Príklady na sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Pridávanie zlomkov

Akcie so zlomkami.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme k hlavnému problému.

Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Všetky tieto akcie s desiatkový práca so zlomkami sa nelíši od práce s celými číslami. V skutočnosti je to na nich dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.

Zmiešané čísla, ako som už povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.

Ale akcie s obyčajné zlomky budú prefíkanejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď., atď. sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.

Sčítanie a odčítanie zlomkov.

Sčítajte (odčítajte) zlomky od rovnakých menovateľov každý môže (naozaj dúfam!). No a pre úplne zábudlivých pripomeniem: pri sčítaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú) a získajú tak čitateľa výsledku. Typ:

Skrátka v celkový pohľad:

Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou základnej vlastnosti zlomku (tu sa opäť hodí!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:

Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Jediným účelom, aby boli menovatele rovnaké. Pre každý prípad mi dovoľte poznamenať, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepohodlné a 4/10 sú naozaj v poriadku.

Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek matematických úloh. Keď sme od nepríjemné robíme výrazy to isté, ale pohodlnejšie na riešenie.

Ďalší príklad:

Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým vynásobením 3. Toto je všetko jasné. Ale narazili sme na niečo ako:

Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:

Páni! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je deliteľné 7 a 9 súčasne. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak vynásobíme číslo napríklad 7, tak výsledok bude určite deliteľný 7!

Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Stačí nájsť menovateľa spoločného pre všetky zlomky a zredukovať každý zlomok na rovnaký menovateľ. Napríklad:

A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Je ľahšie odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto z týchto čísel ľahko dostanete 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.

Mimochodom, ak zoberiete 1024 ako spoločného menovateľa, všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Ale nie každý sa k tomu dostane, kvôli výpočtom...

Doplňte príklad sami. Nie nejaký logaritmus... Malo by to byť 29/16.

Takže sčítanie (odčítanie) zlomkov je dúfam jasné? Samozrejme, je jednoduchšie pracovať v skrátenej verzii s ďalšími multiplikátormi. Ale toto potešenie majú tí, čo poctivo pracovali v nižších ročníkoch... A na nič nezabudli.

A teraz urobíme tie isté akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable tu budú odhalené, áno...

Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:

Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! To je to, čo diktuje hlavná vlastnosť zlomku. Preto nemôžem pridať jednotku k X v prvom zlomku v menovateli. (to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, vidíte, všetko rastie spolu! Čiaru zlomku napíšeme hore prázdny priestor Nechajme to, potom to pridajte a napíšte súčin menovateľov nižšie, aby ste nezabudli:

A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa na pravej strane, uvedomíme si: ak chcete získať menovateľa x(x+1) v prvom zlomku, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku číslom (x+1) . A v druhom zlomku - na x. Toto získate:

Venujte pozornosť! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré veľa ľudí šliape. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavia, pretože násobíme všetkyčitateľ a všetky menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...

Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateli pravej strany, t.j. Všetko množíme a dávame podobné. Nie je potrebné otvárať zátvorky v menovateľoch ani nič násobiť! Vo všeobecnosti je v menovateloch (akýchkoľvek) produkt vždy príjemnejší! Získame:

Tak sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Keď vyriešite príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v správnom čase, robia všetky tieto operácie jednou ľavou rukou, automaticky!

A ešte jedna poznámka. Mnohí šikovne narábajú so zlomkami, ale uviaznu na príkladoch celýčísla. Páči sa: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kam upevniť dvojdielne? Nemusíte ho nikam pripevňovať, musíte urobiť zlomok z dvoch. Nie je to ľahké, ale veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Takto. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.

No osviežili sa znalosti sčítania a odčítania zlomkov. Prevod zlomkov z jedného typu na druhý sa opakoval. Môžete sa tiež nechať skontrolovať. Urovnáme to trochu?)

Vypočítať:

Odpovede (v neporiadku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobenie/delenie zlomkov - na ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky operácie so zlomkami.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

§ 87. Sčítanie zlomkov.

Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.

Postupne zvážime tri prípady:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznych menovateľov.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Zvážte príklad: 1/5 + 2/5.

Zoberme si segment AB (obr. 17), vezmime ho ako jeden a rozdeľme ho na 5 rovnakých častí, potom časť AC tohto segmentu sa bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.

Z výkresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Ak vezmeme do úvahy tieto členy a výsledný súčet, vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.

Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.

Pozrime sa na príklad:

2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Pridajme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:

Medzičlánok 6/8 + 3/8 sa nepodarilo napísať; napísali sme to sem kvôli prehľadnosti.

Ak teda chcete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa, pridať ich čitateľov a označiť spoločného menovateľa.

Zoberme si príklad (nad príslušné zlomky napíšeme ďalšie faktory):

3. Sčítanie zmiešaných čísel.

Sčítajme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.

Najprv prinesme zlomkové časti našich čísel do spoločného menovateľa a prepíšme ich znova:

Teraz postupne pridávame celé číslo a zlomkové časti:

§ 88. Odčítanie zlomkov.

Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pomocou ktorej sa na základe súčtu dvoch pojmov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Uvažujme tri prípady za sebou:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Pozrime sa na príklad:

13 / 15 - 4 / 15

Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude predstavovať 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED rovný 4/15 AB.

Musíme odpočítať zlomok 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:

Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov, ale menovateľ zostal rovnaký.

Preto, aby ste odčítali zlomky s podobnými menovateľmi, musíte odpočítať čitateľa odčítača od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.

2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad. 3/4 - 5/8

Najprv zredukujme tieto zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa:

Medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8 je tu napísaný kvôli prehľadnosti, ale odteraz ho možno preskočiť.

Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr zmenšiť na najnižšieho spoločného menovateľa, potom odčítať čitateľa mínusu od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.

Pozrime sa na príklad:

3. Odčítanie zmiešaných čísel.

Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.

Zredukujme zlomkové časti minuendu a subtrahendu na najnižšieho spoločného menovateľa:

Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď zlomková časť toho, čo sa odpočítava, je väčšia ako zlomková časť toho, čo sa znižuje. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celej časti menovky, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať ju k zlomkovej časti menovky. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:

§ 89. Násobenie zlomkov.

Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percenta daného čísla. Zvážme ich postupne.

1. Násobenie zlomku celým číslom.

Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobiť zlomok (násobiteľ) celým číslom (faktorom) znamená vytvoriť súčet identických členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

To znamená, že ak potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:

Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda

Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko je jednotiek v celom čísle. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa

alebo znížením jeho menovateľa , potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, vynásobíte čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponecháte rovnaký, alebo ak je to možné, vydelíte menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.

Pri násobení sú možné skratky, napríklad:

2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito problémami a inými je v tom, že udávajú počet niektorých objektov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.

Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?

Úloha 2. Vlak musí prejsť vzdialenosť medzi mestami A a B rovnajúcu sa 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?

Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko celkovo tehlové domy?

Toto sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa stretávame pri hľadaní časti daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.

Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; To znamená, že ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:

Riešenie problému 2. Pointa problému je v tom, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Najprv vypočítame 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:

300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).

Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, t. j. vynásobiť 2:

100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).

Riešenie problému 3. Tu musíte určiť počet tehlových domov, ktoré tvoria 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).

Na výpočet troch štvrtín zo 400 je potrebné výsledný kvocient strojnásobiť, t. j. vynásobiť 3:

100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).

Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.

3. Násobenie celého čísla zlomkom.

Skôr (§ 26) bolo ustanovené, že násobenie celých čísel treba chápať ako sčítanie rovnakých členov (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odseku (bod 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.

V oboch prípadoch násobenie pozostávalo z nájdenia súčtu identických členov.

Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia sa na tento prípad nevzťahuje. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.

Z tohto dôvodu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t. j. inými slovami odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.

Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobenie celého čísla (multiplikandu) zlomkom (multiplikand) znamená nájdenie tohto zlomku multiplikandu.

Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.

Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo sú takí rôzne akcie ako zistiť sumu rovnaké čísla a hľadanie zlomkov čísel sa v aritmetike nazýva rovnakým slovom „násobenie“?

Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpovede na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia rovnakou akciou.

Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?

Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).

Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené zlomkom: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?“

Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).

Čísla v ňom môžete zmeniť ešte niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad vezmite 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.

Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.

Ako vynásobíte celé číslo zlomkom?

Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:

Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdime 1/4 z 50 a potom 3/4.

1/4 z 50 je 50/4;

3/4 z čísla 50 sú .

Preto.

Uvažujme o ďalšom príklade: 12 5 / 8 =?

1/8 z čísla 12 je 12/8,

5/8 z čísla 12 je .

teda

Odtiaľ dostaneme pravidlo:

Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa tohto zlomku podpísať ako menovateľa.

Napíšme toto pravidlo pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38

Je dôležité si uvedomiť, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) zníženia, Napríklad:

4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, t.j. pri násobení zlomku zlomkom musíte nájsť zlomok, ktorý je vo faktore z prvého zlomku (násobilku).

Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.

Ako vynásobíte zlomok zlomkom?

Zoberme si príklad: 3/4 vynásobené 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Najprv nájdime 1/7 z 3/4 a potom 5/7

1/7 z počtu 3/4 bude vyjadrená takto:

5/7 čísla 3/4 budú vyjadrené takto:

teda

Ďalší príklad: 5/8 vynásobené 4/9.

1/9 z 5/8 je ,

4/9 z počtu 5/8 je .

teda

Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.

Toto pravidlo možno napísať vo všeobecnej forme takto:

Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Pozrime sa na príklady:

5. Násobenie zmiešaných čísel. Pretože zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú multiplikand alebo faktor alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobme napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Premeňme každý z nich na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobme podľa pravidla pre násobenie zlomku zlomkom:

Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom ich vynásobiť podľa pravidla pre násobenie zlomkov zlomkami.

Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie sa môže vykonať na základe distribučného zákona takto:

6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Ale treba mať na pamäti, že mnohé veličiny im umožňujú nie hocijaké, ale prirodzené delenie. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to kopejka, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok, alebo desaťkopejka. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Ale prakticky neberú, napríklad 2/7 rubľa, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.

Jednotka hmotnosti, teda kilogram, umožňuje predovšetkým desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g a také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/13 nie sú bežné.

Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desatinné delenie.

Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takéto dobre odôvodnené delenie je „stoté“ delenie. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.

1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.

Príklad. Predchádzajúca cena knihy bola 10 rubľov. Znížila sa o 1 rubeľ. 20 kopejok

2. Sporiteľne vyplácajú vkladateľom 2/100 zo sumy uloženej na sporenie počas roka.

Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.

PRÍKLAD Na škole bolo len 1200 žiakov, z toho 60 maturovalo.

Stotina čísla sa nazýva percento.

Slovo „percento“ je prevzaté z latinský jazyk a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam takéhoto výrazu vyplýva z toho, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každých sto“. Slovo „cent“ sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (povedzme centimeter).

Napríklad namiesto toho, aby sme povedali, že za posledný mesiac závod vyrobil 1/100 všetkých svojich výrobkov ako chybných, povieme toto: za posledný mesiac závod vyrobil jedno percento chybných. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac, ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.

Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:

1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.

2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy uloženej na sporenie.

3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent zo všetkých žiakov školy.

Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ symbol %.

Musíte si však uvedomiť, že pri výpočtoch sa znak % zvyčajne nezapisuje do výkazu problému a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s týmto symbolom napísať zlomok s menovateľom 100.

Musíte byť schopní nahradiť celé číslo označenou ikonou zlomkom s menovateľom 100:

Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s uvedeným symbolom namiesto zlomku s menovateľom 100:

7. Nájdenie percenta daného čísla.

Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového palivového dreva?

Zmyslom tohto problému je, že brezové palivové drevo tvorilo len časť palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená v zlomku 30/100. To znamená, že máme za úlohu nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30/100 (problémy s nájdením zlomku čísla sa riešia vynásobením čísla zlomkom.).

To znamená, že 30 % z 200 sa rovná 60.

Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť znížený o 10. Toto zmenšenie by bolo možné urobiť od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.

Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Deti 11-ročné tvorili 21 %, deti 12-ročné tvorili 61 % a napokon 13-ročné deti tvorili 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?

V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, t.j. postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.

To znamená, že tu budete musieť nájsť zlomok čísla trikrát. Urobme toto:

1) Koľko tam bolo 11-ročných detí?

2) Koľko tam bolo 12-ročných detí?

3) Koľko tam bolo 13-ročných detí?

Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:

63 + 183 + 54 = 300

Treba tiež poznamenať, že súčet percent uvedených v probléme je 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To naznačuje, že celkový počet detí v tábore bol braný ako 100 %.

3 a d a h a 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na potraviny, 6 % na byty a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?

Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte nájsť zlomok 1 200 5 krát.

1) Koľko peňazí sa minulo na jedlo? Problém hovorí, že tento výdavok je 65 % z celkového zárobku, teda 65/100 z čísla 1200.

2) Koľko peňazí ste zaplatili za byt s kúrením? Uvažovaním podobne ako v predchádzajúcom dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:

3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?

4) Koľko peňazí sa minulo na kultúrne potreby?

5) Koľko peňazí pracovník ušetril?

Pre kontrolu je užitočné sčítať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percentuálnych čísel uvedených vo vyhlásení o probléme.

Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto problémy sa týkali rôznych vecí (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky na robotníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent daných čísel.

§ 90. Delenie zlomkov.

Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

Zvážme ich postupne.

1. Vydeľte celé číslo celým číslom.

Ako bolo naznačené v oddelení celých čísel, delenie je dej, ktorý spočíva v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.

Pozreli sme sa na delenie celého čísla celým číslom v časti o celých číslach. Stretli sme sa tam s dvoma prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 zvyšok). Môžeme teda povedať, že v obore celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa celým číslom. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).

Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin číslom 12 by sa rovnal 7. Takéto číslo je zlomok 7 / 12, pretože 7 / 12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.

Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ sa rovná deliteľovi.

2. Delenie zlomku celým číslom.

Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť druhý faktor, ktorý by po vynásobení 3 dostal daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá pred nami bola, bolo zmenšiť zlomok 6/7 3-krát.

Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď znížením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:

V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.

Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:

Na základe toho je možné vytvoriť pravidlo: Ak chcete zlomok vydeliť celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom.(ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.

3. Delenie celého čísla zlomkom.

Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, pretože 1/2 je vlastný zlomok a pri násobení čísla musí byť súčin správneho zlomku menší ako súčin, ktorý sa násobí. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , čo znamená x 1/2 = 5.

Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobenie určitého čísla 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X sa rovná 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 = 10.

Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10

Skontrolujeme:

Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že chcete deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).

Obr.19

Nakreslíme úsečku AB rovnajúcu sa 6 jednotkám a každú jednotku rozdelíme na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3/3) celého segmentu AB 6-krát väčšie, t.j. e. 18/3. Pomocou malých zátvoriek spojíme 18 výsledných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v 6 jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda

Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Uvažujme takto: potrebujeme vydeliť 6 2/3, t.j. musíme odpovedať na otázku, koľkokrát sú 2/3 obsiahnuté v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnutá v 6? V celej jednotke sú 3 tretiny a v 6 jednotkách 6-krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. To znamená, že 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale o polovicu menej, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:

Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné porovnať zistené pravidlo s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Upozorňujeme, že tam bol získaný rovnaký vzorec.

Pri delení sú možné skratky, napr.

4. Delenie zlomku zlomkom.

Povedzme, že potrebujeme vydeliť 3/4 3/8. Čo bude znamenať číslo, ktoré je výsledkom delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).

Zoberme si segment AB, vezmime ho ako jeden, rozdeľme ho na 4 rovnaké časti a označme 3 také časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch pôvodných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takéto segmenty oblúkmi, potom každý zo segmentov AD a DC bude rovný 3/8 segmentu AB. Nákres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsiahnutý v segmente, ktorý sa rovná 3/4 presne 2 krát; To znamená, že výsledok delenia možno zapísať takto:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Pozrime sa na ďalší príklad. Povedzme, že potrebujeme vydeliť 15/16 3/32:

Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 neznáme číslo X sú 15/16

1/32 neznámeho čísla X je,

32/32 čísel X make up .

teda

Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa, a druhý menovateľ.

Napíšme pravidlo pomocou písmen:

Pri delení sú možné skratky, napr.

5. Delenie zmiešaných čísel.

Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky a výsledné zlomky potom rozdeľte podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Pozrime sa na príklad:

Poďme previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:

Teraz sa poďme rozdeliť:

Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť pomocou pravidla na delenie zlomkov.

6. Nájdenie čísla z jeho daného zlomku.

Medzi rôznymi problémami so zlomkami sú niekedy také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a musíte toto číslo nájsť. Tento typ problému bude opakom problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu bol daný zlomok čísla a bolo potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa pustíme do riešenia tohto typu problému.

Úloha 1. Sklenári v prvý deň zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?

Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.

Dom mal 150 okien.

Úloha 2. Predajňa predala 1 500 kg múky, čo sú 3/8 celkových zásob múky, ktoré mala predajňa. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?

Riešenie. Z podmienok problému je zrejmé, že 1 500 kg predanej múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto rezervy bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:

1 500 : 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).

Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda

500 8 = 4 000 (kg).

Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4 000 kg.

Z posúdenia tohto problému možno odvodiť nasledujúce pravidlo.

Na nájdenie čísla z danej hodnoty jeho zlomku stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.

Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je zrejmé najmä z posledného, ​​sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).

Keď sme sa však naučili deliť zlomky, vyššie uvedené problémy možno vyriešiť jednou akciou, a to: delením zlomkom.

Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:

V budúcnosti vyriešime problémy s nájdením čísla z jeho zlomku jednou akciou - delením.

7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.

V týchto problémoch budete musieť nájsť číslo, ktoré pozná niekoľko percent tohto čísla.

Úloha 1. Na začiatku aktuálny rok Zo sporiteľne som dostal 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne poskytujú vkladateľom výnos 2 % ročne.)

Zmysel problému je v tom, že som vložil určitú sumu peňazí do sporiteľne a zostal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?

V dôsledku toho, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce problémy sa riešia delením:

To znamená, že v sporiteľni bolo uložených 3 000 rubľov.

Úloha 2. Rybári za dva týždne splnili mesačný plán na 64 %, pričom vylovili 512 ton rýb. Aký mali plán?

Z podmienok problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Nevieme, koľko ton rýb treba pripraviť podľa plánu. Nájdenie tohto čísla bude riešením problému.

Takéto problémy sa riešia rozdelením:

To znamená, že podľa plánu treba pripraviť 800 ton rýb.

Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko z cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30% celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?

Z problémových podmienok je zrejmé, že 30% trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:

§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.

Vezmime zlomok 2/3 a namiesto menovateľa nahradíme čitateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme prevrátenú hodnotu tohto zlomku.

Ak chcete získať prevrátenú hodnotu daného zlomku, musíte namiesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a namiesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať prevrátenú hodnotu ľubovoľného zlomku. Napríklad:

3/4, rub 4/3; 5/6, obrátene 6/5

Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.

Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Hľadaním prevráteného zlomku daného zlomku sme dostali celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:

1/3, rub 3; 1/5, obrátene 5

Keďže pri hľadaní reciprokých zlomkov sme sa stretli aj s celými číslami, v ďalšom budeme hovoriť nie o reciprokých zlomkoch, ale o reciprokých číslach.

Poďme zistiť, ako napísať inverznú hodnotu k celému číslu. V prípade zlomkov sa to dá vyriešiť jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať inverzné číslo pre celé číslo, pretože každé celé číslo môže mať menovateľ 1. To znamená, že prevrátené číslo 7 bude 1/7, pretože 7 = 7/1; pre číslo 10 bude inverzná hodnota 1/10, pretože 10 = 10/1

Táto myšlienka môže byť vyjadrená rôzne: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. V skutočnosti, ak potrebujeme napísať prevrátenú časť zlomku 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ju 5/9, t.j.

Teraz poukážeme na jednu vec majetku recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin recipročných čísel sa rovná jednej. V skutočnosti:

Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné čísla nasledujúcim spôsobom. Povedzme, že potrebujeme nájsť prevrátenú hodnotu 8.

Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdite iné číslo, ktoré je prevrátené k 7/12 a označme ho písmenom X , potom 7.12 X = 1, teda X = 1: 7/12 alebo X = 12 / 7 .

Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.

Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:

Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .

Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch sa stane to isté. Preto môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením deliteľa prevrátenou hodnotou deliteľa.

Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.

Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti a zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze Matematika zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno vám náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.

Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký

Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vykonávať rôzne operácie. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní operácií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Najjednoduchším prípadom je odčítanie obyčajné zlomky, ktorých menovatelia sú reprezentovaní rovnakým číslom. Túto akciu nebude možné vykonať špeciálna práca ak poznáte jednoduché pravidlo:

• Na odčítanie sekundy od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa odčítaného zlomku od čitateľa zlomku, ktorý sa redukuje. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k/m - b/m = (k-b)/m.

Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od čitateľa zlomku „7“ odčítame čitateľa zlomku „3“, ktorý sa má odčítať, dostaneme „4“. Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku - „19“.

Obrázok nižšie ukazuje niekoľko ďalších podobné príklady.

Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s podobnými menovateľmi:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Z čitateľa zlomku „29“ sa zníži postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - „3“, „8“, „2“, „7“. V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa zapíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov - „47“.

Sčítanie zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa riadi rovnakým princípom.

• Ak chcete pridať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostane rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:

1/4 + 2/4 = 3/4.

K čitateľovi prvého člena zlomku - „1“ - pridajte čitateľa druhého člena zlomku - „2“. Výsledok - „3“ - sa zapíše do čitateľa súčtu a menovateľ zostane rovnaký ako v zlomkoch - „4“.

Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie

Už sme uvažovali o operácii so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíme, vedieť jednoduché pravidlá, riešenie takýchto príkladov je celkom jednoduché. Čo ak však potrebujete vykonať operáciu so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.

Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia sa zredukovať na rovnaký najmenší menovateľ.



Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.

Vlastnosť zlomku

Ak chcete priviesť niekoľko zlomkov do rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnakým číslom dostanete zlomok rovný danému.

Napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako „6“, „9“, „12“ atď., To znamená, že môže mať tvar ľubovoľného čísla, ktoré je násobkom „3“. Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak vykonáme podobnú operáciu s číslom „4“, dostaneme 8/12. Jedna rovnosť môže byť napísaná takto:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Ako previesť viaceré zlomky na rovnaký menovateľ

Pozrime sa, ako zredukovať viaceré zlomky na rovnaký menovateľ. Zoberme si napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom všetkých z nich. Aby sme to uľahčili, rozložme existujúcich menovateľov.

Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť na faktor. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíme určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch v zlomku 7/9 sú dve trojice, čo znamená, že v menovateli musia byť aj obe. Berúc do úvahy vyššie uvedené, určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.



Zoberme si prvý zlomok - 1/2. V menovateli je „2“, ale nie je tam ani jedna číslica „3“, ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Rovnaké operácie vykonávame so zvyšnými frakciami.

• 2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýba dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Všetko spolu to vyzerá takto:



Ako odčítať a sčítať zlomky, ktoré majú rôznych menovateľov

Ako už bolo spomenuté vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov, ktoré majú rôznych menovateľov, je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov, ktoré majú rovnakého menovateľa, o ktorých už bola reč.

Pozrime sa na to ako príklad: 4/18 – 3/15.

Nájdenie násobku čísel 18 a 15:

• Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
• Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
• Spoločným násobkom budú tieto faktory: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Aby sme to dosiahli, vydelíme číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok), menovateľom zlomku, pre ktorý potrebujeme určiť ďalšie faktory.

• 90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
• 90 delené 18. Výsledné číslo „5“ bude násobiteľom 4/18.

Ďalšou fázou nášho riešenia je zredukovať každý zlomok na menovateľ „90“.

Už sme hovorili o tom, ako sa to robí. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ak majú zlomky malé čísla, môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.



To isté platí pre tie s rôznymi menovateľmi.

Odčítanie a celočíselné časti

Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:

• Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. Rozprávanie jednoduchými slovami, odstráňte celú časť. Za týmto účelom vynásobte číslo celočíselnej časti menovateľom zlomku a výsledný produkt pridajte do čitateľa. Číslo, ktoré po týchto akciách vyjde, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
• Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnakého menovateľa.
• Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
• Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.



Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a akcie so zlomkami oddelene a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.



Uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že menovatele sú odlišné, musia byť uvedené na rovnakú hodnotu a potom vykonať akcie, ako je uvedené v príklade.

Odčítanie zlomkov od celých čísel

Ďalším typom operácie so zlomkami je prípad, keď treba zlomok odčítať Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Aby ste to vyriešili, musíte previesť celé číslo na zlomok a s rovnakým menovateľom, aký je v odčítanom zlomku. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. V príklade to vyzerá takto:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odčítanie zlomkov (stupeň 6) uvedené v tomto článku je základom pre ďalšie riešenie komplexné príklady o ktorých sa diskutuje v nasledujúcich triedach. Znalosť tejto témy sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité porozumieť a pochopiť operácie so zlomkami diskutované vyššie.

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Na to je potrebné zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jednou z najdôležitejších a najťažších tém v kurze 8. ročníka. Okrem toho sa táto téma objaví v mnohých témach v kurze algebry, ktorý budete v budúcnosti študovať. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi a tiež rozoberieme niekoľko typických príkladov.

Uvažujme najjednoduchší príklad pre obyčajné zlomky.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Pripomeňme si pravidlo pre sčítanie zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.

Definícia

Najmenej prirodzené číslo, ktorý je súčasne deliteľný číslami a .

Ak chcete nájsť LCM, musíte rozdeliť menovateľov do hlavných faktorov a potom vybrať všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve dvojky a dve trojky: .

Po nájdení spoločného menovateľa musíte nájsť ďalší faktor pre každý zlomok (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom zodpovedajúceho zlomku).

Každý zlomok sa potom vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi, ktoré sme sa naučili sčítať a odčítať v predchádzajúcich lekciách.

Získame: .

odpoveď:.

Uvažujme teraz o sčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv sa pozrime na zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa týchto zlomkov: a ďalšie faktory pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Takže poďme formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.

2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom daného zlomku).

3. Vynásobte čitateľov zodpovedajúcimi dodatočnými faktormi.

4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi.

Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ obsahuje písmenové výrazy.

Príklad 3 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Keďže výrazy písmen v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Takže riešenie tento príklad má tvar:.

odpoveď:.

Príklad 4. Odčítajte zlomky: .

Riešenie:

Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani používať skrátené vzorce na násobenie), musíte ako spoločný menovateľ brať súčin menovateľov oboch zlomkov.

odpoveď:.

Vo všeobecnosti je pri riešení takýchto príkladov najťažšou úlohou nájsť spoločného menovateľa.

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5. Zjednodušiť: .

Riešenie:

Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozdeliť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).

V tomto konkrétnom prípade:

Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: .

Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:

odpoveď:.

Teraz stanovme pravidlá pre sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad 6. Zjednodušiť: .

Riešenie:

odpoveď:.

Príklad 7. Zjednodušiť: .

Riešenie:

.

odpoveď:.

Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nesčítajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre väčší počet zlomkov zostávajú rovnaké).

Príklad 8. Zjednodušiť: .

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s podobnými menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s podobnými menovateľmi. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Naučiť sa pracovať so zlomkami s podobnými menovateľmi je jedným zo základných kameňov učenia sa, ako pracovať s algebraickými zlomkami. Najmä pochopenie tejto témy uľahčí zvládnutie zložitejšej témy – sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s podobnými menovateľmi a tiež analyzujeme niekoľko typických príkladov

Pravidlo na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih zlomky z jedného na vás -mi know-na-te-la-mi (toto sa zhoduje s analogickým pravidlom pre bežné údery): To je na sčítanie alebo výpočet zlomkov al-geb-ra-i-che-skih s one-to-you know- me-on-the-la-mi potrebné -ho-di-mo zostaviť zodpovedajúci al-geb-ra-i-che-súčet čísel a znak-me-na-tel odísť bez akýchkoľvek.

Toto pravidlo chápeme ako na príklade obyčajných ven-draws, tak aj na príklade al-geb-ra-i-che-draws.

Príklady použitia pravidla pre obyčajné zlomky

Príklad 1. Sčítajte zlomky: .

Riešenie

Pridajme počet zlomkov a znamienko necháme rovnaké. Potom číslo rozložíme a podpíšeme na jednoduché násobnosti a kombinácie. Poďme na to: .

Poznámka: štandardná chyba, ktorá je povolená pri riešení podobných typov príkladov, pre -zahrnutá v nasledujúcom možnom riešení: . Toto je hrubá chyba, pretože znamienko zostáva rovnaké ako v pôvodných zlomkoch.

Príklad 2. Sčítajte zlomky: .

Riešenie

Tento sa v ničom nelíši od predchádzajúceho: .

Príklady aplikácie pravidla pre algebraické zlomky

Od obyčajných dro-beatov prejdeme k al-geb-ra-i-che-skim.

Príklad 3. Sčítajte zlomky: .

Riešenie: ako už bolo spomenuté vyššie, zloženie al-geb-ra-i-che-fractions sa nijako nelíši od slova rovnaké ako bežné súboje. Preto je spôsob riešenia rovnaký: .

Príklad 4. Ste zlomok: .

Riešenie

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih zlomky od-či už zo sčítania len tým, že v počte pi-sy-va-et-sya rozdiel v počte použitých zlomkov. Preto .

Príklad 5. Ste zlomok: .

Riešenie: .

Príklad 6. Zjednodušte: .

Riešenie: .

Príklady použitia pravidla nasledovaného znížením

V zlomku, ktorý má vo výsledku zloženia alebo výpočtu rovnaký význam, sú možné kombinácie nia. Okrem toho by ste nemali zabudnúť na ODZ zlomkov al-geb-ra-i-che-skih.

Príklad 7. Zjednodušte: .

Riešenie: .

V rovnakom čase. Vo všeobecnosti, ak sa ODZ počiatočných zlomkov zhoduje s ODZ súčtu, možno ho vynechať (napokon zlomok, ktorý je v odpovedi, nebude existovať so zodpovedajúcimi významnými zmenami). Ak sa však ODZ použitých zlomkov a odpoveď nezhodujú, potom je potrebné uviesť ODZ.

Príklad 8. Zjednodušte: .

Riešenie: . Zároveň y (ODZ počiatočných zlomkov sa nezhoduje s ODZ výsledku).

Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Ak chcete pridať a prečítať al-geb-ra-i-che-zlomky s rôznymi známymi-me-on-the-la-mi, urobíme ana-lo-giyu s obyčajnými-ven-ny zlomkami a prenesieme to do al-geb -ra-i-che-zlomky.

Pozrime sa na najjednoduchší príklad obyčajných zlomkov.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Pripomeňme si pravidlá sčítania zlomkov. Na začiatok zlomkom je potrebné priviesť ho k spoločnému znameniu. V úlohe všeobecného znaku pre obyčajné zlomky vystupujete najmenší spoločný násobok(NOK) počiatočné znaky.

Definícia

Najmenšie číslo, ktoré sa delí súčasne na čísla a.

Ak chcete nájsť NOC, musíte rozdeliť znalosti do jednoduchých súborov a potom vybrať všetko, čo je veľa, čo je zahrnuté v rozdelení oboch znamení.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve dvojky a dve trojky: .

Po zistení všeobecných vedomostí je potrebné, aby každý zo zlomkov našiel úplného rezidenta násobnosti (v skutočnosti dať spoločné znamienko na znamienko zodpovedajúceho zlomku).

Potom sa každý zlomok vynásobí poloplným faktorom. Zoberme si niekoľko zlomkov z tých istých, ktoré poznáte, spočítajte ich a prečítajte si ich – študovali ste v predchádzajúcich lekciách.

Poďme jesť: .

odpoveď:.

Pozrime sa teraz na zloženie al-geb-ra-i-che-zlomkov s rôznymi znakmi. Teraz sa pozrime na zlomky a uvidíme, či existujú nejaké čísla.

Sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

Riešenie:

Al-go-rytmus rozhodnutia ab-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen k predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké zobrať spoločné znamienko daných zlomkov: a ďalšie násobiče pre každý z nich.

.

odpoveď:.

Takže poďme formovať al-go-rytmus skladania a výpočtu al-geb-ra-i-che-zlomkov s rôznymi znamienkami:

1. Nájdite najmenšie spoločné znamienko zlomku.

2. Nájdite ďalšie násobiče pre každý zo zlomkov (skutočne, spoločné znamienko je dané -tým zlomkom).

3. Až veľa čísel na zodpovedajúcich až úplných násobkoch.

4. Sčítajte alebo vypočítajte zlomky pomocou správneho sčítania a vypočítajte zlomky s rovnakými znalosťami -me-na-te-la-mi.

Pozrime sa teraz na príklad so zlomkami, v znaku ktorých sú písmená ty -nia.