Prečo sú potrebné racionálne čísla? Racionálne čísla

Tento článok je venovaný štúdiu témy " Racionálne čísla Nižšie sú uvedené definície racionálnych čísel, príklady a ako určiť, či je číslo racionálne alebo nie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionálne čísla. Definície

Predtým, ako uvedieme definíciu racionálnych čísel, spomeňme si, aké ďalšie sady čísel existujú a ako spolu súvisia.

Prirodzené čísla spolu so svojimi protikladmi a číslom nula tvoria množinu celých čísel. Na druhej strane množina celých zlomkových čísel tvorí množinu racionálnych čísel.

Definícia 1. Racionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako kladný spoločný zlomok ab, záporný spoločný zlomok ab alebo číslo nula.

Môžeme si teda zachovať množstvo vlastností racionálnych čísel:

Každé prirodzené číslo je racionálne číslo. Je zrejmé, že každé prirodzené číslo n možno znázorniť ako zlomok 1 n.
Akékoľvek celé číslo, vrátane čísla 0, je racionálne číslo. Akékoľvek kladné celé číslo a akékoľvek záporné celé číslo možno jednoducho reprezentovať ako kladný alebo záporný obyčajný zlomok. Napríklad 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
Akýkoľvek kladný alebo záporný spoločný zlomok ab je racionálne číslo. Vyplýva to priamo z definície uvedenej vyššie.
akýkoľvek zmiešané číslo je racionálny. Zmiešané číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný nesprávny zlomok.
Akýkoľvek konečný alebo periodický desatinný zlomok môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto každý periodický alebo konečný desiatkový je racionálne číslo.
Nekonečné a neperiodické desatinné miesta nie sú racionálne čísla. Nemôžu byť zastúpené vo formulári obyčajné zlomky.

Uveďme príklady racionálnych čísel. Čísla 5, 105, 358, 1100055 sú prirodzené, kladné a celé číslo. Je zrejmé, že ide o racionálne čísla. Čísla - 2, - 358, - 936 sú záporné celé čísla a podľa definície sú tiež racionálne. Bežné zlomky 3 5, 8 7, - 35 8 sú tiež príklady racionálnych čísel.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná stručnejšie. Opäť si odpovieme na otázku, čo je racionálne číslo?

Definícia 2. Racionálne čísla

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok ± z n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dá sa ukázať, že táto definícia je ekvivalentná predchádzajúcej definícii racionálnych čísel. Aby ste to dosiahli, nezabudnite, že zlomková čiara je ekvivalentná znamienku delenia. Ak vezmeme do úvahy pravidlá a vlastnosti delenia celých čísel, môžeme napísať nasledujúce spravodlivé nerovnosti:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n.

Môžeme teda napísať:

zn = zn, pr az > 00, pr az = 0 - zn, pr a z< 0

V skutočnosti je táto nahrávka dôkazom. Uveďme príklady racionálnych čísel na základe druhej definície. Zvážte čísla - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 a - 1 3 5. Všetky tieto čísla sú racionálne, pretože ich možno zapísať ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Uveďme iný ekvivalentný tvar pre definíciu racionálnych čísel.

Definícia 3. Racionálne čísla

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia vyplýva priamo z úplne prvej definície tohto odseku.

Poďme zhrnúť a sformulovať zhrnutie tohto bodu:

Kladné a záporné zlomky a celé čísla tvoria množinu racionálnych čísel.
Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je celé číslo a menovateľ je prirodzené číslo.
Každé racionálne číslo môže byť reprezentované aj ako desatinný zlomok: konečný alebo nekonečne periodický.

Ktoré číslo je racionálne?

Ako sme už zistili, akékoľvek prirodzené číslo, celé číslo, vlastný a nevlastný obyčajný zlomok, periodický a konečný desatinný zlomok sú racionálne čísla. Vyzbrojení týmito znalosťami môžete ľahko určiť, či je určité číslo racionálne.

V praxi sa však často musíme zaoberať nie číslami, ale číselnými výrazmi, ktoré obsahujú odmocniny, mocniny a logaritmy. V niektorých prípadoch je odpoveď na otázku "je číslo racionálne?" nie je ani zďaleka zrejmé. Pozrime sa na spôsoby, ako odpovedať na túto otázku.

Ak je číslo zadané ako výraz obsahujúci iba racionálne čísla a aritmetické operácie medzi nimi, výsledkom výrazu je racionálne číslo.

Napríklad hodnota výrazu 2 · 3 1 8 - 0, 25 0, (3) je racionálne číslo a rovná sa 18.

Zjednodušenie zložitého číselného výrazu vám teda umožňuje určiť, či je ním dané číslo racionálne.

Teraz sa pozrime na znamenie koreňa.

Ukazuje sa, že číslo m n dané ako odmocnina n čísla m je racionálne len vtedy, keď m je n-tá mocnina nejakého prirodzeného čísla.

Pozrime sa na príklad. Číslo 2 nie je racionálne. Zatiaľ čo 9, 81 sú racionálne čísla. 9 a 81 sú dokonalé štvorce čísel 3 a 9. Čísla 199, 28, 15 1 nie sú racionálne čísla, pretože čísla pod znamienkom odmocniny nie sú dokonalé štvorce žiadnej prirodzené čísla.

Teraz si zoberme viac ťažký prípad. Je 243 5 racionálne číslo? Ak zvýšite 3 na piatu mocninu, dostanete 243, takže pôvodný výraz možno prepísať takto: 243 5 = 3 5 5 = 3. Preto je toto číslo racionálne. Teraz si vezmime číslo 121 5. Toto číslo je iracionálne, pretože neexistuje žiadne prirodzené číslo, ktorého umocnenie na piatu mocninu dáva 121.

Ak chcete zistiť, či je logaritmus čísla a až základu b racionálne číslo, musíte použiť metódu rozporu. Napríklad zistime, či je číslo log 2 5 racionálne. Predpokladajme, že toto číslo je racionálne. Ak je to tak, potom to možno zapísať v tvare obyčajného zlomku log 2 5 = m n Podľa vlastností logaritmu a vlastností stupňa platia nasledujúce rovnosti:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Je zrejmé, že posledná rovnosť nie je možná, pretože ľavá a pravá strana obsahujú nepárne a párne čísla. Preto je urobený predpoklad nesprávny a log 2 5 nie je racionálne číslo.

Stojí za zmienku, že pri určovaní racionality a iracionality čísel by ste nemali robiť náhle rozhodnutia. Napríklad výsledkom súčinu iracionálnych čísel nie je vždy iracionálne číslo. Dobrý príklad: 2 · 2 = 2.

Existujú aj iracionálne čísla, ktorých zvýšenie na iracionálnu moc dáva racionálne číslo. V mocnine tvaru 2 log 2 3 sú základ a exponent iracionálne čísla. Samotné číslo je však racionálne: 2 log 2 3 = 3.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé čísla a zlomky) a nulou. Viac presný koncept racionálne čísla znejú takto:

Racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené ako spoločný zlomok m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, Kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla), b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

IN skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselných deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo na približný odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. Poriadok a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať 1 a iba jeden z 3 vzťahov medzi nimi: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - objednávacie pravidlo a sformuluj to takto:

2 kladné čísla a=m a /n a A b=mb/nb súvisia rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ n b A m b⋅ n a;
2 záporné čísla a A b súvisia rovnakým pomerom ako 2 kladné čísla |b| A |a|;
Kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje sumačné pravidlo, ktorý im priraďuje určité racionálne číslo c. Navyše samotné číslo c- Toto súčetčísla a A b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Súhrnné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb + mb⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a A b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

Pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, A keď a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Adičná asociativita. Poradie, v ktorom sú sčítané 3 racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo a keď sa sčítajú, výsledkom je 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.

∀ a,b∈ Qa⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia 3 racionálne čísla, nemá na výsledok žiadny vplyv.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1 = a

12. Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Qa⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distributívneho zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Vzťah medzi objednávkovým vzťahom a operáciou sčítania. Do ľavej a pravej časti racionálna nerovnosť pridajte rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Vzťah medzi reláciou objednávky a operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Q c > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Racionálne čísla sú čísla tvaru , kde
je celé číslo a – prirodzené. Množina racionálnych čísel sa označuje písmenom . V tomto prípade je vzťah splnený
, pretože akékoľvek celé číslo
môžu byť zastúpené vo forme . Môžeme teda povedať, že racionálne čísla sú všetky celé čísla, ako aj kladné a záporné obyčajné zlomky.

Desatinné čísla - sú to obyčajné zlomky, ktorých menovateľom je jedna s nulami, teda 10; 100; 1000 atď. Desatinné zlomky sa píšu bez menovateľov. Najprv sa napíše celá časť čísla, napravo od nej sa umiestni čiarka; Prvá číslica za desatinnou čiarkou znamená počet desatín, druhá – stotiny, tretia – tisíciny atď. Čísla za desatinnou čiarkou sa nazývajú desatinné miesta.

Nekonečné je desatinný zlomok, ktorý má za desatinnou čiarkou nekonečný počet číslic.

Každé racionálne číslo môže byť reprezentovaný ako konečné alebo nekonečné desatinné miesto. To sa dosiahne vydelením čitateľa menovateľom.

Nekonečný desatinný zlomok sa nazýva periodické , ak sa počnúc od určitého miesta opakuje jedna číslica alebo skupina číslic, ktoré bezprostredne nasledujú za sebou. Opakujúca sa číslica alebo skupina číslic sa nazýva bodka a píše sa v zátvorkách. Napríklad, .

Platí to aj naopak: každý nekonečný periodický desatinný zlomok môže byť reprezentovaný ako obyčajný zlomok.

Uveďme niekoľko informácií o periodických zlomkoch.

1. Ak perióda zlomku začína bezprostredne za desatinnou čiarkou, potom sa zlomok nazýva čisto periodické , ak nie hneď za desatinnou čiarkou – zmiešané periodické .

Napríklad 1,(58) je čisto periodický zlomok a 2,4(67) je zmiešaný periodický zlomok.

2. Ak ide o neredukovateľný zlomok je taký, že rozklad jeho menovateľa na prvočísla obsahuje iba čísla 2 a 5, potom záznam čísla ako desatinné miesto predstavuje konečný desatinný zlomok; ak sú v uvedenom expanzii ďalšie prvočísla, potom sa získa nekonečný desatinný periodický zlomok.

3. Ak ide o neredukovateľný zlomok je taký, že rozklad jeho menovateľa na prvočísla neobsahuje čísla 2 a 5, potom sa zaznamená číslo vo forme desatinného zlomku ide o čisto periodický desatinný zlomok; ak je v naznačenej expanzii spolu s ďalšími prvočíslami 2 alebo 5, výsledkom je zmiešaný periodický desatinný zlomok.

4. Periodický zlomok môže mať bodku ľubovoľnej dĺžky, to znamená, že môže obsahovať ľubovoľný počet číslic.

1.3. Iracionálne čísla

Iracionálne číslo nazývaný nekonečný desatinný neperiodický zlomok .

Príklady iracionálnych čísel sú odmocniny prirodzených čísel, ktoré nie sú druhými mocninami prirodzených čísel. Napríklad,
,
. Čísla sú iracionálne
;
. Množina iracionálnych čísel je označená písmenom .

Príklad 1.10. Dokáž to
je iracionálne číslo.

Riešenie. Predstierajme to
- racionálne číslo. Je zrejmé, že nie je celý, a preto
, Kde
A – neredukovateľná frakcia; znamená čísla
A obojstranne jednoduché. Pretože
, To
, teda
.

V tomto článku začneme skúmať racionálne čísla. Tu uvedieme definície racionálnych čísel, poskytneme potrebné vysvetlenia a uvedieme príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto časti uvedieme niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formuláciách majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomky, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich protiklady a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel, ktorý je vnímaný najprirodzenejšie.

Z uvedenej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

Akékoľvek prirodzené číslo n. V skutočnosti môžete akékoľvek prirodzené číslo reprezentovať ako obyčajný zlomok, napríklad 3=3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. V skutočnosti môže byť akékoľvek celé číslo zapísané ako kladný zlomok, záporný zlomok alebo nula. Napríklad 26=26/1, .
Akýkoľvek spoločný zlomok (kladný alebo záporný). To priamo potvrdzuje daná definícia racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. Zmiešané číslo môžete vždy reprezentovať ako nesprávny zlomok. Napríklad a.
Akýkoľvek konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický zlomok. Dôvodom je skutočnosť, že uvedené desatinné zlomky sú prevedené na bežné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3.

Je tiež jasné, že akýkoľvek nekonečný neperiodický desatinný zlomok NIE JE racionálnym číslom, pretože ho nemožno reprezentovať ako bežný zlomok.

Teraz môžeme ľahko dať príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58, -72, 0, -833,333,333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v stručnejšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že čiaru zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel na delenie celých čísel vyplýva platnosť nasledujúcich rovníc a. To je teda dôkaz.

Uveďme príklady racionálnych čísel na základe túto definíciu. Čísla −5, 0, 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru, resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5, 0, -13 sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 a -7, (18).

Dokončime teóriu tohto bodu nasledujúcimi tvrdeniami:

celé čísla a zlomky (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok predstavuje určité racionálne číslo;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok, ako aj akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla zo súboru zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo uvedené v tvare nejaké , alebo ako , atď., Ako odpovedať na otázku, či je toto číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké odpovedať. Naznačme niektoré smery myslenia.

Ak je číslo zadané ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a aritmetické znamienka (+, −, · a:), potom hodnota tohto výrazu je racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18.

Niekedy po zjednodušení výrazov a ich skomplikovaní je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie, nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre 8. ročník, uvedenej nižšie v zozname literatúry). Aj to bolo dokázané Odmocnina prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď koreň obsahuje číslo, ktoré je dokonalou druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81 = 9 2 a 1 024 = 32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké si všimnúť, že toto číslo je preto racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel nie sú z nejakého dôvodu racionálne čísla. Ukážme napríklad, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda povedzme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom dáme nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m. Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nie racionálne číslo.

Na záver je potrebné poznamenať, že pri určovaní racionality alebo iracionality čísel by sme sa mali zdržať náhlych záverov.

Napríklad by ste nemali okamžite tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „zdanlivo zrejmé“, ale nie je to dokázané. To vyvoláva otázku: "Prečo by bol produkt racionálnym číslom?" A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo: .

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorých iracionálna sila je racionálne číslo. Pre ilustráciu uvádzame stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Bibliografia.

Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Množina racionálnych čísel

Množina racionálnych čísel sa označuje a možno ju zapísať takto:

Ukazuje sa, že rôzne zápisy môžu reprezentovať ten istý zlomok, napríklad a , (všetky zlomky, ktoré možno navzájom získať vynásobením alebo delením rovnakým prirodzeným číslom, predstavujú rovnaké racionálne číslo). Keďže delením čitateľa a menovateľa zlomku ich najväčším spoločným deliteľom môžeme získať jediné neredukovateľné zobrazenie racionálneho čísla, môžeme o ich množine hovoriť ako o množine neredukovateľný zlomky so vzájomne prvočíselným celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom:

Tu je najväčší spoločný deliteľ čísel a .

Množina racionálnych čísel je prirodzeným zovšeobecnením množiny celých čísel. Je ľahké vidieť, že ak má racionálne číslo menovateľa, potom je to celé číslo. Množina racionálnych čísel sa nachádza všade husto na číselnej osi: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi racionálnymi číslami je aspoň jedno racionálne číslo (a teda nekonečná množina racionálnych čísel). Ukazuje sa však, že množina racionálnych čísel má spočítateľnú mohutnosť (to znamená, že všetky jej prvky možno prečíslovať). Všimnime si, mimochodom, že starí Gréci boli presvedčení o existencii čísel, ktoré nemožno znázorniť zlomkom (napríklad dokázali, že neexistuje racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2).

Terminológia

Formálna definícia

Formálne sú racionálne čísla definované ako množina tried ekvivalencie párov vzhľadom na vzťah ekvivalencie if. V tomto prípade sú operácie sčítania a násobenia definované takto:

Súvisiace definície

Správne, nesprávne a zmiešané frakcie

Správne Zlomok, ktorého čitateľ je menší ako jeho menovateľ, sa nazýva zlomok. Vlastné zlomky predstavujú racionálne čísla modulo menšie ako jedna. Zlomok, ktorý nie je správny, sa nazýva nesprávne a predstavuje racionálne číslo väčšie alebo rovné jednej v module.

Nevlastný zlomok možno znázorniť ako súčet celého čísla a vlastného zlomku, tzv zmiešaná frakcia . Napríklad, . Podobnému zápisu (s chýbajúcim znakom sčítania), hoci sa používa v elementárnej aritmetike, sa striktná matematická literatúra vyhýba kvôli podobnosti zápisu pre zmiešaný zlomok so zápisom súčinu celého čísla a zlomku.

Výška záberu

Výška bežného zlomku je súčet modulu čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Výška racionálneho čísla je súčet modulu čitateľa a menovateľa neredukovateľného obyčajného zlomku zodpovedajúceho tomuto číslu.

Napríklad výška zlomku je . Výška zodpovedajúceho racionálneho čísla sa rovná , pretože zlomok môže byť znížený o .

Komentár

Termín zlomok (zlomok) Niekedy [ špecifikovať] sa používa ako synonymum výrazu racionálne číslo a niekedy synonymum pre akékoľvek iné ako celé číslo. V druhom prípade sú zlomkové a racionálne čísla odlišné veci, pretože potom sú necelé racionálne čísla len špeciálnym prípadom zlomkových čísel.

Vlastnosti

Základné vlastnosti

Množina racionálnych čísel spĺňa šestnásť základných vlastností, ktoré možno ľahko odvodiť z vlastností celých čísel.

Poriadok. Pre akékoľvek racionálne čísla existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať jeden a iba jeden z troch vzťahov medzi nimi: „“, „“ alebo „“. Toto pravidlo sa nazýva objednávacie pravidlo a je formulovaný takto: dve kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak to zrazu nie je negatívne, ale - negatívne, tak .
Pridávanie zlomkov
Operácia sčítania. sumačné pravidlo čiastkačísla a a sú označené a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má ďalší pohľad: .
Operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom. V tomto prípade sa volá samotné číslo prácačísla a a sú označené ako a proces nájdenia takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia má nasledujúci tvar: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre akúkoľvek trojicu racionálnych čísel, a ak je menej a menej, potom menej, a ak je rovnaké a rovnaké, potom sa rovná.
Komutatívnosť sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sa sčítajú tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré po sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných čísel. Každé nenulové racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je koordinovaná s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo.
Spojenie medzi reláciou objednávky a operáciou násobenia.Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým kladným racionálnym číslom.
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo môžete vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne.

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nerozlišujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejakého matematického objektu. . Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Má zmysel uviesť tu len niekoľko z nich.

Počítateľnosť množiny

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel. Príkladom takejto konštrukcie je nasledujúci jednoduchý algoritmus. Zostavuje sa nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov, v každom riadku v každom stĺpci sa nachádza zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde je číslo riadku tabuľky, v ktorom sa bunka nachádza, a číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka sa prechádza pomocou „hada“ podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá na základe prvého zápasu.

V procese takéhoto prechodu je každé nové racionálne číslo spojené s iným prirodzeným číslom. To znamená, že zlomkom sa priradí číslo 1, zlomkom číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je, že najväčší spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa zlomku sa rovná jednej.

Podľa tohto algoritmu môžeme spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoduchým priradením ku každému racionálnemu číslu jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Samozrejme, existujú aj iné spôsoby, ako vyčísliť racionálne čísla. Napríklad na to môžete použiť štruktúry, ako je strom Kalkin-Wilf, strom Stern-Broko alebo séria Farey.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, keďže sa na prvý pohľad zdá, že je oveľa rozsiahlejšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

pozri tiež


	Celé čísla

Racionálne čísla

Reálne čísla Komplexné čísla Kvaternióny

Poznámky

Literatúra

I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: kapitola. vyd. fyzika a matematika lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov