na množine kladných čísel a nadobúda všetky reálne hodnoty, potom z koreňovej vety vyplýva, že pre každé b má táto rovnica len jedno riešenie a to kladné.

Pamätajte na definíciu logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je ukazovateľom mocniny, na ktorú musí byť základ a umocnený, aby sa získalo číslo x ). Z definície logaritmu to hneď vyplývaA V je takéto riešenie.

Napíšte názov:Metódy riešenia logaritmických rovníc

1. Podľa definície logaritmu .

Takto sa riešia najjednoduchšie rovnice formulára.

Uvažujmeč. 514(a) ): Vyriešte rovnicu

Ako to navrhujete riešiť? (Podľa definície logaritmu )

Riešenie . , teda 2x – 4 = 4; x = 4.

odpoveď: 4.

V tejto úlohe 2x – 4 > 0, keďže> 0, takže sa nemôžu objaviť žiadne cudzie korene anetreba kontrolovať . V tejto úlohe nie je potrebné vypisovať podmienku 2x – 4 > 0.

2. Potencovanie (prechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Uvažujmeč. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Akú vlastnosť ste si všimli?(Základy sú rovnaké a logaritmy týchto dvoch výrazov sú rovnaké) . Čo sa dá robiť?(Potencovať).

Malo by sa vziať do úvahy, že akékoľvek riešenie je obsiahnuté medzi všetkými x, pre ktoré sú logaritmické výrazy kladné.

Riešenie: ODZ:

X 2 +8>0 zbytočná nerovnosť

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Zosilnime pôvodnú rovnicu

x 2 +8= 8 x+8

dostaneme rovnicux 2 +8= 8 x+8

Poďme to vyriešiť:x 2 -8 x=0

x = 0, x = 8

Odpoveď: 0; 8

Vo všeobecnostiprechod na ekvivalentný systém :

Rovnica

(Systém obsahuje nadbytočnú podmienku – jednu z nerovností netreba brať do úvahy).

Otázka pre triedu : Ktoré z týchto troch riešení sa vám páčilo najviac? (Diskusia o metódach).

Máte právo rozhodnúť sa akýmkoľvek spôsobom.

3. Zavedenie novej premennej .

Uvažujmeč. 520(g) . .

čo si si všimol? (Toto kvadratická rovnica relatívne k log3x) Aké sú vaše návrhy? (Zadajte novú premennú)

Riešenie . ODZ: x > 0.

Nechaj, potom bude mať rovnica tvar:. Diskriminant D > 0. Korene podľa Vietovej vety:.

Vráťme sa k náhrade:alebo.

Po vyriešení najjednoduchších logaritmických rovníc dostaneme:

; .

Odpoveď : 27;

4. Logaritmujte obe strany rovnice.

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie : ODZ: x> 0, zoberme logaritmus oboch strán rovnice so základom 10:

. Použime vlastnosť logaritmu mocniny:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Nech logx = y, potom (y + 3)y = 4

, (D > 0) korene podľa Vietovej vety: y1 = -4 a y2 = 1.

Vráťme sa k náhrade, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to nasledovné: ak jedna z funkcií y = f(x) zvyšuje, a ďalšie y = g(x) klesá na intervale X, potom rovnica f(x)= g(x) má najviac jeden koreň na intervale X .

Ak existuje koreň, možno ho uhádnuť. .

Odpoveď : 2

« Správne používanie metódy sa dajú naučiť
len ich aplikovaním na rôzne príklady.“
Dánsky historik matematiky G. G. Zeiten

ja V. Domáca úloha

S. 39 zvážte príklad 3, vyriešte č. 514(b), č. 529(b), č. 520(b), č. 523(b)

V. Zhrnutie lekcie

Aké metódy riešenia logaritmických rovníc sme na hodine skúmali?

V ďalších lekciách sa pozrieme na viac zložité rovnice. Na ich vyriešenie budú užitočné študované metódy.

Posledná zobrazená snímka:

„Čo je viac než čokoľvek na svete?
Priestor.
Čo je najmúdrejšie?
Čas.
Čo je na tom najlepšie?
Dosiahnite, čo chcete."
Thales

Prajem každému, aby dosiahol to, čo chce. Ďakujeme za spoluprácu a pochopenie.

Logaritmické rovnice. Od jednoduchých po zložité.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmická rovnica?

Toto je rovnica s logaritmami. Som prekvapený, však?) Potom to vysvetlím. Toto je rovnica, v ktorej sa nachádzajú neznáme (x) a výrazy s nimi vnútri logaritmov. A len tam! Toto je dôležité.

Tu je niekoľko príkladov logaritmické rovnice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x2+3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

No chápeš... )

Venujte pozornosť! Najrôznejšie výrazy s X sa nachádzajú výlučne v logaritmoch. Ak sa zrazu niekde v rovnici objaví X vonku, Napríklad:

log 2 x = 3 + x,

toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice nemajú jasné pravidlá na ich riešenie. Zatiaľ ich nebudeme zvažovať. Mimochodom, v logaritmoch sú rovnice iba čísla. Napríklad:

Čo môžem povedať? Máte šťastie, ak na to narazíte! Logaritmus s číslami je nejaké číslo. To je všetko. Na vyriešenie takejto rovnice stačí poznať vlastnosti logaritmov. Znalosť špeciálnych pravidiel, techník prispôsobených špeciálne na riešenie logaritmické rovnice, tu sa nevyžaduje.

takže, čo je logaritmická rovnica- prišiel na to.

Ako riešiť logaritmické rovnice?

Riešenie logaritmické rovnice- vec v skutočnosti nie je veľmi jednoduchá. Takže naša sekcia je štvorka... Vyžaduje sa slušné množstvo vedomostí o všemožných súvisiacich témach. Okrem toho je v týchto rovniciach špeciálna vlastnosť. A táto vlastnosť je taká dôležitá, že ju možno bezpečne nazvať hlavným problémom pri riešení logaritmických rovníc. Tomuto problému sa budeme podrobne venovať v nasledujúcej lekcii.

Zatiaľ sa nebojte. Pôjdeme správnou cestou od jednoduchých po zložité. Zapnuté konkrétne príklady. Hlavná vec je ponoriť sa do jednoduchých vecí a nebuďte leniví sledovať odkazy, dal som ich tam z nejakého dôvodu... A všetko vám vyjde. Nevyhnutne.

Začnime najzákladnejšími, najjednoduchšími rovnicami. Na ich vyriešenie je vhodné mať predstavu o logaritme, ale nič viac. Len žiadny nápad logaritmus, prijať rozhodnutie logaritmický rovnice - akosi až trápne... Veľmi odvážne, povedal by som).

Najjednoduchšie logaritmické rovnice.

Toto sú rovnice tvaru:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces riešenia akúkoľvek logaritmickú rovnicu spočíva v prechode z rovnice s logaritmami na rovnicu bez nich. V najjednoduchších rovniciach sa tento prechod uskutočňuje v jednom kroku. Preto sú najjednoduchšie.)

A takéto logaritmické rovnice sú prekvapivo ľahko riešiteľné. Presvedčte sa sami.

Poďme vyriešiť prvý príklad:

log 3 x = log 3 9

Na vyriešenie tohto príkladu nepotrebujete vedieť takmer nič, áno... Čistá intuícia!) Čo potrebujeme najmä nepáči sa vám tento príklad? Čo-čo... Nemám rád logaritmy! Správne. Tak sa ich zbavme. Pozorne sa pozrieme na príklad a vynorí sa v nás prirodzená túžba... Priam neodolateľná! Zoberte a úplne vyhoďte logaritmy. A čo je dobré, je to Can robiť! Matematika umožňuje. Logaritmy zmiznú odpoveď je:

Skvelé, však? Toto sa dá (a malo by) robiť vždy. Odstránenie logaritmov týmto spôsobom je jedným z hlavných spôsobov riešenia logaritmických rovníc a nerovností. V matematike sa táto operácia nazýva potenciácia. Samozrejme, na takúto likvidáciu existujú pravidlá, ale je ich málo. Pamätajte:

Logaritmy môžete bez obáv odstrániť, ak majú:

a) rovnaké číselné základy

c) logaritmy zľava doprava sú čisté (bez akýchkoľvek koeficientov) a sú v nádhernej izolácii.

Dovoľte mi objasniť posledný bod. V rovnici, povedzme

log 3 x = 2 log 3 (3x-1)

Logaritmy nemožno odstrániť. Dvaja napravo to nedovoľujú. Koeficient, viete... V príklade

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Je tiež nemožné zosilniť rovnicu. Na ľavej strane nie je žiadny logaritmus. Sú dve.

Stručne povedané, môžete odstrániť logaritmy, ak rovnica vyzerá takto a iba takto:

log a (.....) = log a (.....)

V zátvorke, kde je elipsa, môže byť akékoľvek výrazy. Jednoduché, superkomplexné, všetky druhy. Čokoľvek. Dôležité je, že po odstránení logaritmov nám ostanú jednoduchšia rovnica. Samozrejme sa predpokladá, že už viete, ako riešiť lineárne, kvadratické, zlomkové, exponenciálne a iné rovnice bez logaritmov.)

Teraz môžete ľahko vyriešiť druhý príklad:

log 7 (2x-3) = log 7x

V skutočnosti je to rozhodnuté v mysli. Zosilňujeme, dostávame:

No, je to veľmi ťažké?) Ako vidíte, logaritmický súčasťou riešenia rovnice je len pri odstraňovaní logaritmov... A potom príde riešenie zostávajúcej rovnice bez nich. Triviálna záležitosť.

Vyriešme tretí príklad:

log 7 (50x-1) = 2

Vidíme, že vľavo je logaritmus:

Pripomeňme si, že tento logaritmus je číslo, na ktoré sa musí zvýšiť základ (t.j. sedem), aby sme získali sublogaritmický výraz, t.j. (50x-1).

Ale toto číslo sú dva! Podľa Eq. Takže:

To je v podstate všetko. Logaritmus zmizol, Zostáva neškodná rovnica:

Túto logaritmickú rovnicu sme vyriešili iba na základe významu logaritmu. Je ešte jednoduchšie eliminovať logaritmy?) Súhlasím. Mimochodom, ak urobíte logaritmus z dvoch, môžete tento príklad vyriešiť elimináciou. Z ľubovoľného čísla možno urobiť logaritmus. Navyše tak, ako to potrebujeme. Veľmi užitočná technika pri riešení logaritmických rovníc a (najmä!) nerovníc.

Neviete, ako urobiť logaritmus z čísla!? to je v poriadku. Časť 555 podrobne popisuje túto techniku. Môžete si ho osvojiť a využiť naplno! Výrazne znižuje počet chýb.

Štvrtá rovnica sa rieši úplne podobným spôsobom (podľa definície):

To je všetko.

Zhrňme si túto lekciu. Pozreli sme sa na riešenie najjednoduchších logaritmických rovníc na príkladoch. Toto je veľmi dôležité. A nielen preto, že sa takéto rovnice objavujú v testoch a skúškach. Faktom je, že aj tie najhoršie a najkomplikovanejšie rovnice sú nevyhnutne zredukované na najjednoduchšie!

V skutočnosti sú najjednoduchšie rovnice konečnou časťou riešenia akékoľvek rovnice. A túto záverečnú časť treba chápať striktne! A ešte jedna vec. Túto stránku si určite prečítajte až do konca. Je tam prekvapenie...)

Teraz sa rozhodujeme sami. Poďme sa takpovediac polepšiť...)

Nájdite koreň (alebo súčet koreňov, ak ich je niekoľko) rovníc:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e2+2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odpovede (samozrejme v neporiadku): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Čo, nie všetko ide? Stáva sa. Nebojte sa! Časť 555 vysvetľuje riešenie všetkých týchto príkladov jasným a podrobným spôsobom. Tam na to určite prídeš. Naučíte sa aj užitočné praktické techniky.

Všetko vyšlo!? Všetky príklady „jeden zostal“?) Gratulujeme!

Je čas odhaliť vám trpkú pravdu. Úspešné vyriešenie týchto príkladov nezaručuje úspech pri riešení všetkých ostatných logaritmických rovníc. Aj tie najjednoduchšie ako tieto. žiaľ.

Faktom je, že riešenie akejkoľvek logaritmickej rovnice (aj tej najzákladnejšej!) pozostáva z dve rovnaké časti. Riešenie rovnice a práca s ODZ. Jednu časť máme zvládnutú – riešenie samotnej rovnice. Nie je to také ťažké správne?

Pre túto lekciu som špeciálne vybral príklady, v ktorých DL žiadnym spôsobom neovplyvňuje odpoveď. Ale nie každý je taký láskavý ako ja, však?...)

Preto je nevyhnutné zvládnuť druhú časť. ODZ. Toto je hlavný problém pri riešení logaritmických rovníc. A nie preto, že je to ťažké - táto časť je ešte jednoduchšia ako prvá. Ale preto, že na ODZ jednoducho zabudnú. Alebo nevedia. Alebo oboje). A vypadnú z čista jasna...

V ďalšej lekcii sa budeme zaoberať týmto problémom. Potom sa môžete s istotou rozhodnúť akékoľvek jednoduché logaritmické rovnice a prístup k celkom solídnym úlohám.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Dnes sa naučíme, ako riešiť najjednoduchšie logaritmické rovnice, kde nie sú potrebné žiadne predbežné transformácie ani výber koreňov. Ale ak sa naučíte riešiť takéto rovnice, potom to bude oveľa jednoduchšie.

Najjednoduchšia logaritmická rovnica je rovnica v tvare log a f (x) = b, kde a, b sú čísla (a > 0, a ≠ 1), f (x) je určitá funkcia.

Charakteristickým znakom všetkých logaritmických rovníc je prítomnosť premennej x pod logaritmickým znakom. Ak je toto rovnica pôvodne uvedená v úlohe, nazýva sa najjednoduchšia. Všetky ostatné logaritmické rovnice sú redukované na najjednoduchšie špeciálnymi transformáciami (pozri „Základné vlastnosti logaritmov“). Je však potrebné vziať do úvahy mnohé jemnosti: môžu vzniknúť ďalšie korene, takže zložité logaritmické rovnice sa budú posudzovať oddelene.

Ako riešiť takéto rovnice? Číslo napravo od znamienka rovnosti stačí nahradiť logaritmom v rovnakom základe ako vľavo. Potom sa môžete zbaviť znamienka logaritmu. Získame:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Dostali sme obvyklú rovnicu. Jeho korene sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Odoberanie titulov

Logaritmické rovnice, ktoré navonok vyzerajú zložité a hrozivé, sa často riešia len v niekoľkých riadkoch bez použitia zložitých vzorcov. Dnes sa pozrieme práve na také problémy, kde sa od vás vyžaduje len to, aby ste vzorec opatrne zredukovali do kanonickej podoby a nenechali sa zmiasť pri hľadaní domény definície logaritmov.

Dnes, ako ste pravdepodobne uhádli z názvu, budeme riešiť logaritmické rovnice pomocou vzorcov na prechod do kanonického tvaru. Hlavným „trikom“ tejto video lekcie bude práca s titulmi, alebo skôr odvodenie stupňa zo základu a argumentu. Pozrime sa na pravidlo:

Podobne môžete odvodiť stupeň zo základne:

Ako môžeme vidieť, ak keď odstránime stupeň z argumentu logaritmu, máme jednoducho pred sebou ďalší faktor, potom keď odstránime stupeň zo základne, dostaneme nielen faktor, ale aj prevrátený faktor. Toto je potrebné mať na pamäti.

Nakoniec to najzaujímavejšie. Tieto vzorce je možné kombinovať, potom dostaneme:

Samozrejme, pri týchto prechodoch existujú určité úskalia spojené s možným rozšírením rozsahu definície alebo naopak zúžením rozsahu definície. Veď posúďte sami:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Ak by v prvom prípade x mohlo byť akékoľvek iné číslo ako 0, teda požiadavka x ≠ 0, tak v druhom prípade sa uspokojíme len s x, ktoré sa nielenže nerovná, ale je striktne väčšie ako 0, pretože definičný obor definícia logaritmu je taká, že argument je striktne väčší ako 0. Preto vám pripomeniem úžasný vzorec z kurzu algebry pre 8.-9.

To znamená, že musíme napísať náš vzorec takto:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Potom nedôjde k zúženiu rozsahu definície.

V dnešnom videonávode však nebudú žiadne štvorce. Ak sa pozriete na naše úlohy, uvidíte len korene. Preto toto pravidlo nepoužijeme, ale stále ho musíte mať na pamäti, aby ste si v správnom momente, keď uvidíte kvadratickú funkciu v argumente alebo báze logaritmu, zapamätali toto pravidlo a vykonali všetky transformácie správne.

Takže prvá rovnica je:

Na vyriešenie tohto problému navrhujem dôkladne sa pozrieť na každý z výrazov prítomných vo vzorci.

Prepíšme prvý člen ako mocninu s racionálnym exponentom:

Pozrime sa na druhý člen: log 3 (1 − x). Netreba tu nič robiť, všetko je tu už premenené.

Nakoniec 0, 5. Ako som povedal v predchádzajúcich lekciách, pri riešení logaritmických rovníc a vzorcov vrelo odporúčam prejsť od desatinných zlomkov k bežným. Urobme toto:

0,5 = 5/10 = 1/2

Prepíšme náš pôvodný vzorec berúc do úvahy výsledné výrazy:

log 3 (1 − x ) = 1

Teraz prejdime ku kanonickej forme:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Logaritmického znamienka sa zbavíme porovnaním argumentov:

1 – x = 3

−x = 2

x = -2

To je všetko, vyriešili sme rovnicu. Stále však hrajme na istotu a nájdime doménu definície. Ak to chcete urobiť, vráťte sa k pôvodnému vzorcu a pozrite sa:

1 - x > 0

−x > −1

x< 1

Náš koreň x = −2 túto požiadavku spĺňa, preto x = −2 je riešením pôvodnej rovnice. Teraz sme dostali prísne a jasné odôvodnenie. To je všetko, problém vyriešený.

Prejdime k druhej úlohe:

Pozrime sa na každý pojem zvlášť.

Napíšeme prvý:

Prvý termín sme pretransformovali. Pracujeme s druhým termínom:

Nakoniec posledný výraz, ktorý je napravo od znamienka rovnosti:

Namiesto výrazov vo výslednom vzorci nahradíme výsledné výrazy:

log 3 x = 1

Prejdime ku kanonickej forme:

log 3 x = log 3 3

Zbavíme sa logaritmického znamienka, prirovnáme argumenty a dostaneme:

x = 3

Opäť sa pre istotu vráťme k pôvodnej rovnici a pozrime sa. V pôvodnom vzorci je premenná x prítomná iba v argumente, preto

x > 0

V druhom logaritme je x pod koreňom, ale opäť v argumente, preto musí byť koreň väčší ako 0, t.j. radikálny výraz musí byť väčší ako 0. Pozrime sa na náš koreň x = 3. Je zrejmé, že spĺňa túto požiadavku. Preto x = 3 je riešením pôvodnej logaritmickej rovnice. To je všetko, problém vyriešený.

V dnešnom videonávode sú dva kľúčové body:

1) nebojte sa transformovať logaritmy a najmä sa nebojte odobrať mocniny zo znamienka logaritmu, pričom si zapamätajte náš základný vzorec: pri odstránení mocniny z argumentu sa jednoducho odoberie bez zmien ako multiplikátor a pri odoberaní výkonu zo základne je tento výkon obrátený.

2) druhý bod súvisí so samotnou kánonickou formou. Prechod na kanonickú formu sme urobili na samom konci transformácie vzorca logaritmickej rovnice. Dovoľte mi pripomenúť nasledujúci vzorec:

a = log b b a

Samozrejme, pod výrazom „ľubovoľné číslo b“ myslím tie čísla, ktoré spĺňajú požiadavky kladené na logaritmus, t.j.

1 ≠ b > 0

Pre takéto b, a keďže už poznáme základ, bude táto požiadavka splnená automaticky. Ale pre také b - akékoľvek, ktoré spĺňajú túto požiadavku - tento prechod môže byť vykonaný a dostaneme kanonickú formu, v ktorej sa môžeme zbaviť znamienka logaritmu.

Rozšírenie domény definície a extra koreňov

V procese transformácie logaritmických rovníc môže dôjsť k implicitnému rozšíreniu domény definície. Študenti si to často ani nevšimnú, čo vedie k chybám a nesprávnym odpovediam.

Začnime s najjednoduchšími návrhmi. Najjednoduchšia logaritmická rovnica je nasledovná:

log a f (x) = b

Všimnite si, že x je prítomné iba v jednom argumente jedného logaritmu. Ako riešime takéto rovnice? Používame kanonickú formu. Za týmto účelom si predstavte číslo b = log a a b a naša rovnica sa prepíše takto:

log a f (x) = log a a b

Tento záznam sa nazýva kanonická forma. Na to by ste mali zredukovať akúkoľvek logaritmickú rovnicu, s ktorou sa stretnete nielen v dnešnej lekcii, ale aj pri akejkoľvek samostatnej a testovacej práci.

Ako dospieť ku kanonickej forme a aké techniky použiť, je vecou praxe. Hlavná vec, ktorú je potrebné pochopiť, je, že akonáhle dostanete takýto záznam, môžete považovať problém za vyriešený. Pretože ďalším krokom je napísať:

f (x) = a b

Inými slovami, zbavíme sa logaritmického znamienka a jednoducho zrovnáme argumenty.

Prečo všetky tieto reči? Faktom je, že kanonická forma je použiteľná nielen pre najjednoduchšie problémy, ale aj pre akékoľvek iné. Najmä tie, o ktorých dnes rozhodneme. pozrime sa.

Prvá úloha:

Aký je problém s touto rovnicou? Faktom je, že funkcia je v dvoch logaritmoch naraz. Problém možno zredukovať na najjednoduchší jednoduchým odčítaním jedného logaritmu od druhého. Problémy však vznikajú s oblasťou definície: môžu sa objaviť ďalšie korene. Takže posuňme jeden z logaritmov doprava:

Tento záznam je oveľa viac podobný kanonickej forme. Ale je tu ešte jedna nuansa: v kánonickej forme musia byť argumenty rovnaké. A vľavo máme logaritmus v základe 3 a vpravo v základe 1/3. Vie, že tieto základne treba priviesť na rovnaký počet. Napríklad si pripomeňme, čo sú negatívne sily:

A potom použijeme exponent „-1“ mimo log ako násobiteľ:

Vezmite prosím na vedomie: stupeň, ktorý bol na základni, sa otočí a zmení sa na zlomok. Získali sme takmer kanonickú notáciu tým, že sme sa zbavili rôznych báz, ale na oplátku sme dostali faktor „-1“ vpravo. Zoberme si tento faktor do argumentu tak, že ho zmeníme na silu:

Samozrejme, keď sme dostali kánonickú formu, odvážne prečiarkneme znamienko logaritmu a zrovnáme argumenty. Zároveň mi dovoľte pripomenúť, že keď sa zvýši na silu „-1“, zlomok sa jednoducho prevráti - získa sa podiel.

Využime základnú vlastnosť proporcie a vynásobme ju krížom krážom:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10 x + 16 = 0

Máme pred sebou vyššie uvedenú kvadratickú rovnicu, takže ju riešime pomocou Vietových vzorcov:

(x − 8) (x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

To je všetko. Myslíte si, že rovnica je vyriešená? Nie! Za takéto riešenie dostaneme 0 bodov, pretože v pôvodnej rovnici sú dva logaritmy s premennou x. Preto je potrebné vziať do úvahy oblasť definície.

A tu začína zábava. Väčšina študentov je zmätená: aká je oblasť definície logaritmu? Samozrejme, všetky argumenty (máme dva) musia byť väčšie ako nula:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Každú z týchto nerovností treba vyriešiť, vyznačiť na priamke, pretnúť a až potom vidieť, ktoré korene ležia v priesečníku.

Budem úprimný: táto technika má právo na existenciu, je spoľahlivá a dostanete správnu odpoveď, ale je v nej príliš veľa zbytočných krokov. Pozrime sa teda znova na naše riešenie a pozrime sa: kde presne musíme použiť rozsah? Inými slovami, musíte jasne pochopiť, kedy sa presne objavia ďalšie korene.

1. Spočiatku sme mali dva logaritmy. Potom sme jeden z nich posunuli doprava, ale to neovplyvnilo oblasť definície.
2. Potom odoberieme mocninu zo základne, ale stále existujú dva logaritmy a v každom z nich je premenná x.
3. Nakoniec preškrtneme logá a dostaneme klasiku zlomková racionálna rovnica.

V poslednom kroku sa rozsah definície rozširuje! Len čo sme prešli na zlomkovo-racionálnu rovnicu a zbavili sme sa logaritmických znakov, požiadavky na premennú x sa dramaticky zmenili!

Následne o doméne definície možno uvažovať nie na samom začiatku riešenia, ale až v spomínanom kroku – pred priamym zrovnoprávnením argumentov.

Tu je príležitosť na optimalizáciu. Na jednej strane sa od nás vyžaduje, aby oba argumenty boli väčšie ako nula. Na druhej strane tieto argumenty ešte viac stotožňujeme. Preto, ak je aspoň jeden z nich pozitívny, potom bude pozitívny aj druhý!

Ukazuje sa teda, že vyžadovať splnenie dvoch nerovností naraz je prehnané. Stačí zvážiť iba jeden z týchto zlomkov. Ktorý presne? Ten, ktorý je jednoduchší. Pozrime sa napríklad na pravý zlomok:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Toto je typické zlomková racionálna nerovnosť, riešime to pomocou intervalovej metódy:

Ako umiestniť značky? Zoberme si číslo, ktoré je zjavne väčšie ako všetky naše korene. Napríklad 1 miliardu a dosadíme jej zlomok. Dostaneme kladné číslo, t.j. napravo od koreňa x = 5 bude znamienko plus.

Potom sa znamenia striedajú, pretože nikde nie sú korene párnej mnohosti. Zaujímajú nás intervaly, kde je funkcia kladná. Preto x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Teraz si spomeňme na odpovede: x = 8 a x = 2. Presne povedané, toto ešte nie sú odpovede, ale iba kandidáti na odpoveď. Ktorý z nich patrí do špecifikovanej sady? Samozrejme, x = 8. Ale x = 2 nám nevyhovuje z hľadiska jeho definičnej oblasti.

Celkovo bude odpoveď na prvú logaritmickú rovnicu x = 8. Teraz máme kompetentné, dobre podložené riešenie, berúc do úvahy oblasť definície.

Prejdime k druhej rovnici:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Pripomínam, že ak je v rovnici desatinný zlomok, mali by ste sa ho zbaviť. Inými slovami, prepíšme 0,5 ako bežný zlomok. Okamžite si všimneme, že logaritmus obsahujúci túto základňu sa ľahko vypočíta:

Toto je veľmi dôležitý moment! Keď máme stupne v základe aj v argumente, môžeme odvodiť ukazovatele týchto stupňov pomocou vzorca:

Vráťme sa k našej pôvodnej logaritmickej rovnici a prepíšme ju:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Získali sme dizajn celkom blízky kanonickej forme. Zmätili nás však pojmy a znamienko mínus napravo od znamienka rovnosti. Predstavme si jednotku ako logaritmus so základom 5:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Odčítajte logaritmy vpravo (v tomto prípade sú ich argumenty rozdelené):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

úžasné. Takže sme dostali kánonickú formu! Prečiarkneme logá a prirovnáme argumenty:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Toto je pomer, ktorý sa dá ľahko vyriešiť krížovým vynásobením:

(x − 9) (x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14 x + 40 = 0

Je zrejmé, že máme redukovanú kvadratickú rovnicu. Dá sa to jednoducho vyriešiť pomocou Vietových vzorcov:

(x − 10) (x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Máme dva korene. Ale toto nie sú konečné odpovede, ale iba kandidáti, pretože logaritmická rovnica tiež vyžaduje kontrolu domény definície.

Pripomínam: netreba hľadať kedy každý z argumentov bude väčší ako nula. Stačí vyžadovať, aby jeden argument – ​​buď x − 9 alebo 5/(x − 5) – bol väčší ako nula. Zvážte prvý argument:

x - 9 > 0

x > 9

Je zrejmé, že iba x = 10 spĺňa túto požiadavku. Celý problém je vyriešený.

Ešte raz, kľúčové myšlienky dnešnej lekcie:

1. Len čo sa premenná x objaví v niekoľkých logaritmoch, rovnica prestáva byť elementárna a je potrebné vypočítať jej definičný obor. V opačnom prípade môžete v odpovedi ľahko napísať extra korene.
2. Samotnú prácu s doménou možno výrazne zjednodušiť, ak nerovnosť vypíšeme nie hneď, ale presne v momente, keď sa zbavíme log logov. Koniec koncov, keď sú argumenty zrovnoprávnené, stačí požadovať, aby iba jeden z nich bol väčší ako nula.

Samozrejme, sami si vyberáme, ktorý argument použijeme na vytvorenie nerovnosti, takže je logické vybrať si ten najjednoduchší. Napríklad v druhej rovnici sme zvolili argument (x − 9), lineárnu funkciu, na rozdiel od zlomkového racionálneho druhého argumentu. Súhlaste, riešenie nerovnosti x − 9 > 0 je oveľa jednoduchšie ako 5/(x − 5) > 0. Hoci výsledok je rovnaký.

Táto poznámka výrazne zjednodušuje vyhľadávanie ODZ, ale buďte opatrní: môžete použiť jednu nerovnosť namiesto dvoch iba vtedy, ak sú argumenty presné sú si navzájom rovné!

Samozrejme, niekto sa teraz opýta: čo sa stane inak? Áno, stáva sa. Napríklad v samotnom kroku, keď násobíme dva argumenty obsahujúce premennú, hrozí, že sa objavia zbytočné korene.

Posúďte sami: najprv sa vyžaduje, aby každý z argumentov bol väčší ako nula, ale po vynásobení stačí, aby bol ich súčin väčší ako nula. V dôsledku toho sa prehliadne prípad, keď je každý z týchto zlomkov záporný.

Preto, ak práve začínate chápať zložité logaritmické rovnice, za žiadnych okolností nenásobte logaritmy obsahujúce premennú x - príliš často to povedie k objaveniu sa ďalších koreňov. Je lepšie urobiť jeden krok navyše, presunúť jeden výraz na druhú stranu a vytvoriť kánonickú formu.

Čo robiť, ak nemôžete robiť bez násobenia takýchto logaritmov, budeme diskutovať v ďalšej video lekcii :).

Ešte raz o mocninách v rovnici

Dnes sa pozrieme na dosť klzkú tému týkajúcu sa logaritmických rovníc, alebo presnejšie odstránenia mocnín z argumentov a základov logaritmov.

Dokonca by som povedal, že budeme hovoriť o odstránení párnych mocnín, pretože práve s párnymi mocninami vzniká väčšina ťažkostí pri riešení reálnych logaritmických rovníc.

Začnime s kanonickou formou. Povedzme, že máme rovnicu v tvare log a f (x) = b. V tomto prípade prepíšeme číslo b pomocou vzorca b = log a a b . Ukazuje sa nasledovné:

log a f (x) = log a a b

Potom prirovnáme argumenty:

f (x) = a b

Predposledná formula sa nazýva kanonická forma. Práve na to sa snažia zredukovať akúkoľvek logaritmickú rovnicu, bez ohľadu na to, aká zložitá a strašidelná sa na prvý pohľad môže zdať.

Tak to skúsme. Začnime prvou úlohou:

Poznámka na úvod: ako som povedal, všetko desatinné miesta v logaritmickej rovnici je lepšie previesť ju na obyčajnú:

0,5 = 5/10 = 1/2

Prepíšme našu rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť. Všimnite si, že 1/1000 aj 100 sú mocniny desiatich, a potom vyberme mocniny, nech sú kdekoľvek: z argumentov a dokonca aj zo základu logaritmov:

A tu si mnohí študenti kladú otázku: „Odkiaľ pochádza modul vpravo? Naozaj, prečo jednoducho nenapísať (x − 1)? Samozrejme, teraz budeme písať (x − 1), ale berúc do úvahy doménu definície nám dáva právo na takýto zápis. Koniec koncov, iný logaritmus už obsahuje (x − 1) a tento výraz musí byť väčší ako nula.

Ale keď odstránime štvorec zo základne logaritmu, musíme nechať modul presne na základni. Vysvetlím prečo.

Faktom je, že z matematického hľadiska sa získanie titulu rovná zakoreneniu. Najmä keď odmocníme výraz (x − 1) 2, v podstate preberáme druhú odmocninu. Ale druhá odmocnina nie je nič iné ako modul. presne tak modul, pretože aj keď je výraz x − 1 záporný, pri druhej mocnine bude „mínus“ stále vypálený. Ďalšia extrakcia koreňa nám dá kladné číslo - bez akýchkoľvek mínusov.

Vo všeobecnosti, aby ste sa vyhli urážlivým chybám, pamätajte raz a navždy:

Odmocnina párnej mocniny akejkoľvek funkcie, ktorá je zvýšená na rovnakú mocninu, sa nerovná samotnej funkcii, ale jej modulu:

Vráťme sa k našej logaritmickej rovnici. Keď už hovoríme o module, tvrdil som, že ho môžeme odstrániť bezbolestne. Toto je pravda. Teraz vysvetlím prečo. Presne povedané, museli sme zvážiť dve možnosti:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Každú z týchto možností by bolo potrebné riešiť. Má to však jeden háčik: pôvodný vzorec už obsahuje funkciu (x − 1) bez akéhokoľvek modulu. A podľa domény definície logaritmov máme právo okamžite napísať, že x − 1 > 0.

Táto požiadavka musí byť splnená bez ohľadu na akékoľvek moduly a iné transformácie, ktoré vykonávame počas procesu riešenia. Preto nemá zmysel uvažovať o druhej možnosti - nikdy nevznikne. Aj keď pri riešení tejto vetvy nerovnosti dostaneme nejaké čísla, stále nebudú zahrnuté do konečnej odpovede.

Teraz sme doslova jeden krok od kanonickej formy logaritmickej rovnice. Predstavme si jednotku takto:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Okrem toho do argumentu zavedieme faktor −4, ktorý je vpravo:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Pred nami je kanonický tvar logaritmickej rovnice. Zbavíme sa logaritmického znaku:

10 −4 = x − 1

Ale keďže základom bola funkcia (a nie prvočíslo), navyše požadujeme, aby táto funkcia bola väčšia ako nula a nie rovná jednej. Výsledný systém bude:

Keďže požiadavka x − 1 > 0 je splnená automaticky (veď x − 1 = 10 −4), jednu z nerovností môžeme z nášho systému vymazať. Druhá podmienka môže byť tiež prečiarknutá, pretože x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Toto je jediný koreň, ktorý automaticky spĺňa všetky požiadavky domény definície logaritmu (všetky požiadavky však boli eliminované ako evidentne splnené v podmienkach nášho problému).

Takže druhá rovnica:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

V čom sa táto rovnica zásadne líši od predchádzajúcej? Už len preto, že základy logaritmov - 3x a 9x - nie sú navzájom prirodzené mocniny. Preto prechod, ktorý sme použili v predchádzajúcom riešení, nie je možný.

Zbavme sa aspoň stupňov. V našom prípade je jediný stupeň v druhom argumente:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Znamienko modulu sa však dá odstrániť, pretože premenná x je aj na báze, t.j. x > 0 ⇒ |x| = x. Prepíšme našu logaritmickú rovnicu:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Získali sme logaritmy, v ktorých sú argumenty rovnaké, ale rôzne dôvody. Čo robiť ďalej? Existuje veľa možností, ale zvážime iba dve z nich, ktoré sú najlogickejšie, a čo je najdôležitejšie, sú to rýchle a zrozumiteľné techniky pre väčšinu študentov.

Už sme zvážili prvú možnosť: v akejkoľvek nejasnej situácii previesť logaritmy s premenlivou základňou na nejakú konštantnú základňu. Napríklad k dvojke. Vzorec prechodu je jednoduchý:

Samozrejme, úlohou premennej c by malo byť normálne číslo: 1 ≠ c > 0. Nech v našom prípade c = 2. Teraz máme pred sebou obyčajnú zlomkovú racionálnu rovnicu. Zhromažďujeme všetky prvky vľavo:

Je zrejmé, že je lepšie odstrániť log 2 x faktor, pretože je prítomný v prvej aj druhej frakcii.

log2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Každý denník rozdelíme na dva pojmy:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Prepíšme obe strany rovnosti berúc do úvahy tieto skutočnosti:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Teraz už zostáva len zadať dvojku pod znamienkom logaritmu (zmení sa na mocninu: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Pred nami je klasická kanonická forma, zbavíme sa logaritmického znaku a získame:

Ako sa dalo očakávať, tento koreň sa ukázal byť väčší ako nula. Zostáva skontrolovať doménu definície. Pozrime sa na dôvody:

Odmocnina x = 9 však tieto požiadavky spĺňa. Preto je to konečné rozhodnutie.

Záver z tohto riešenia je jednoduchý: nebojte sa dlhých výpočtov! Ide len o to, že na úplnom začiatku sme náhodne vybrali novú základňu - a to výrazne skomplikovalo proces.

Potom však vyvstáva otázka: aký je základ optimálne? Budem o tom hovoriť v druhej metóde.

Vráťme sa k našej pôvodnej rovnici:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Teraz sa trochu zamyslime: aké číslo alebo funkcia by bola optimálnym základom? To je zrejmé najlepšia možnosť bude tam c = x - čo už je v argumentoch. V tomto prípade bude mať vzorec log a b = log c b /log c a tvar:

Inými slovami, výraz je jednoducho obrátený. V tomto prípade sa argument a základ menia.

Tento vzorec je veľmi užitočný a veľmi často sa používa pri riešení zložitých logaritmických rovníc. Pri používaní tohto vzorca je však jedno veľmi vážne úskalie. Ak namiesto základne nahradíme premennú x, potom sú na ňu uvalené obmedzenia, ktoré predtým neboli dodržané:

V pôvodnej rovnici takéto obmedzenie nebolo. Preto by sme mali samostatne skontrolovať prípad, keď x = 1. Túto hodnotu dosaďte do našej rovnice:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Dostaneme správnu číselnú rovnosť. Preto x = 1 je koreň. Presne ten istý koreň sme našli v predchádzajúcej metóde na samom začiatku riešenia.

Ale teraz, keď sme osobitne zvážili tento konkrétny prípad, bezpečne predpokladáme, že x ≠ 1. Potom bude naša logaritmická rovnica prepísaná do nasledujúceho tvaru:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Rozšírime oba logaritmy pomocou rovnakého vzorca ako predtým. Všimnite si, že log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

Tak sme sa dostali ku kanonickej forme:

log x 9 = log x x 1

x=9

Dostali sme druhý koreň. Spĺňa požiadavku x ≠ 1. Preto x = 9 spolu s x = 1 je konečná odpoveď.

Ako vidíte, objem výpočtov sa mierne znížil. Ale pri riešení skutočnej logaritmickej rovnice bude počet krokov oveľa menší aj preto, že nemusíte každý krok tak podrobne popisovať.

Kľúčové pravidlo dnešnej lekcie je nasledovné: ak úloha obsahuje párny stupeň, z ktorého je extrahovaný koreň toho istého stupňa, výstupom bude modul. Tento modul však možno odstrániť, ak venujete pozornosť oblasti definície logaritmov.

Ale buďte opatrní: po tejto hodine si väčšina študentov myslí, že všetkému rozumejú. Ale pri riešení skutočných problémov nedokážu reprodukovať celý logický reťazec. Výsledkom je, že rovnica nadobúda zbytočné korene a odpoveď sa ukáže ako nesprávna.

Príklady:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Ako riešiť logaritmické rovnice:

Pri riešení logaritmickej rovnice by ste sa mali snažiť transformovať ju do tvaru \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a potom prejsť na \(f(x) )=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Príklad:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Veľmi dôležité! Tento prechod je možné vykonať iba vtedy, ak:

Napísali ste pre pôvodnú rovnicu a na konci skontrolujete, či nájdené sú zahrnuté v ODZ. Ak sa tak nestane, môžu sa objaviť ďalšie korene, čo znamená nesprávne rozhodnutie.

Číslo (alebo výraz) vľavo a vpravo je rovnaké;

Logaritmy vľavo a vpravo sú „čisté“, to znamená, že by nemali existovať žiadne násobenia, delenie atď. – iba jednotlivé logaritmy na oboch stranách znamienka rovnosti.

Napríklad:

Všimnite si, že rovnice 3 a 4 sa dajú ľahko vyriešiť použitím potrebných vlastností logaritmov.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Riešenie :

Odpoveď : \(5\)

Príklad : Vyriešte rovnicu \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Riešenie :

Odpoveď : \(4\); \(2\).

Pokyny

Napíšte daný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom sa jeho zápis skráti a vyzerá takto: lg b je desiatkový logaritmus. Ak má logaritmus číslo e ako základ, napíšte výraz: ln b – prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom akéhokoľvek je mocnina, na ktorú sa musí základné číslo zvýšiť, aby sa získalo číslo b.

Pri hľadaní súčtu dvoch funkcií ich jednoducho musíte po jednej diferencovať a výsledky sčítať: (u+v)" = u"+v";

Pri hľadaní derivácie súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie vynásobenú prvou funkciou: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby sme našli deriváciu kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa odpočítať súčin derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa a rozdeliť to všetko pomocou funkcie deliteľa na druhú. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ak je daná komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu vnútornej funkcie a deriváciu vonkajšej. Nech y=u(v(x)), potom y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocou vyššie získaných výsledkov môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Existujú aj problémy týkajúce sa výpočtu derivácie v bode. Nech je daná funkcia y=e^(x^2+6x+5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x=1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y"(1)=8*e^0=8

Video k téme

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku základných derivácií. To výrazne ušetrí čas.

Zdroje:

• derivácia konštanty

Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod znamienkom druhá odmocnina, potom sa rovnica považuje za iracionálnu.

Pokyny

Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda konštrukcie oboch strán rovnice do štvorca. Avšak. je to prirodzené, prvá vec, ktorú musíte urobiť, je zbaviť sa znamienka. Táto metóda nie je technicky náročná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica je v(2x-5)=v(4x-7). Umocnením oboch strán získate 2x-5=4x-7. Riešenie takejto rovnice nie je ťažké; x=1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice. prečo? Namiesto hodnoty x dosaďte do rovnice jednotku a pravá a ľavá strana budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, tzn. Táto hodnota neplatí pre druhú odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch jej strán. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Za týmto účelom nahraďte nájdené korene do pôvodnej rovnice.

Zvážte inú.
2х+vх-3=0
Samozrejme, že táto rovnica môže byť vyriešená pomocou rovnakej rovnice ako predchádzajúca. Presuňte zlúčeniny rovnice, ktoré nemajú odmocninu, na pravú stranu a potom použite metódu odmocnenia. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale aj inú, elegantnejšiu. Zadajte novú premennú; vх=y. Podľa toho dostanete rovnicu v tvare 2y2+y-3=0. Teda obyčajná kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3/2. Ďalej vyriešte dve rovnice vх=1; vх=-3/2. Druhá rovnica nemá korene z prvej zistíme, že x=1. Nezabudnite skontrolovať korene.

Riešenie identít je celkom jednoduché. K tomu je potrebné vykonávať identické transformácie, kým sa nedosiahne stanovený cieľ. S pomocou jednoduchých aritmetických operácií sa teda daný problém vyrieši.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Pokyny

Najjednoduchšou z takýchto transformácií sú algebraické skrátené násobenia (napríklad druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel druhých mocnín, súčet (rozdiel), druhá mocnina súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje veľa a trigonometrické vzorce, čo sú v podstate rovnaké identity.

Druhá mocnina súčtu dvoch členov sa skutočne rovná druhej mocnine prvého a dvojnásobku súčinu prvého a druhého a plus druhej mocniny druhého, to znamená (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné princípy riešenia

Variabilná náhradná metóda

Riešenie integrálov druhého druhu

Substitúcia integračných limitov