Paralelné čiary. Vizuálny sprievodca (2019). N. Nikitin Geometria Dôsledky axiómy

Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Veta 1. Ak sa dve priamky pretínajú sečnicou:

skrížené uhly sú rovnaké, príp

zodpovedajúce uhly sú rovnaké, príp

súčet jednostranných uhlov je potom 180°

čiary sú rovnobežné(obr. 1).

Dôkaz. Obmedzujeme sa na preukázanie prípadu 1.

Nech sú pretínajúce sa priamky aab priečne a uhly AB sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.

Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M, a preto jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre jednoznačnosť nech je ∠ 4 vonkajší uhol trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný uhol. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čo znamená, že priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, sú teda rovnobežné.

Dôsledok 1. Dve rôzne čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).

Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku argumentu je vyslovený predpoklad, ktorý je v rozpore (opačný) s tým, čo je potrebné dokázať. Vedúcim k absurdite sa nazýva preto, že uvažovaním na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (k absurdite). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad vyslovený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.

Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.

Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).

Potom nakreslíme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.

Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
cez bod, ktorý neleží na danej priamke, je vždy možné nakresliť priamku rovnobežnú s danou.

Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.

Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza len jedna priamka rovnobežná s danou.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach rovnobežných priamok, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.

1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína aj druhú (obr. 4).

2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).

Nasledujúca veta je tiež pravdivá.

Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína priečka, potom:

priečne uhly sú rovnaké;

zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

súčet jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú(pozri obr. 2).

Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, teda ak je daná veta pravda, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.

Vysvetlime si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Opačná veta by bola: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vertikálne.

Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tieto uhly.

Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.

Definícia:

Dva priame hovory par-ral-lel-ny-mi, ak sa nekrížia (obr. 1). Toto znamená: .

Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza len jedna priamka rovnobežná s danou (obr. 2) .

Dôsledky axiómy

Dôsledok1:

Ak priamka pretína jednu z rovnobežných čiar, pretína aj druhú.

Vzhľadom na to:.

dokázať:.

dôkaz:

Povedzme si to z opačnej strany. To predpokladáme s neprekročí hranicu b(obr. 4).

Potom: (podľa podmienky), (podľa predpokladu). Teda cez pointu M sú dve rovné čiary ( A A c), paralelné priame b. A toto je pro-ti-vo-re-chit ak-sio-me. To znamená, že náš predpoklad je nesprávny. Potom je to rovno c krížovo rovno b.

Dôsledok 2:

Ak sú dve priamky rovnobežné s treťou priamkou, potom sú rovnobežné(obr. 5) .

Vzhľadom na to:.

dokázať:.

dôkaz:

Povedzme si to z opačnej strany. Predpokladajme, že sú rovné a A b per-re-se-ka-yut-sya v určitom okamihu M(obr. 6).

Takto sa o tom porozprávajme s ak-si-o-mine: cez bod M prechádzajú dve priame čiary, súčasne rovnobežné s treťou priamkou.

Ďalej, náš predpoklad je nesprávny. Potom .

Vety o vlastnostiach rovnobežiek

1. teória:

Ak sa pretínajú dve priame čiary, potom sú uhly v kríži rovnaké(obr. 7).

Vzhľadom na to:.

dokázať:.

dôkaz:

Povedzme si to z opačnej strany. Predpokladáme, že: .

Potom z lúča MN je možné nastaviť jeden uhol ∠ PMN, ktoré sa budú rovnať ∠ 2 ( Ryža. 7). Ale potom ∠ PMN A ∠ 2 - ležiaci krížom krážom a rovný. Potom priamo P.M. A b- par-ral-lel-ny. Potom cez bod M prechádzajú dve priamky, rovnobežné tretie. menovite:

Poďme sa porozprávať s ak-si-o-moy. To znamená, že náš predpoklad je nesprávny. Teda: .

Dôsledok:

Ak je priamka na jednej z rovnobežných priamok na pero-di-ku-lyar, potom je na pero-di-ku-lyar-on a na druhej.

Vzhľadom na to:

dokázať:

dôkaz:

1. s per-re-se-ka-et A, čo znamená, a re-se-ka-et priama čiara rovnobežná s ňou, to je b. Potom s- se-ku-shchaya from-no-she-niyu to A A b.

2. pokiaľ sa objavia na kríži ležiace. Potom . Teda .

Theo-re-ma 2:

Ak sa pretínajú dve rovnobežné priamky, potom sú príslušné uhly rovnaké.

Vzhľadom na to:- s-ku-šaja.

dokázať:(obr. 9).

dôkaz:

Ak , potom z predchádzajúcej vety vyplýva, že uhly v kríži sú rovnaké. To je .

zodpovedajúce uhly 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;

vnútorné priečne uhly 3 a 5, 4 a 6;

vonkajšie priečne uhly 1 a 7, 2 a 8;

vnútorné jednostranné rohy 3 a 6, 4 a 5;

vonkajšie jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.

Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podľa toho, čo bolo dokázané, ∠ 4 = ∠ 6.

Preto ∠ 2 = ∠ 8.

3. Zodpovedajúce uhly 2 a 6 sú rovnaké, pretože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Uistime sa tiež, že ostatné zodpovedajúce uhly sú rovnaké.

4. Sum vnútorné jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, pretože súčet priľahlé rohy 3 a 4 sa rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 možno nahradiť rovnakým ∠ 6. Dbáme tiež na to, aby súčet uhlov 4 a 5 sa rovná 2d.

5. Sum vonkajšie jednostranné rohy bude 2d, pretože tieto uhly sú rovnaké vnútorné jednostranné rohy ako rohy vertikálne.

Z vyššie uvedeného dokázaného odôvodnenia dostávame konverzné vety.

Keď na priesečníku dvoch čiar s ľubovoľnou treťou čiarou dostaneme, že:

1. Vnútorné priečne uhly sú rovnaké;

alebo 2. Vonkajšie priečne uhly sú rovnaké;

alebo 3. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

alebo 4. Súčet vnútorných jednostranných uhlov je 2d = 180 0;

alebo 5. Súčet vonkajších jednostranných je 2d = 180 0 ,

potom sú prvé dve čiary rovnobežné.

Tento článok je o rovnobežkách a rovnobežkách. Najprv je uvedená definícia rovnobežiek v rovine a v priestore, sú zavedené notácie, príklady a grafické znázornenie rovnobežiek. Ďalej sú diskutované znaky a podmienky pre rovnobežnosť čiar. V závere sú uvedené riešenia typických problémov dokazovania rovnobežnosti priamok, ktoré sú dané určitými rovnicami priamky v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine a v trojrozmernom priestore.

Navigácia na stránke.

Paralelné čiary - základné informácie.

Definícia.

V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný, ak nemajú spoločné body.

Definícia.

V trojrozmernom priestore sa nazývajú dve čiary paralelný, ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Upozorňujeme, že klauzula „ak ležia v rovnakej rovine“ v definícii rovnobežných čiar v priestore je veľmi dôležitá. Ujasnime si tento bod: dve priamky v trojrozmernom priestore, ktoré nemajú spoločné body a neležia v rovnakej rovine, nie sú rovnobežné, ale pretínajú sa.

Tu je niekoľko príkladov paralelných čiar. Protiľahlé okraje listu poznámkového bloku ležia na rovnobežných čiarach. Priame čiary, pozdĺž ktorých rovina steny domu pretína roviny stropu a podlahy, sú rovnobežné. Za paralelné trate možno považovať aj železničné koľajnice na rovine.

Na označenie rovnobežných čiar použite symbol „“. To znamená, že ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme stručne napísať a b.

Poznámka: ak sú priamky a a b rovnobežné, potom môžeme povedať, že priamka a je rovnobežná s priamkou b a tiež, že priamka b je rovnobežná s priamkou a.

Vyslovme tvrdenie, ktoré hrá dôležitú úlohu pri skúmaní rovnobežiek v rovine: bodom, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jediná priamka rovnobežná s danou. Toto tvrdenie sa prijíma ako fakt (nedá sa dokázať na základe známych axióm planimetrie) a nazýva sa axióma rovnobežiek.

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Táto veta sa dá ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežiek (jeho dôkaz nájdete v učebnici geometrie pre ročníky 10-11, ktorá je uvedená na konci článku v zozname literatúry).

Pre prípad v priestore platí veta: cez ktorýkoľvek bod v priestore, ktorý neleží na danej priamke, prechádza jedna priamka rovnobežná s danou. Túto vetu možno ľahko dokázať pomocou vyššie uvedenej axiómy rovnobežnej čiary.

Rovnobežnosť priamok - znaky a podmienky rovnobežnosti.

Znak rovnobežnosti čiar je dostatočná podmienka, aby boli čiary rovnobežné, teda podmienka, ktorej splnenie zaručuje rovnobežnosť čiar. Inými slovami, splnenie tejto podmienky postačuje na preukázanie skutočnosti, že čiary sú rovnobežné.

Sú tu aj nevyhnutné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok v rovine a v trojrozmernom priestore.

Vysvetlime si význam slovného spojenia „nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežky“.

Už sme sa zaoberali dostatočnou podmienkou pre paralelné vedenia. Čo je to „nevyhnutná podmienka pre rovnobežky“? Už z názvu „nevyhnutné“ je zrejmé, že splnenie tejto podmienky je nevyhnutné pre paralelné vedenia. Inými slovami, ak nie je splnená podmienka, aby boli čiary rovnobežné, potom čiary nie sú rovnobežné. teda nevyhnutná a postačujúca podmienka pre paralelné vedenia je podmienkou, ktorej splnenie je pre rovnobežné vedenia nevyhnutné aj postačujúce. To znamená, že na jednej strane je to znak rovnobežnosti čiar a na druhej strane je to vlastnosť, ktorú majú rovnobežné čiary.

Pred formulovaním nevyhnutnej a postačujúcej podmienky rovnobežnosti priamok je vhodné pripomenúť si niekoľko pomocných definícií.

Sekantová čiara je čiara, ktorá pretína každú z dvoch daných nezhodných čiar.

Keď sa dve priamky pretnú s priečnou, vytvorí sa osem nerozvinutých. Pri formulácii nevyhnutnej a postačujúcej podmienky pre rovnobežnosť línií, tzv ležiace priečne, zodpovedajúce A jednostranné uhly. Ukážme si ich na výkrese.

Veta.

Ak dve priamky v rovine pretína priečna, potom na to, aby boli rovnobežné, je potrebné a postačujúce, aby uhly pretínania boli rovnaké alebo zodpovedajúce uhly boli rovnaké alebo súčet jednostranných uhlov bol rovný 180 stupňom .

Ukážme si grafické znázornenie tejto nevyhnutnej a postačujúcej podmienky rovnobežnosti priamok v rovine.

Dôkazy o týchto podmienkach rovnobežnosti priamok nájdete v učebniciach geometrie pre 7.-9.

Všimnite si, že tieto podmienky je možné použiť aj v trojrozmernom priestore - hlavná vec je, že dve čiary a sečna ležia v rovnakej rovine.

Tu je niekoľko ďalších teorémov, ktoré sa často používajú na dokázanie rovnobežnosti čiar.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tohto kritéria vyplýva z axiómy rovnobežiek.

Podobná podmienka platí pre rovnobežné čiary v trojrozmernom priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v priestore rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné. Dôkaz tohto kritéria sa rozoberá na hodinách geometrie v 10. ročníku.

Ilustrujme uvedené vety.

Uveďme ďalšiu vetu, ktorá nám umožňuje dokázať rovnobežnosť priamok v rovine.

Veta.

Ak sú dve čiary v rovine kolmé na tretiu čiaru, potom sú rovnobežné.

Podobná veta platí pre čiary v priestore.

Veta.

Ak sú dve čiary v trojrozmernom priestore kolmé na rovnakú rovinu, potom sú rovnobežné.

Nakreslime obrázky zodpovedajúce týmto teorémam.

Všetky vyššie formulované vety, kritériá a nevyhnutné a postačujúce podmienky sú vynikajúce na dôkaz rovnobežnosti priamok pomocou geometrických metód. To znamená, že na preukázanie rovnobežnosti dvoch daných čiar musíte ukázať, že sú rovnobežné s treťou čiarou, alebo ukázať rovnosť priečne ležiacich uhlov atď. Veľa podobných problémov sa rieši na hodinách geometrie na strednej škole. Treba však poznamenať, že v mnohých prípadoch je vhodné použiť súradnicovú metódu na dôkaz rovnobežnosti priamok v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Formulujme potrebné a postačujúce podmienky pre rovnobežnosť priamok, ktoré sú špecifikované v pravouhlom súradnicovom systéme.

Rovnobežnosť čiar v pravouhlom súradnicovom systéme.

V tomto odseku článku budeme formulovať nevyhnutné a dostatočné podmienky pre paralelné vedenia v pravouhlom súradnicovom systéme v závislosti od typu rovníc definujúcich tieto priamky a poskytneme aj podrobné riešenia charakteristických problémov.

Začnime podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy. Jeho dôkaz je založený na definícii smerového vektora priamky a definícii normálového vektora priamky v rovine.

Veta.

Aby dve nezhodné priamky boli rovnobežné v rovine, je potrebné a postačujúce, aby smerové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo normálové vektory týchto priamok boli kolineárne, alebo smerový vektor jednej priamky bol kolmý na normálu. vektor druhého riadku.

Je zrejmé, že podmienka rovnobežnosti dvoch priamok v rovine je redukovaná na (smerové vektory priamok alebo normálové vektory priamok) alebo na (smerový vektor jednej priamky a normálový vektor druhej priamky). Teda ak a sú smerové vektory priamok a a b, a A sú normálové vektory priamok a a b, potom nevyhnutnú a postačujúcu podmienku rovnobežnosti priamok a a b zapíšeme ako , alebo , alebo , kde t je nejaké reálne číslo. Súradnice vodiacich línií a (alebo) normálových vektorov priamok a a b sa zase nachádzajú pomocou známych rovníc priamok.

Najmä, ak priamka a v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy v rovine definuje všeobecnú priamkovú rovnicu tvaru a priamka b - , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice, respektíve, a podmienka pre rovnobežnosť priamok a a b sa zapíše ako .

Ak priamka a zodpovedá rovnici priamky s uhlovým koeficientom tvaru a priamka b- , potom normálové vektory týchto priamok majú súradnice a a podmienka rovnobežnosti týchto priamok má tvar . V dôsledku toho, ak sú čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme rovnobežné a môžu byť špecifikované rovnicami čiar s uhlovými koeficientmi, potom budú uhlové koeficienty čiar rovnaké. A naopak: ak sa nezhodné čiary v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme dajú špecifikovať rovnicami priamky s rovnakými uhlovými koeficientmi, potom sú také čiary rovnobežné.

Ak sú priamka a a priamka b v pravouhlom súradnicovom systéme určené kanonickými rovnicami priamky na rovine tvaru A , alebo parametrické rovnice priamky na rovine tvaru A podľa toho majú smerové vektory týchto priamok súradnice a a podmienka rovnobežnosti priamok a a b je zapísaná ako .

Pozrime sa na riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Sú čiary rovnobežné? a ?

Riešenie.

Prepíšme rovnicu priamky v segmentoch do podoby všeobecnej rovnice priamky: . Teraz vidíme, že ide o normálny vektor čiary , a je normálový vektor priamky. Tieto vektory nie sú kolineárne, pretože neexistuje žiadne reálne číslo t, pre ktoré platí rovnosť ( ). V dôsledku toho nie je splnená nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť priamok v rovine, preto dané priamky nie sú rovnobežné.

odpoveď:

Nie, čiary nie sú rovnobežné.

Príklad.

Sú rovné a rovnobežné?

Riešenie.

Zredukujme kanonickú rovnicu priamky na rovnicu priamky s uhlovým koeficientom: . Je zrejmé, že rovnice čiar a nie sú rovnaké (v tomto prípade by dané čiary boli rovnaké) a uhlové koeficienty čiar sú rovnaké, preto sú pôvodné čiary rovnobežné.

Ak keď sa dve priamky pretínajú s priečkou, súčet vnútorných jednostranných uhlov nie je rovný 180°, potom priamky nie sú rovnobežné, to znamená, že sa pretínajú, ak sú dostatočne predĺžené.

Dôkaz. Ak by sa tieto priamky nepretínali, boli by rovnobežné a súčet vnútorných jednostranných uhlov by sa rovnal 180°, čo je v rozpore s podmienkou. Veta bola dokázaná.

Povedzte opačnú vetu.

3.3. Relatívna poloha štyroch priamych čiar.

Študovali sme rôzne prípady vzájomnej polohy dvoch a troch čiar v rovine. Teraz si preštudujme vzájomné polohy štyroch priamych čiar v rovine. Ukážme si rôzne prípady.

A) dve pretínajúce sa čiary pretínajú dve ďalšie pretínajúce sa čiary:

b) každá z dvoch pretínajúcich sa čiar pretína dve rovnobežné čiary:

c) dve rovnobežné priamky pretínajú dve rovnobežné priamky:

d) tri rovnobežné čiary pretína tretia čiara:

e) všetky štyri čiary sú rovnobežné:

Aké tvary môžete vidieť na týchto obrázkoch? Napríklad na obr. 3.23 vľavo môžete vidieť obrázok pozostávajúci zo štyroch segmentov, z ktorých dva sú rovnobežné. Na obr. 3.23 viditeľnéže keď sa dve rovnobežné čiary pretínajú s dvoma ďalšími rovnobežnými čiarami, získa sa obrazec, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné a rovnaké. Poďme to dokázať.

Lema 1. Keď sa dve rovnobežné priamky pretínajú s dvoma ďalšími rovnobežnými priamkami, získame obrazec, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.

Dôkaz. Nechajte čiary navzájom rovnobežné a,b a rovné čiary navzájom rovnobežné c,d pretínajú v bodoch A,B,C,D(obr. 3.26).

Dokážme to AB=CD A AD=BC. Nakreslíme segment AC(Obr. 3.27, a). Na začiatok si to ukážme AB=CD.

Uhly Р ACD a SAB a A b a sekant AC. Uhly Р DAC A Ð ACB rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežnými čiarami c A d a sekant AC.

Na tráme AB odložte segment AE, rovná segmentu CD(Obr. 3.27, b) . Uhly Р ACD a SA.E. sú rovnaké, čo znamená ich zodpovedajúce priečniky AD A C.E. sú si rovní. Teda AE A DC– zodpovedajúce priečniky uhlov Р DAC A Ð ACB, ale sú rovnaké v konštrukcii, čo znamená uhol Ð ACE rovný uhlu Р DAC. Ale uhol Ð DAC rovný uhlu Ð ACB. To znamená, že uhly sú rovnaké Ð ACE A Ð ACB, o to ide E leží na tráme NE. Podľa konštrukčného bodu E leží na tráme AB. Ale tieto lúče sa pretínajú v jednom bode IN, teda body IN A E zhodovať a AB=AE=CD.

Takže sme dokázali, že segmenty sú rovnaké AB A SD. Segmenty AD A C.B. rovnaké ako zodpovedajúce priečniky s rovnakými uhlami. Výrok Lemy 1 je dokázaný.

Dôsledok 5: Opačné uhly obrázku ABCD sú rovnaké (Obr. 3.27) .