Plocha figúry ohraničená čiarami v parametrickej forme. Ako vypočítať objem rotačného telesa pomocou určitého integrálu? Výpočet plochy rotačnej plochy zadanej v polárnych súradniciach

Nájdime objem telesa vytvorený rotáciou cykloidného oblúka okolo jeho základne. Roberval ho našiel tak, že výsledné vajcovité teleso (obr. 5.1) rozbil na nekonečne tenké vrstvy, do týchto vrstiev vpísal valce a sčítal ich objemy. Ukázalo sa, že dôkaz bol dlhý, zdĺhavý a nie celkom prísny. Na jej výpočet sa preto obrátime na vyššiu matematiku. Definujme rovnicu cykloidy parametricky.

V integrálnom počte sa pri štúdiu zväzkov používa táto poznámka:

Ak krivka ohraničujúca krivočiary lichobežník je daná parametrickými rovnicami a funkcie v týchto rovniciach spĺňajú podmienky vety o zmene premennej v určitom integráli, potom objem rotujúceho telesa lichobežníka okolo osi Ox bude vypočíta sa podľa vzorca:

Pomocou tohto vzorca nájdeme objem, ktorý potrebujeme.

Rovnakým spôsobom vypočítame povrch tohto telesa.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cena), 0 ? t ? 2R)

V integrálnom počte existuje nasledujúci vzorec na nájdenie plochy povrchu rotačného telesa okolo osi x krivky definovanej parametricky na segmente (t 0 ? t ? t 1):

Aplikovaním tohto vzorca na našu cykloidnú rovnicu dostaneme:

Uvažujme aj o inom povrchu generovanom rotáciou cykloidného oblúka. Aby sme to urobili, zostrojíme zrkadlový obraz cykloidného oblúka vzhľadom na jeho základňu a oválny obrazec tvorený cykloidou a jej odrazom otočíme okolo osi KT (obr. 5.2)

Najprv nájdime objem telesa, ktorý vznikol rotáciou cykloidného oblúka okolo osi KT. Jeho objem vypočítame pomocou vzorca (*):

Takto sme vypočítali objem polovice tohto telesa v tvare repy. Potom bude celý objem rovnaký

Prednášky 8. Aplikácie určitého integrálu.

Aplikácia integrálu na fyzikálne problémy je založená na vlastnosti aditivity integrálu na množine. Preto pomocou integrálu možno vypočítať množstvá, ktoré sú samy osebe aditívne v súbore. Napríklad plocha postavy sa rovná súčtu plôch jej častí. Dĺžka oblúka, plocha povrchu, objem tela a hmotnosť tela majú rovnakú vlastnosť. Preto je možné všetky tieto veličiny vypočítať pomocou určitého integrálu.

Na riešenie problémov môžete použiť dva spôsoby: metóda integrálnych súčtov a metóda diferenciálov.

Metóda integrálnych súčtov opakuje konštrukciu určitého integrálu: zostrojí sa priečka, označia sa body, v nich sa vypočíta funkcia, vypočíta sa integrálny súčet a vykoná sa prechod na limitu. Pri tejto metóde je hlavným problémom dokázať, že v limite je výsledok presne taký, aký je v probléme potrebný.

Diferenciálna metóda používa neurčitý integrál a Newtonov-Leibnizov vzorec. Vypočíta sa rozdiel množstva, ktoré sa má určiť, a potom sa integráciou tohto diferenciálu získa požadované množstvo pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca. Pri tejto metóde je hlavným problémom dokázať, že je to rozdiel požadovanej hodnoty, ktorý bol vypočítaný, a nie niečo iné.

Výpočet plôch rovinných útvarov.

1. Obrázok je obmedzený grafom funkcie definovanej v karteziánskom súradnicovom systéme.

K pojmu určitého integrálu sme dospeli z problému oblasti zakriveného lichobežníka (v skutočnosti pomocou metódy integrálnych súčtov). Ak funkcia iba akceptuje záporné hodnoty, potom sa plocha pod grafom funkcie na segmente môže vypočítať pomocou určitého integrálu. Všimni si preto tu vidno aj metódu diferenciálov.

Funkcia však môže nadobudnúť aj záporné hodnoty na určitom segmente, potom integrál nad týmto segmentom poskytne zápornú oblasť, čo je v rozpore s definíciou oblasti.

Plochu môžete vypočítať pomocou vzorcaS=. Je to ekvivalentné zmene znamienka funkcie v tých oblastiach, v ktorých nadobúda záporné hodnoty.

Ak potrebujete vypočítať plochu obrázku ohraničenú nad grafom funkcie a pod grafom funkcie, potom môžete použiť vzorecS= , pretože .

Príklad. Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú priamkami x=0, x=2 a grafmi funkcií y=x 2, y=x 3.

Všimnite si, že na intervale (0,1) platí nerovnosť x 2 > x 3 a pre x >1 nerovnosť x 3 > x 2. Preto

2. Obrázok je obmedzený grafom funkcie špecifikovanej v polárnom súradnicovom systéme.

Nech je graf funkcie daný v polárnom súradnicovom systéme a chceme vypočítať plochu krivočiareho sektora ohraničeného dvoma lúčmi a graf funkcie v polárnom súradnicovom systéme.

Tu môžete použiť metódu integrálnych súčtov, vypočítajúc plochu krivočiareho sektora ako hranicu súčtu plôch elementárnych sektorov, v ktorých je graf funkcie nahradený kruhovým oblúkom. .

Môžete tiež použiť diferenciálnu metódu: .

Môžete uvažovať takto. Nahradenie elementárneho krivočiareho sektora zodpovedajúceho centrálny roh kruhový sektor, máme podiel . Odtiaľ . Integráciou a použitím Newtonovho-Leibnizovho vzorca dostaneme .

Príklad. Vypočítajme plochu kruhu (skontrolujte vzorec). My veríme. Plocha kruhu je .

Príklad. Vypočítajme oblasť ohraničenú kardioidom .

3 Údaj je obmedzený grafom parametricky zadanej funkcie.

Funkciu je možné zadať parametricky vo formulári . Používame vzorec S= , čím sa do nej dosadia hranice integrácie nad novou premennou. . Zvyčajne sa pri výpočte integrálu izolujú tie oblasti, kde funkcia integrandu má určité znamienko a berie sa do úvahy zodpovedajúca oblasť s jedným alebo druhým znamienkom.

Príklad. Vypočítajte plochu ohraničenú elipsou.

Pomocou symetrie elipsy vypočítame plochu štvrtiny elipsy umiestnenej v prvom kvadrante. V tomto kvadrante. Preto .

Výpočet objemov telies.

1. Výpočet objemov telies z plôch rovnobežných rezov.

Nech je potrebné vypočítať objem určitého telesa V zo známych plôch prierezu tohto telesa rovinami kolmými na priamku OX vedenú cez ľubovoľný bod x úsečky OX.

Aplikujme metódu diferenciálov. Ak vezmeme do úvahy elementárny objem nad segmentom ako objem pravého kruhového valca so základnou plochou a výškou, dostaneme . Integráciou a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca dostaneme

2. Výpočet objemov rotačných telies.

Nech je potrebné počítať VÔL.

Potom .

podobne, objem rotačného telesa okolo osiOY, ak je funkcia uvedená vo forme , možno vypočítať pomocou vzorca .

Ak je funkcia špecifikovaná vo formulári a je potrebné určiť objem rotujúceho telesa okolo osiOY, potom vzorec na výpočet objemu možno získať nasledovne.

Prechod na diferenciál a zanedbávanie kvadratických členov máme . Integráciou a aplikáciou Newton-Leibnizovho vzorca máme .

Príklad. Vypočítajte objem gule.

Príklad. Vypočítajte objem pravého kruhového kužeľa ohraničeného plochou a rovinou.

Vypočítajme objem ako objem rotačného telesa vzniknutého rotáciou okolo osi OZ správny trojuholník v rovine OXZ, ktorej nohy ležia na osi OZ a priamke z = H a na priamke leží prepona.

Vyjadrením x pomocou z dostaneme .

Výpočet dĺžky oblúka.

Aby ste získali vzorce na výpočet dĺžky oblúka, pripomeňte si vzorce odvodené v 1. semestri pre diferenciál dĺžky oblúka.

Ak je oblúk grafom spojito diferencovateľnej funkcie rozdiel dĺžky oblúka možno vypočítať pomocou vzorca

. Preto

Ak je parametricky zadaný hladký oblúk, To

. Preto .

Ak je oblúk špecifikovaný v polárnom súradnicovom systéme, To

. Preto .

Príklad. Vypočítajte dĺžku oblúka grafu funkcie, . .

Predtým, ako prejdeme k vzorcom pre oblasť rotačnej plochy, uvedieme stručnú formuláciu samotnej rotačnej plochy. Rotačná plocha alebo, čo je to isté, plocha rotačného telesa je priestorový útvar vytvorený rotáciou segmentu. AB zakrivenie okolo osi Vôl(obrázok nižšie).

Predstavme si zakrivený lichobežník ohraničený zhora spomínaným segmentom krivky. Teleso vytvorené rotáciou tohto lichobežníka okolo rovnakej osi Vôl a je rotačným telesom. A oblasť rotačného povrchu alebo povrchu rotačného telesa je jeho vonkajší plášť, nepočítajúc kruhy vytvorené rotáciou okolo osi priamych čiar X = a A X = b .

Všimnite si, že rotačné teleso, a teda aj jeho povrch, možno vytvoriť aj otáčaním obrazca nie okolo osi Vôl a okolo osi Oj.

Výpočet plochy rotačnej plochy zadanej v pravouhlých súradniciach

Uveďte rovnicu v pravouhlých súradniciach v rovine r = f(X) špecifikuje sa krivka, ktorej rotácia okolo súradnicovej osi tvorí rotačné teleso.

Vzorec na výpočet povrchovej plochy revolúcie je nasledujúci:

(1).

Príklad 1 Nájdite povrchovú plochu paraboloidu vytvorenú rotáciou okolo jeho osi Vôl oblúk paraboly zodpovedajúcej zmene X od X= 0 až X = a .

Riešenie. Vyjadrime explicitne funkciu, ktorá definuje oblúk paraboly:

Poďme nájsť deriváciu tejto funkcie:

Pred použitím vzorca na nájdenie oblasti rotačnej plochy napíšme tú časť jeho integrandu, ktorá predstavuje koreň a dosadíme deriváciu, ktorú sme tam práve našli:

Odpoveď: Dĺžka oblúka krivky je

Príklad 2 Nájdite povrchovú plochu vytvorenú rotáciou okolo osi Vôl astroid.

Riešenie. Stačí vypočítať plochu povrchu vyplývajúcu z rotácie jednej vetvy astroidea nachádzajúceho sa v prvej štvrtine a vynásobiť ho 2. Z rovnice astroidea explicitne vyjadríme funkciu, ktorú budeme musieť dosadiť do vzorec na nájdenie plochy rotácie:

Integrujeme od 0 do a:

Výpočet plochy rotačnej plochy špecifikovanej parametricky

Uvažujme prípad, keď krivka tvoriaca rotačnú plochu je daná parametrickými rovnicami

Potom sa plocha rotácie vypočíta podľa vzorca

(2).

Príklad 3 Nájdite oblasť rotačnej plochy vytvorenej rotáciou okolo osi Oj obrazec ohraničený cykloidou a priamkou r = a. Cykloida je daná parametrickými rovnicami

Riešenie. Nájdite priesečníky cykloidy a priamky. Stotožnenie rovnice cykloidy a rovnice priamky r = a, poďme nájsť

Z toho vyplýva, že hranice integrácie zodpovedajú

Teraz môžeme použiť vzorec (2). Poďme nájsť deriváty:

Napíšme radikálový výraz vo vzorci, pričom nahradíme nájdené deriváty:

Poďme nájsť koreň tohto výrazu:

Nahraďte to, čo sme našli, do vzorca (2):

Urobme náhradu:

A nakoniec nájdeme

Na transformáciu výrazov sa použili trigonometrické vzorce

Odpoveď: Plocha revolúcie je .

Výpočet plochy rotačnej plochy zadanej v polárnych súradniciach

Krivka, ktorej rotácia tvorí plochu, nech je špecifikovaná v polárnych súradniciach.

Zdravím vás, milí študenti University of Argemona!

Ešte trochu a kurz bude dokončený, ale teraz to urobíme.

Zhouli mierne mávla rukou a vo vzduchu sa objavila postava. Presnejšie, išlo o obdĺžnikový lichobežník. Jednoducho visel vo vzduchu, vytvorený magickou energiou, ktorá prúdila po jeho bokoch, a tiež sa víril vo vnútri samotného lichobežníka, čo spôsobilo jeho trblietanie a trblietanie.
Potom učiteľ mierne znateľne urobil Kruhový objazd prsty - a lichobežník sa začal otáčať okolo neviditeľnej osi. Najprv pomaly, potom rýchlejšie a rýchlejšie – takže sa vo vzduchu začala zreteľne objavovať trojrozmerná postava. Zdalo sa, akoby sa ňou šírila magická energia.

Potom sa stalo nasledovné: iskrivé obrysy postavy a jej vnútra sa začali napĺňať nejakou substanciou, žiara bola čoraz menej nápadná, ale samotná postava sa čoraz viac podobala na niečo hmatateľné. Zrná materiálu boli rovnomerne rozložené na obrázku. A potom už bolo po všetkom: rotácia a žiara. Vo vzduchu visel predmet, ktorý vyzeral ako lievik. Zhouli ho opatrne presunul na stôl.

Nech sa páči. Zhruba takto môžete zhmotniť mnohé predmety – otáčaním niektorých plochých figúrok okolo pomyselných rovných čiar. Samozrejme, na materializáciu potrebujete určité množstvo hmoty, ktorá vyplní celý vytvorený a dočasne držaný objem pomocou magickej energie. Ale aby ste mohli presne vypočítať, koľko látky je potrebné, musíte poznať objem výsledného telesa. V opačnom prípade, ak je málo látky, nevyplní celý objem a telo sa môže ukázať ako krehké, s chybami. A zhmotniť a ešte udržať veľký prebytok hmoty je zbytočným výdajom magickej energie.
No, čo ak máme obmedzené množstvo látky? Potom, keď vieme vypočítať objemy tiel, môžeme odhadnúť, bez akej veľkosti telesa by sme mohli vyrobiť osobitné náklady magická energia.
Existuje ďalšia myšlienka o nadbytočnom priťahovanom materiáli. Kam odchádza prebytočná látka? Rozpadajú sa, keď nie sú zapojení? Alebo sa prilepia na telo náhodne?
Vo všeobecnosti je stále o čom premýšľať. Ak vás zrazu napadnú nejaké myšlienky, rád si ich vypočujem. Medzitým prejdime k výpočtu objemov takto získaných telies.
Tu sa uvažuje o niekoľkých prípadoch.

Prípad 1.

Oblasť, ktorú budeme otáčať, je najklasickejší zakrivený lichobežník.

Prirodzene ho môžeme otáčať len okolo osi OX. Ak sa tento lichobežník posunie vodorovne doprava tak, aby nepretínal os OY, potom sa dá vzhľadom na túto os aj otáčať. Vzorce kúziel pre oba prípady sú nasledovné:

Vy aj ja sme už celkom dobre zvládli základy magické efekty k funkciám, takže si myslím, že nebude pre vás ťažké, ak to bude potrebné, postavu takto rozhýbať súradnicové osi aby bol umiestnený pohodlne na prácu s ním.

Prípad 2

Otočiť môžete nielen klasický zakrivený lichobežník, ale aj takúto figúrku:

Keď rotujeme, dostaneme akýsi prsteň. A posunutím obrázku do kladnej oblasti ho môžeme otáčať vzhľadom na os OY. Tiež dostaneme prsteň alebo nie. Všetko závisí od toho, ako bude postava umiestnená: ak jej ľavý okraj prechádza presne pozdĺž osi OY, krúžok nebude fungovať. Objemy takýchto rotačných telies môžete vypočítať pomocou nasledujúcich kúziel:

Prípad 3

Pamätajme, že máme nádherné krivky, ale nie sú definované bežným spôsobom, ale v parametrickej forme. Takéto krivky sú často uzavreté. Parameter t je potrebné zmeniť tak, aby uzavretý obrazec pri jeho obchádzaní po krivke (hranici) zostal vľavo.

Potom na výpočet objemov rotačných telies vzhľadom na os OX alebo OY musíte použiť nasledujúce kúzla:

Rovnaké vzorce možno použiť aj v prípade neuzavretých kriviek: keď oba konce ležia na osi OX alebo na osi OY. Obrázok sa ukáže ako uzavretý akýmkoľvek spôsobom: konce sú uzavreté segmentom osi.

Prípad 4.

Niektoré z našich úžasných kriviek sú špecifikované polárnymi súradnicami (r=r(fi)). Potom je možné postavu otočiť okolo polárnej osi. V tomto prípade sa kartézsky súradnicový systém kombinuje s polárnym a predpokladá sa
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Dostávame sa teda k parametrickému tvaru krivky, kde by sa mal parameter fi zmeniť tak, aby pri prechode krivkou zostala plocha vľavo.
A používame kúzelné vzorce z prípadu 3.

Pre prípad polárnych súradníc však existuje aj vzorec kúzla:

Ploché figúry je samozrejme možné otáčať vzhľadom na akékoľvek iné priamky, nielen vzhľadom na os OX a OY, ale tieto manipulácie sú zložitejšie, takže sa obmedzíme na prípady, o ktorých sa hovorilo v prednáške.

A teraz domáca úloha. Konkrétne čísla vám nepoviem. Naštudovali sme si už veľa funkcií a bol by som rád, keby ste sami navrhli niečo, čo možno budete potrebovať v magickej praxi. Myslím, že štyri príklady pre všetky prípady uvedené v prednáške budú stačiť.

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

upevniť schopnosť identifikovať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických útvarov a rozvíjať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;
zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;
naučiť sa počítať objemy rotačných telies;
podporovať rozvoj logické myslenie, kompetentná matematická reč, presnosť pri konštrukcii výkresov;
pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť a vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Pozdravy zo skupiny. Komunikujte so študentmi ciele hodiny.

Reflexia. Pokojná melódia.

– Dnešnú lekciu by som rád začal podobenstvom. „Žil raz jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jeden muž chcel dokázať, že mudrc nevie všetko. V dlaniach držal motýľa a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý? A on sám si myslí: „Ak živá povie, zabijem ju, mŕtva povie, prepustím ju. Mudrc po premýšľaní odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

– Pracujme preto dnes plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v budúcom živote a praktickej činnosti. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým preštudovanej látky.

– Pripomeňme si hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to urobili, dokončite úlohu "Vylúčte ďalšie slovo."(Šmykľavka.)

(Študent prejde do I.D. pomocou gumy odstráni nadbytočné slovo.)

- Správny "Diferenciálny". Pokúste sa pomenovať zostávajúce slová ako jedno vo všeobecnosti. (Integrovaný počet.)

– Pripomeňme si hlavné etapy a pojmy spojené s integrálnym počtom..

"Matematická partia".

Cvičenie. Obnovte medzery. (Študent vyjde a perom napíše požadované slová.)

– Abstrakt o aplikácii integrálov si vypočujeme neskôr.

Práca v zošitoch.

– Newtonov-Leibnizov vzorec odvodili anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

– Zvážme ako pri riešení praktické úlohy používa sa tento vzorec.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Zostavme grafy funkcií na súradnicovej rovine . Vyberme oblasť obrázku, ktorú je potrebné nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

– Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

– Čo je znázornené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Šmykľavka) (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

– Vo vesmíre, na zemi a vo vnútri Každodenný život Stretávame sa nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako môžeme vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kométy, meteoritu atď.

– Ľudia myslia na objem tak pri stavbe domov, ako aj pri prelievaní vody z jednej nádoby do druhej. Museli sa objaviť pravidlá a techniky na výpočet objemov, to je iná vec.

Správa od študenta. (Tyurina Vera.)

Rok 1612 bol pre obyvateľov rakúskeho mesta Linz, kde žil známy astronóm Johannes Kepler, veľmi plodný najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy. (Snímka 2)

– Uvažované Keplerove diela tak položili základ celému prúdu výskumu, ktorý vyvrcholil v poslednej štvrtine 17. storočia. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tých čias zaujímala matematika premenných popredné miesto v systéme matematických poznatkov.

– Dnes sa vy a ja zapojíme do takýchto praktických činností, preto

Téma našej lekcie: „Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu“. (Šmykľavka)

– Definíciu rotačného telesa sa naučíte dokončením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená ísť do podzemia. Labyrint je zložitá sieť ciest, priechodov a prepojených miestností.

Ale definícia bola „zlomená“ a zanechala rady vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

Šmykľavka. „Mapový pokyn“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem konkrétneho telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta pomocou jedného zo vzorcov:

1. okolo osi OX.

2. , ak rotácia zakriveného lichobežníka okolo osi operačného zosilňovača.

Každý študent dostane kartičku s pokynmi. Učiteľ zdôrazňuje hlavné body.

– Učiteľ vysvetlí riešenia príkladov na tabuli.

Pozrime sa na úryvok zo slávnej rozprávky A. S. Puškina „Príbeh o cárovi Saltanovi, o jeho slávnom a mocnom synovi princovi Guidonovi Saltanovičovi a o krásnej princeznej Swan“ (Snímka 4):

…..
A opitý posol priniesol
V ten istý deň je objednávka nasledovná:
„Kráľ prikazuje svojim bojarom,
Bez plytvania časom,
A kráľovná a potomstvo
Potajomky hodiť do priepasti vody.“
Nie je čo robiť: bojari,
Obavy o suveréna
A mladej kráľovnej,
Do jej spálne prišiel dav.
Vyhlásili kráľovu vôľu -
Ona a jej syn majú zlý podiel,
Nahlas čítame dekrét,
A kráľovná v tú istú hodinu
Dali ma do suda s mojím synom,
Smolili a odviezli
A pustili ma do Okiyanu -
Toto nariadil cár Saltan.

Aký by mal byť objem suda, aby sa doň vošla kráľovná aj jej syn?

– Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi ordinátov krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo osi x y = , x = 4, y = 0.

IV. Spevnenie nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y = x2, y2 = x.

Zostavme grafy funkcie. y = x2, y2 = x. Rozvrh y2 = x previesť do formulára r= .

Máme V = V 1 – V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

– Teraz sa pozrime na vežu rozhlasovej stanice v Moskve na Šabolovke, postavenú podľa projektu pozoruhodného ruského inžiniera, čestného akademika V. G. Shukhova. Skladá sa z častí - hyperboloidov rotácie. Každý z nich je navyše vyrobený z priamych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Pozrime sa na problém.

Nájdite objem telesa získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej pomyselnej osi, ako je znázornené na obr. 8, kde

kocka Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia kresby na papier Whatman a jeden zo zástupcov skupiny prácu obhajuje.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší úder!
Lopta letí do bránky – LOPTA!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Pozrite sa lepšie - aká guľa!
Netvorí ho nič iné ako kruhy.
Melón nakrájame na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi OX funkcie obmedzenej

Chyba! Záložka nie je definovaná.

– Prosím, povedzte mi, kde sa stretávame s touto postavou?

Dom. úloha pre 1 skupinu. VALEC (šmykľavka) .

"Valec - čo to je?" – spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: Cylindr je klobúk.
Aby ste mali správnu predstavu,
Valec, povedzme, je plechovka.
Rúrka parného člna - valec,
Potrubie aj na našej streche,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A dal som takýto príklad -
kaleidoskop Moja láska,
Nemôžeš z neho spustiť oči,
A tiež vyzerá ako valec.

- Cvičenie. Domáca úloha graf funkcie a výpočet objemu.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
Môj príbeh bude o šiške.
Hviezdnik vo vysokom klobúku
Počíta hviezdy po celý rok.
KUŽEL - hviezdny klobúk.
Taký je. pochopené? To je všetko.
Mama stála pri stole,
Nalial som olej do fliaš.
-Kde je lievik? Žiadny lievik.
Hľadať to. Nestojte na okraji.
- Mami, nepohnem sa.
Povedz mi viac o kuželi.
– Lievik má tvar kužeľa na napájanie.
Poď, rýchlo mi ju nájdi.
Nevedel som nájsť lievik
Ale mama urobila tašku,
Omotala som si kartón okolo prsta
A šikovne ho zabezpečila sponkou.
Olej tečie, mama je šťastná,
Kužeľ vyšiel tak akurát.

Cvičenie. Vypočítajte objem telesa získaného rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMÍDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMÍDA.
Všetko v pyramíde je výnimočné,
Je v tom akési tajomno a tajomno.
A Spasská veža na Červenom námestí
Je to veľmi známe deťom aj dospelým.
Ak sa pozriete na vežu, vyzerá obyčajne,
Čo je na ňom? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha: nakreslite graf funkcie a vypočítajte objem pyramídy

– Objemy rôzne telá vypočítali sme na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál je určitým základom pre štúdium matematiky.

- No, teraz si trochu oddýchni.

Nájdite pár.

Hraje matematická domino melódia.

“Cesta, ktorú som sám hľadal, nikdy nezabudnem...”

Výskumná práca. Aplikácia integrálu v ekonomike a technike.

Testy pre silných žiakov a matematický futbal.

Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

A) neurčitý integrál,

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Vypočítajte objemy rotačných telies.

Reflexia.

Príjem odrazu vo forme syncwine(päť riadkov).

1. riadok – názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok – popis témy dvoma slovami, dvoma prídavnými menami.

3. riadok – popis akcie v rámci tejto témy v troch slovách.

4. riadok je fráza zo štyroch slov, ktorá vyjadruje postoj k téme (celá veta).

5. riadok je synonymum, ktoré opakuje podstatu témy.

Objem.
Určitý integrál, integrovateľná funkcia.
Staviame, otáčame, počítame.
Teleso získané otáčaním zakriveného lichobežníka (okolo jeho základne).
Rotačné teleso (objemové geometrické teleso).

Záver (šmykľavka).

Určitý integrál je určitým základom pre štúdium matematiky, ktorý nenahraditeľne prispieva k riešeniu praktických problémov.
Téma „Integrál“ jasne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.
Rozvoj modernej vedy je nemysliteľný bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať s jeho štúdiom v rámci stredného odborného vzdelávania!

Klasifikácia. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam - matematik, básnik, filozof. Povzbudzuje nás, aby sme boli pánmi svojho osudu. Vypočujme si úryvok z jeho diela:

Poviete si, tento život je jeden okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to miniete, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.