Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov Lagrangeovou metódou. ODU. Metóda variácie ľubovoľnej konštanty Riešenie diferenciálnej rovnice metódou variácie konštanty

Metóda variácie ľubovoľných konštánt

Metóda variácie ľubovoľných konštánt na zostavenie riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

pozostáva z nahradenia ľubovoľných konštánt c k vo všeobecnom riešení

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

zodpovedajúca homogénna rovnica

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

pre pomocné funkcie c k (t) , ktorého deriváty spĺňajú lineárny algebraický systém

Determinant systému (1) je Wronskián funkcií z 1 ,z 2 ,...,z n , čo zabezpečuje jeho jedinečnú riešiteľnosť vzhľadom na .

Ak sú primitívne deriváty pre , brané pri pevných hodnotách integračných konštánt, potom funkcia

je riešením pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice. Integrácia nehomogénnej rovnice za prítomnosti všeobecného riešenia do zodpovedajúcej homogénnej rovnice sa tak redukuje na kvadratúry.

Metóda variácie ľubovoľných konštánt na zostavenie riešení sústavy lineárnych diferenciálnych rovníc vo vektorovom normálnom tvare

spočíva v zostrojení konkrétneho riešenia (1) vo forme

Kde Z(t) je základom riešení príslušnej homogénnej rovnice zapísanej vo forme matice a vektorová funkcia , ktorá nahradila vektor ľubovoľných konštánt, je definovaná vzťahom . Požadované konkrétne riešenie (s nulovými počiatočnými hodnotami pri t = t 0 vyzerá

Pre systém s konštantnými koeficientmi je posledný výraz zjednodušený:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) volal Cauchyho matrica operátor L = A(t) .

Uvažujme teraz o lineárnej nehomogénnej rovnici
. (2)
Nech y 1 , y 2 ,.., y n je základný systém riešení a - spoločné rozhodnutie zodpovedajúca homogénna rovnica L(y)=0. Podobne ako v prípade rovníc prvého rádu budeme hľadať riešenie rovnice (2) v tvare
. (3)
Uistime sa, že riešenie v tejto podobe existuje. Aby sme to dosiahli, dosadíme funkciu do rovnice. Na dosadenie tejto funkcie do rovnice nájdeme jej derivácie. Prvá derivácia sa rovná
. (4)
Pri výpočte druhej derivácie sa na pravej strane (4) objavia štyri členy, pri výpočte tretej derivácie osem členov atď. Preto je pre uľahčenie ďalších výpočtov prvý člen v (4) nastavený na nulu. Ak to vezmeme do úvahy, druhá derivácia sa rovná
. (5)
Z rovnakých dôvodov ako predtým, aj v (5) nastavíme prvý člen rovný nule. Nakoniec je n-tá derivácia
. (6)
Nahradením získaných hodnôt derivácií do pôvodnej rovnice máme
. (7)
Druhý člen v (7) sa rovná nule, pretože funkcie y j, j=1,2,..,n sú riešeniami zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0. Kombináciou s predchádzajúcim získame systém algebraických rovníc na nájdenie funkcií C" j (x)
(8)
Determinant tejto sústavy je Wronského determinant fundamentálnej sústavy riešení y 1 ,y 2 ,..,y n zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 a preto sa nerovná nule. V dôsledku toho existuje jedinečné riešenie systému (8). Po jej nájdení dostaneme funkcie C" j (x), j=1,2,…,n, a následne C j (x), j=1,2,…,n Dosadením týchto hodnôt do (3) dostaneme riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice.
Prezentovaná metóda sa nazýva metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda.

Príklad č.1. Nájdime všeobecné riešenie rovnice y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Uvažujme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu y"" + 4y" + 3y = 0. Korene jej charakteristickej rovnice r 2 + 4r + 3 = 0 sa rovná -1 a -3. Preto základný systém riešení homogénnej rovnice pozostáva z funkcií y 1 = e - x a y 2 = e -3 x. Hľadáme riešenie nehomogénnej rovnice v tvare y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Na nájdenie derivátov C" 1 , C" 2 zostavíme sústavu rovníc (8)
C'1.e-x +C'2.e-3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
riešenie, ktoré nájdeme , Integráciou získaných funkcií máme
Konečne sa dostávame

Príklad č.2. Riešte lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi pomocou metódy meniacich sa ľubovoľných konštánt:

y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Riešenie:
Táto diferenciálna rovnica sa vzťahuje na lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.
Budeme hľadať riešenie rovnice v tvare y = e rx. Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi:
r2-6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 418 = 4

Korene charakteristickej rovnice: r 1 = 4, r 2 = 2
V dôsledku toho základný systém riešení pozostáva z funkcií: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Hľadajte konkrétne riešenie metódou variácie ľubovoľnej konštanty.
Aby sme našli deriváty C" i, zostavíme sústavu rovníc:
C'1.e 4x +C'2.e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e - 2x)
Vyjadrime C" 1 z prvej rovnice:
C"1 = -c2e-2x
a nahraďte ho druhým. V dôsledku toho dostaneme:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integrujeme získané funkcie C" i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Keďže y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, zapíšeme výsledné výrazy v tvare:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má teda tvar:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
alebo
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Poďme nájsť konkrétne riešenie za podmienky:
y(0) = 1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Dosadením x = 0 do nájdenej rovnice dostaneme:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
Nájdeme prvú deriváciu získaného všeobecného riešenia:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Nahradením x = 0 dostaneme:
y’(0) = 2(2C1+C2+4ln(3)+ln(3)-2) = 4C1+2C2+10ln(3)-4 = 10ln3

Dostaneme systém dvoch rovníc:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
alebo
C*1+C*2=2
4C1 + 2C2 = 4
alebo
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Z: C1 = 0, C*2 = 2
Súkromné ​​riešenie bude napísané takto:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Uvažuje sa o metóde riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov s konštantnými koeficientmi metódou variácie Lagrangeových konštánt. Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známy základný systém riešení homogénnej rovnice.

Pozri tiež:

Lagrangeova metóda (variácia konštánt)

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi ľubovoľného n-tého rádu:
(1) .
Metóda variácie konštanty, ktorú sme uvažovali pre rovnicu prvého rádu, je použiteľná aj pre rovnice vyššieho rádu.

Riešenie sa uskutočňuje v dvoch etapách. V prvom kroku zahodíme pravú stranu a vyriešime homogénnu rovnicu. Výsledkom je riešenie obsahujúce n ľubovoľných konštánt. V druhej fáze meníme konštanty. To znamená, že veríme, že tieto konštanty sú funkciami nezávislej premennej x a nájdeme tvar týchto funkcií.

Síce tu uvažujeme o rovniciach s konštantnými koeficientmi, ale Lagrangeova metóda je použiteľná aj na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc. Na to je však potrebné poznať základný systém riešení homogénnej rovnice.

Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice

Rovnako ako v prípade rovníc prvého rádu, najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice, pričom pravú nehomogénnu stranu priradíme k nule:
(2) .
Všeobecné riešenie tejto rovnice je:
(3) .
Tu sú ľubovoľné konštanty; - n lineárne nezávislých riešení homogénnej rovnice (2), ktoré tvoria fundamentálnu sústavu riešení tejto rovnice.

Krok 2. Variácia konštánt - nahradenie konštánt funkciami

V druhej fáze sa budeme zaoberať variáciou konštánt. Inými slovami, konštanty nahradíme funkciami nezávislej premennej x:
.
To znamená, že hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (1) v nasledujúcom tvare:
(4) .

Ak dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciálnu rovnicu pre n funkcií. V tomto prípade môžeme tieto funkcie spojiť s ďalšími rovnicami. Potom dostanete n rovníc, z ktorých možno určiť n funkcií. Je možné napísať ďalšie rovnice rôzne cesty. Ale urobíme to tak, aby riešenie malo najjednoduchšiu formu. Aby ste to dosiahli, musíte pri diferenciácii prirovnať k nule výrazy obsahujúce deriváty funkcií. Poďme si to ukázať.

Na dosadenie navrhovaného riešenia (4) do pôvodnej rovnice (1) potrebujeme nájsť derivácie prvých n rádov funkcie zapísanej v tvare (4). Diferencujeme (4) pomocou pravidiel diferenciácie súčtu a súčinu:
.
Poďme zoskupiť členov. Najprv si zapíšeme výrazy s derivátmi , a potom výrazy s derivátmi :

.
Uložme na funkcie prvú podmienku:
(5.1) .
Potom výraz pre prvú deriváciu vzhľadom na bude mať jednoduchší tvar:
(6.1) .

Rovnakým spôsobom nájdeme druhú deriváciu:

.
Uložme na funkcie druhú podmienku:
(5.2) .
Potom
(6.2) .
A tak ďalej. V dodatočných podmienkach prirovnávame členy obsahujúce derivácie funkcií na nulu.

Ak teda pre funkcie zvolíme nasledujúce dodatočné rovnice:
(5.k) ,
potom prvé deriváty vzhľadom na budú mať najjednoduchší tvar:
(6.k) .
Tu .

Nájdite n-tú deriváciu:
(6.n)
.

Dosaďte do pôvodnej rovnice (1):
(1) ;






.
Zoberme si, že všetky funkcie spĺňajú rovnicu (2):
.
Potom súčet členov, ktoré obsahujú, dáva nulu. V dôsledku toho dostaneme:
(7) .

V dôsledku toho sme dostali systém lineárnych rovníc pre deriváty:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Pri riešení tohto systému nájdeme výrazy pre derivácie ako funkciu x. Integráciou získame:
.
Tu sú konštanty, ktoré už nezávisia od x. Dosadením do (4) získame všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.

Všimnite si, že na určenie hodnôt derivácií sme nikdy nepoužili skutočnosť, že koeficienty a i sú konštantné. Preto Lagrangeova metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známy základný systém riešení homogénnej rovnice (2).

Príklady

Riešte rovnice metódou variácie konštánt (Lagrange).


Riešenie príkladov >> >

Metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda je ďalším spôsobom riešenia lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu a Bernoulliho rovnice.

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu sú rovnice tvaru y’+p(x)y=q(x). Ak je na pravej strane nula: y’+p(x)y=0, potom je to lineárna homogénne rovnica 1. rádu. Rovnica s nenulovou pravou stranou, y’+p(x)y=q(x), je teda heterogénne Lineárna rovnica 1. rádu.

Metóda variácie ľubovoľnej konštanty (Lagrangeova metóda) je nasledujúca:

1) Hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Vo všeobecnom riešení považujeme C nie za konštantu, ale za funkciu x: C = C (x). Nájdeme deriváciu všeobecného riešenia (y*)’ a dosadíme výsledný výraz za y* a (y*)’ do počiatočnej podmienky. Z výslednej rovnice nájdeme funkciu C(x).

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice namiesto C dosadíme nájdený výraz C(x).

Pozrime sa na príklady metódy variácie ľubovoľnej konštanty. Zoberme si rovnaké úlohy ako v, porovnajme priebeh riešenia a presvedčime sa, že získané odpovede sa zhodujú.

1) y'=3x-y/x

Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare (na rozdiel od Bernoulliho metódy, kde sme potrebovali formu zápisu len na to, aby sme videli, že rovnica je lineárna).

y'+y/x=3x (I). Teraz postupujeme podľa plánu.

1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’+y/x=0. Toto je rovnica s oddeliteľnými premennými. Predstavte si y’=dy/dx, náhrada: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme xy≠0: dy/y=-dx/x. Poďme integrovať:

2) Vo výslednom všeobecnom riešení homogénnej rovnice budeme C považovať nie za konštantu, ale za funkciu x: C=C(x). Odtiaľ

Výsledné výrazy dosadíme do podmienky (I):

Integrujme obe strany rovnice:

tu C je už nejaká nová konštanta.

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice y=C/x, kde sme predpokladali C=C(x), teda y=C(x)/x, namiesto C(x) dosadíme nájdený výraz x³ +C: y=(x3+C)/x alebo y=x2+C/x. Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Odpoveď: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Tu je rovnica už napísaná v štandardnom tvare, nie je potrebné ju transformovať.

1) Riešte homogénnu lineárnu rovnicu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Poďme integrovať:

Aby sme získali pohodlnejšiu formu zápisu, vezmeme exponent na mocninu C ako nové C:

Táto transformácia sa uskutočnila, aby bolo pohodlnejšie nájsť derivát.

2) Vo výslednom všeobecnom riešení lineárnej homogénnej rovnice považujeme C nie za konštantu, ale za funkciu x: C=C(x). Za tejto podmienky

Výsledné výrazy y a y dosadíme do podmienky:

Vynásobte obe strany rovnice

Integrujeme obe strany rovnice pomocou vzorca integrácie podľa častí, dostaneme:

Tu už C nie je funkcia, ale obyčajná konštanta.

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice

nahraďte nájdenú funkciu C(x):

Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Metóda variácie ľubovoľnej konštanty je tiež použiteľná na riešenie.

y'x+y=-xy².

Rovnicu uvedieme do štandardného tvaru: y’+y/x=-y² (II).

1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strany rovnice vynásobíme dx a vydelíme y: dy/y=-dx/x. Teraz integrujme:

Výsledné výrazy dosadíme do podmienky (II):

Zjednodušme si to:

Získali sme rovnicu so separovateľnými premennými pre C a x:

Tu je C už obyčajná konštanta. Počas integračného procesu sme namiesto C(x) napísali jednoducho C, aby sme nepreťažili zápis. A na záver sme sa vrátili k C(x), aby sme si C(x) nepomýlili s novým C.

3) Vo všeobecnom riešení homogénnej rovnice y=C(x)/x dosadíme nájdenú funkciu C(x):

Dostali sme rovnakú odpoveď ako pri riešení Bernoulliho metódou.

Príklady autotestov:

1. Prepíšme rovnicu v štandardnom tvare: y’-2y=x.

1) Vyriešte homogénnu rovnicu y’-2y=0. y’=dy/dx, teda dy/dx=2y, vynásobte obe strany rovnice dx, vydeľte y a integrujte:

Odtiaľto nájdeme y:

Do podmienky dosadíme výrazy pre y a y’ (pre stručnosť použijeme C namiesto C(x) a C’ namiesto C"(x)):

Na nájdenie integrálu na pravej strane použijeme vzorec integrácie podľa častí:

Teraz dosadíme u, du a v do vzorca:

Tu C = konšt.

3) Teraz do roztoku dosadíme homogénny

Prednáška 44. Lineárne nehomogénne rovnice 2. rádu. Metóda variácie ľubovoľných konštánt. Lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. (špeciálna pravá strana).

Sociálne premeny. Štát a cirkev.

Sociálnu politiku boľševikov do značnej miery diktoval ich triedny prístup. Dekrétom z 10. novembra 1917 bol zničený triedny systém, zrušené predrevolučné hodnosti, tituly a vyznamenania. Bola stanovená voľba sudcov; sa uskutočnila sekularizácia občianskych štátov. Bolo ustanovené bezplatné školstvo a lekárska starostlivosť (výnos z 31. októbra 1918). Ženy dostali rovnaké práva ako muži (dekréty zo 16. a 18. decembra 1917). Dekrét o manželstve zaviedol inštitút civilného sobáša.

Dekrétom Rady ľudových komisárov z 20. januára 1918 bola cirkev oddelená od štátu a od školstva. Väčšina cirkevného majetku bola skonfiškovaná. Patriarcha Moskvy a celej Rusi Tichon (zvolený 5. novembra 1917) anathematizovaný 19. januára 1918 Sovietska moc a vyzval na boj proti boľševikom.

Uvažujme lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu

Štruktúra všeobecného riešenia takejto rovnice je určená nasledujúcou vetou:

Veta 1. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (1) je reprezentované ako súčet nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice

Dôkaz. Je potrebné preukázať, že suma

je všeobecné riešenie rovnice (1). Najprv dokážme, že funkcia (3) je riešením rovnice (1).

Dosadenie súčtu do rovnice (1) namiesto pri, bude mať

Keďže existuje riešenie rovnice (2), výraz v prvých zátvorkách je zhodne rovný nule. Keďže existuje riešenie rovnice (1), výraz v druhej zátvorke sa rovná f(x). Preto je rovnosť (4) identita. Prvá časť vety je teda dokázaná.

Dokážme druhé tvrdenie: výraz (3) je všeobecný riešenie rovnice (1). Musíme dokázať, že ľubovoľné konštanty zahrnuté v tomto výraze možno vybrať tak, aby boli splnené počiatočné podmienky:

nech sú čísla akékoľvek x 0, y 0 a (ak len x 0 bola prevzatá z oblasti, kde funkcie a 1, a 2 A f(x) nepretržité).

Všimnite si, že môže byť zastúpená vo forme . Potom na základe podmienok (5) budeme mať

Poďme vyriešiť tento systém a určiť C 1 A C 2. Prepíšme systém do tvaru:

Všimnite si, že determinantom tohto systému je Wronského determinant funkcií o 1 A o 2 v bode x = x 0. Keďže tieto funkcie sú lineárne nezávislé podľa podmienky, Wronského determinant sa nerovná nule; preto systém (6) má definitívne riešenie C 1 A C 2, t.j. existujú také významy C 1 A C 2, podľa ktorého vzorec (3) určuje riešenie rovnice (1) spĺňajúce dané počiatočné podmienky. Q.E.D.

Prejdime k všeobecnej metóde hľadania čiastkových riešení nehomogénnej rovnice.

Napíšme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2)

Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (1) v tvare (7), berúc do úvahy C 1 A C 2 ako niektoré zatiaľ neznáme funkcie z X.

Rozlišujme rovnosť (7):

Vyberme funkcie, ktoré hľadáte C 1 A C 2 aby platila rovnosť

Ak vezmeme do úvahy túto dodatočnú podmienku, potom prvá derivácia bude mať formu

Keď teraz rozlíšime tento výraz, zistíme:

Dosadením do rovnice (1) dostaneme

Výrazy v prvých dvoch zátvorkách sa stanú nulou, pretože y 1 A y 2– riešenia homogénnej rovnice. Preto posledná rovnosť nadobúda formu

Funkcia (7) bude teda riešením nehomogénnej rovnice (1), ak funkcie C 1 A C 2 spĺňajú rovnice (8) a (9). Vytvorme sústavu rovníc z rovníc (8) a (9).

Keďže determinantom tohto systému je Wronského determinant pre lineárne nezávislé riešenia y 1 A y 2 rovnica (2), potom sa nerovná nule. Preto pri riešení systému nájdeme obe určité funkcie X:

Riešením tohto systému nájdeme , odkiaľ v dôsledku integrácie získame . Ďalej nájdené funkcie dosadíme do vzorca, získame všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice, kde sú ľubovoľné konštanty.