Dostredivé zrýchlenie prostredníctvom vzorca uhlovej rýchlosti. Rotačný pohyb

Pri pohybe v kruhu konštantnou lineárnou rýchlosťou υ má teleso konštantné dostredivé zrýchlenie smerujúce do stredu kruhu.

a c = υ2/R, (18)

kde R je polomer kružnice.

Odvodenie vzorca pre dostredivé zrýchlenie

A-priorstvo.

Obrázok 6 Odvodenie vzorca pre dostredivé zrýchlenie

Na obrázku sú trojuholníky tvorené vektormi posunutia a rýchlosti podobné. Zvažujem to == R a == υ, z podobnosti trojuholníkov zistíme:

(20)

(21)

Počiatok súradníc umiestnime do stredu kružnice a za rovinu (x, y) si zvolíme rovinu, v ktorej kružnica leží. Poloha bodu na kruhu v akomkoľvek čase je jednoznačne určená polárnym uhlom φ, meraným v radiánoch (rad) a

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

kde φ 0 určuje počiatočnú fázu (počiatočnú polohu bodu na kružnici v nulovom čase).

V prípade rovnomerného otáčania sa uhol φ, meraný v radiánoch, lineárne zvyšuje s časom:

φ = ωt, (23)

kde ω sa nazýva cyklická (kruhová) frekvencia. Rozmer cyklickej frekvencie: [ω] = c –1 = Hz.

Cyklická frekvencia sa rovná veľkosti uhla rotácie (merané v radoch) za jednotku času, preto sa nazýva aj uhlová rýchlosť.

Závislosť súradníc bodu na kružnici od času v prípade rovnomernej rotácie s danou frekvenciou možno zapísať ako:

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Čas potrebný na dokončenie jednej otáčky sa nazýva obdobie T.

Frekvencia ν = 1/T. (25)

Frekvenčný rozmer: [ν] = s –1 = Hz.

Vzťah medzi cyklickou frekvenciou a periódou a frekvenciou: 2π = ωT, odkiaľ

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Vzťah medzi lineárnou rýchlosťou a uhlovou rýchlosťou sa zistí z rovnosti:

2πR = υT, odkiaľ

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Výraz pre dostredivé zrýchlenie možno napísať rôzne cesty pomocou spojení medzi rýchlosťou, frekvenciou a periódou:

aц = υ2/R = ω2 R = 4π 2 v 2 R = 4π 2 R/T2. (28)

4.6 Vzťah medzi translačnými a rotačnými pohybmi

Základné kinematické charakteristiky pohybu v priamom smere s konštantným zrýchlením: výchylka s, rýchlosť υ a zrýchlenie a. Zodpovedajúce charakteristiky pri pohybe v kruhu s polomerom R: uhlové posunutie φ, uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie ε (v prípade, že sa teleso otáča premenlivou rýchlosťou).

Z geometrických úvah vyplývajú tieto súvislosti medzi týmito charakteristikami:

posunutie s → uhlové posunutie φ = s/R;

rýchlosť υ → uhlová rýchlosť ω = υ /R;

zrýchlenie a→ uhlové zrýchlenie ε = a/R.

Všetky vzorce pre kinematiku rovnomerne zrýchleného pohybu v priamom smere možno previesť na vzorce pre kinematiku otáčania v kruhu, ak sa vykonajú uvedené substitúcie. Napríklad:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + a t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou bodu pri otáčaní v kruhu možno zapísať vo vektorovej forme. Nech sa kružnica so stredom v počiatku nachádza v rovine (x, y). Kedykoľvek vektor nakreslený od začiatku k bodu na kruhu, kde sa teleso nachádza, je kolmý na vektor rýchlosti telesa , nasmerovaný dotyčnicou ku kružnici v tomto bode. Definujme vektor , ktorá sa v absolútnej hodnote rovná uhlovej rýchlosti ω a smeruje pozdĺž osi otáčania v smere určenom pravidlom pravej skrutky: ak skrutku zaskrutkujete tak, aby sa smer jej otáčania zhodoval so smerom otáčania bodu pozdĺž kružnice, potom smer pohybu skrutky ukazuje smer vektora . Potom spojenie medzi tromi navzájom kolmými vektormi ,A možno zapísať pomocou krížového súčinu vektorov.

Predtým sa brali do úvahy charakteristiky priamočiareho pohybu: pohyb, rýchlosť, zrýchlenie. Ich analógy v rotačnom pohybe sú: uhlový posun, uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie.

• Úlohu posunutia v rotačnom pohybe zohráva rohu;
• Veľkosť uhla natočenia za jednotku času je uhlová rýchlosť;
• Zmena uhlovej rýchlosti za jednotku času je uhlové zrýchlenie.

Pri rovnomernom rotačnom pohybe sa teleso pohybuje v kruhu rovnakou rýchlosťou, ale s meniacim sa smerom. Napríklad tento strojček robia ručičky hodín na ciferníku.

Povedzme, že guľa sa rovnomerne otáča na nite dlhej 1 meter. Zároveň opíše kružnicu s polomerom 1 meter. Dĺžka tohto kruhu je: C = 2πR = 6,28 m

Čas potrebný na to, aby loptička dokončila jednu úplnú otáčku okolo kruhu, sa nazýva doba rotácie - T.

Pre výpočet lineárnej rýchlosti lopty je potrebné rozdeliť posun časom, t.j. obvod za periódu otáčania:

V = C/T = 2πR/T

Obdobie rotácie:

T = 2πR/V

Ak naša guľa urobí jednu otáčku za 1 sekundu (obdobie rotácie = 1 s), jej lineárna rýchlosť je:
V = 6,28/1 = 6,28 m/s

2. Odstredivé zrýchlenie

V ktoromkoľvek bode rotačného pohybu lopty je jej vektor lineárnej rýchlosti nasmerovaný kolmo na polomer. Nie je ťažké uhádnuť, že pri takejto kruhovej rotácii lineárny vektor rýchlosti lopty neustále mení svoj smer. Zrýchlenie charakterizujúce takúto zmenu rýchlosti je tzv odstredivé (dostredivé) zrýchlenie.

Pri rovnomernom rotačnom pohybe sa mení iba smer vektora rýchlosti, ale nie veľkosť! Preto lineárne zrýchlenie = 0 . Zmena lineárnej rýchlosti je podporovaná odstredivým zrýchlením, ktoré smeruje k stredu rotačného kruhu kolmo na vektor rýchlosti - a c.

Odstredivé zrýchlenie možno vypočítať pomocou vzorca: ac = V2/R

Čím väčšia je lineárna rýchlosť telesa a čím menší je polomer otáčania, tým väčšie je odstredivé zrýchlenie.

3. Odstredivá sila

Z priamočiareho pohybu vieme, že sila sa rovná súčinu hmotnosti telesa a jeho zrýchlenia.

Pri rovnomernom rotačnom pohybe pôsobí odstredivá sila na rotujúce teleso:

Fc = mac = mV2/R

Ak naša lopta váži 1 kg, potom na udržanie na kruhu budete potrebovať odstredivú silu:

Fc = 16,282/1 = 39,4 N

Stretávame sa s odstredivou silou Každodenný život na každom kroku.

Trecia sila musí vyrovnávať odstredivú silu:

Fc = mV2/R; Ftr = μmg

Fc = Ftr; mV2/R = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9 9,8 30 = 16,3 m/s = 58,5 km/h

Odpoveď: 58,5 km/h

Upozorňujeme, že rýchlosť otáčania nezávisí od telesnej hmotnosti!

Určite ste si všimli, že niektoré zákruty na diaľnici majú mierny sklon smerom do vnútra zákruty. Takéto zákruty sú „ľahšie“, alebo skôr, môžete sa otáčať vyššou rýchlosťou. Uvažujme, aké sily pôsobia na auto v takejto klopenej zákrute. V tomto prípade nebudeme brať do úvahy treciu silu a odstredivé zrýchlenie bude kompenzované iba horizontálnou zložkou gravitácie:

Fc = mV2/R alebo Fc = Fn sinα

Vo vertikálnom smere pôsobí na teleso gravitačná sila Fg = mg, ktorá je vyvážená vertikálnou zložkou normálovej sily F n cosα:

Fn cosα = mg, teda: Fn = mg/cosα

Do pôvodného vzorca dosadíme hodnotu normálovej sily:

F c = Fn sinα = (mg/cosα)sinα = mg sinα/cosα = mg tgα

Uhol sklonu vozovky teda:

a = arctg(Fc/mg) = arctg(mV2/mgR) = arctg(V2/gR)

Opäť upozorňujeme, že telesná hmotnosť nie je zahrnutá vo výpočtoch!

Úloha č. 2: Na určitom úseku diaľnice je odbočka s polomerom 100 metrov. Priemerná rýchlosť áut prechádzajúcich týmto úsekom cesty je 108 km/h (30 m/s). Aký by mal byť bezpečný uhol sklonu povrchu vozovky v tomto úseku, aby auto „neodletelo“ (nezanedbalo trenie)?

a = arctan(V2/gR) = arctan(302/9,8 100) = 0,91 = 42° Odpoveď: 42°. Celkom slušný uhol. Nezabudnite však, že v našich výpočtoch neberieme do úvahy treciu silu povrchu vozovky.

4. Stupne a radiány

Mnoho ľudí je zmätených v chápaní uhlových hodnôt.

Pri rotačnom pohybe je základnou jednotkou merania uhlového pohybu radián.

• 2π radiány = 360° - úplný kruh
• π radián = 180° - polovica kruhu
• π/2 radiány = 90° - štvrťkruh

Ak chcete previesť stupne na radiány, vydeľte uhol 360° a vynásobte ho 2π. Napríklad:

• 45° = (45°/360°) 2π = π/4 radiánov
• 30° = (30°/360°) 2π = π/6 radiánov

V tabuľke nižšie sú uvedené základné vzorce pre lineárny a rotačný pohyb.

Dva lúče vychádzajúce z nej zvierajú uhol. Jeho hodnota môže byť definovaná v radiánoch aj stupňoch. Teraz, v určitej vzdialenosti od stredu, mentálne nakreslíme kruh. Miera uhla, vyjadrená v radiánoch, je potom matematickým pomerom dĺžky oblúka L, oddeleného dvoma lúčmi, k hodnote vzdialenosti medzi stredovým bodom a priamkou kružnice (R), teda:

Ak si teraz predstavíme opísaný systém ako materiál, tak naň môžeme aplikovať nielen pojem uhol a polomer, ale aj dostredivé zrýchlenie, rotáciu atď. Väčšina z nich popisuje správanie bodu umiestneného na rotujúcej kružnici. Mimochodom, pevný disk môže byť reprezentovaný aj súborom kruhov, ktorých rozdiel je len vo vzdialenosti od stredu.

Jednou z charakteristík takéhoto rotujúceho systému je jeho obežná doba. Označuje časovú hodnotu, počas ktorej sa bod na ľubovoľnej kružnici vráti do svojej pôvodnej polohy alebo, čo je tiež pravda, sa otočí o 360 stupňov. Pri konštantnej rýchlosti otáčania je splnená korešpondencia T = (2*3,1416) / Ug (ďalej Ug je uhol).

Rýchlosť otáčania udáva počet úplných otáčok vykonaných za 1 sekundu. Pri konštantnej rýchlosti dostaneme v = 1 / T.

Závisí od času a takzvaného uhla natočenia. To znamená, že ak vezmeme za počiatok ľubovoľný bod A na kružnici, potom keď sa systém otáča, tento bod sa posunie do A1 v čase t, pričom vytvorí uhol medzi polomermi A-stred a A1-stred. Keď poznáte čas a uhol, môžete vypočítať uhlovú rýchlosť.

A keďže existuje kruh, pohyb a rýchlosť, znamená to, že je prítomné aj dostredivé zrýchlenie. Predstavuje jednu zo zložiek, ktoré popisujú pohyb v prípade krivočiareho pohybu. Pojmy "normálne" a "centripetálne zrýchlenie" sú totožné. Rozdiel je v tom, že druhý sa používa na opis pohybu v kruhu, keď je vektor zrýchlenia nasmerovaný do stredu systému. Preto je vždy potrebné presne vedieť, ako sa teleso (bod) pohybuje a jeho dostredivé zrýchlenie. Jeho definícia je nasledovná: je to rýchlosť zmeny rýchlosti, ktorej vektor smeruje kolmo na smer vektora a mení jeho smer. Encyklopédia uvádza, že Huygens túto problematiku študoval. Vzorec pre dostredivé zrýchlenie, ktorý navrhol, vyzerá takto:

Acs = (v*v) / r,

kde r je polomer zakrivenia prejdenej dráhy; v - rýchlosť pohybu.

Vzorec používaný na výpočet dostredivého zrýchlenia stále vyvoláva búrlivé diskusie medzi nadšencami. Nedávno zaznela napríklad zaujímavá teória.

Huygens, berúc do úvahy systém, vychádzal zo skutočnosti, že teleso sa pohybuje po kružnici s polomerom R rýchlosťou v meranou v počiatočnom bode A. Pretože vektor zotrvačnosti smeruje pozdĺž, dostaneme trajektóriu vo forme priamky. AB. Dostredivá sila však drží teleso na kružnici v bode C. Ak označíme stred ako O a nakreslíme čiary AB, BO (súčet BS a CO), ako aj AO, dostaneme trojuholník. Podľa Pythagorovho zákona:

BS=(a*(t*t))/2, kde a je zrýchlenie; t - čas (a*t*t je rýchlosť).

Ak teraz použijeme pytagorovský vzorec, potom:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, kde R je polomer a alfanumerický pravopis bez znamienka je stupeň.

Huygens pripustil, že keďže čas t je malý, možno ho vo výpočtoch ignorovať. Po premene predchádzajúceho vzorca dospela k známemu Acs = (v*v) / r.

Keďže sa však čas berie na druhú, vzniká postupnosť: čím väčšie t, tým väčšia chyba. Napríklad pre 0,9 nie je započítaná takmer celková hodnota 20 %.

Koncept dostredivého zrýchlenia je dôležitý pre modernú vedu, ale je zrejmé, že je príliš skoro na ukončenie tohto problému.

Objekt, ktorý sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom r s rovnomernou tangenciálnou rýchlosťou u je vektor rýchlosti v, ktorej veľkosť je konštantná, ale jej smer sa neustále mení. Z toho vyplýva, že objekt musí mať zrýchlenie, pretože (vektor) je rýchlosť zmeny (vektorovej) rýchlosti a (vektorová) rýchlosť sa skutočne v čase líši.

Predpokladajme, že sa objekt pohybuje z bodu P k veci Q medzi časom t a t + δ t ako je znázornené na obrázku vyššie. Ďalej predpokladajme, že objekt je otočený o δθ radiánov počas tohto časového obdobia. Vektor, ako je znázornený na obrázku, je identický s vektorom. Okrem toho uhol medzi vektormi a týmto δθ . Vektor predstavuje zmenu vektora rýchlosti, δ v, medzi časom t A t + δ t. Z toho je zrejmé, že tento vektor smeruje do stredu kruhu. Zo štandardnej trigonometrie je dĺžka vektora:

Avšak v malých uhloch hriech θ ≃ θ , za predpokladu, že θ merané v radiánoch. teda

δv ≃ v δθ.

Kde je uhlová rýchlosť objektu v radiánoch za sekundu. Teda objekt pohybujúci sa po kruhovej dráhe s polomerom r rovnomernou tangenciálnou rýchlosťou v a rovnomerná uhlová rýchlosť, má zrýchlenie nasmerované do stredu kruhu - tj. dostredivé zrýchlenie- veľkosť:

Predpokladajme, že teleso s hmotnosťou m, pripojený na koniec kábla, dĺžka r a otáča sa tak, že teleso opisuje vodorovný kruh s polomerom r s rovnomernou tangenciálnou rýchlosťou v. Ako sme sa práve dozvedeli, teleso má dostredivé zrýchlenie o veľkosti . Preto telo zažíva dostredivú silu

Čo dáva túto silu? Dobre, tu máš v tomto príklade, sila je zabezpečená napätím kábla. teda .

Predpokladajme, že kábel je taký, že sa zlomí, keď napätie v ňom prekročí určitú hranicu kritická hodnota. Z toho vyplýva, že existuje maximálna rýchlosť, s ktorými sa telo môže pohybovať, a to:

Ak v presahuje v max, kábel sa pretrhne. Akonáhle sa kábel zlomí, telo už nebude vystavené dostredivej sile, takže sa bude pohybovať rýchlosťou v max pozdĺž priamky, ktorá je dotyčnicou k už existujúcej kruhovej dráhe.

Pretože lineárna rýchlosť rovnomerne mení smer, kruhový pohyb nemožno nazvať rovnomerným, je rovnomerne zrýchlený.

Uhlová rýchlosť

Vyberme si bod na kruhu 1 . Postavme polomer. Za jednotku času sa bod presunie do bodu 2 . V tomto prípade polomer opisuje uhol. Uhlová rýchlosť sa číselne rovná uhlu rotácie polomeru za jednotku času.

Obdobie a frekvencia

Obdobie rotácie T- to je čas, počas ktorého telo urobí jednu otáčku.

Frekvencia otáčania je počet otáčok za sekundu.

Frekvencia a obdobie sú vzájomne prepojené vzťahom

Vzťah s uhlovou rýchlosťou

Lineárna rýchlosť

Každý bod na kruhu sa pohybuje určitou rýchlosťou. Táto rýchlosť sa nazýva lineárna. Smer vektora lineárnej rýchlosti sa vždy zhoduje s dotyčnicou ku kružnici. Napríklad iskry spod brúsky sa pohybujú a opakujú smer okamžitej rýchlosti.

Zoberme si bod na kruhu, ktorý robí jednu otáčku, čas strávený je obdobie T. Dráha, ktorou bod prechádza, je obvod.

Dostredivé zrýchlenie

Pri pohybe po kružnici je vektor zrýchlenia vždy kolmý na vektor rýchlosti a smeruje k stredu kružnice.

Pomocou predchádzajúcich vzorcov môžeme odvodiť nasledujúce vzťahy

Body ležiace na rovnakej priamke vychádzajúcej zo stredu kruhu (napríklad by to mohli byť body, ktoré ležia na lúčoch kolesa) budú mať rovnaké uhlové rýchlosti, periódu a frekvenciu. To znamená, že sa budú otáčať rovnakým spôsobom, ale s rôznymi lineárnymi rýchlosťami. Čím ďalej je bod od stredu, tým rýchlejšie sa bude pohybovať.

Zákon sčítania rýchlostí platí aj pre rotačný pohyb. Ak pohyb telesa alebo vzťažnej sústavy nie je rovnomerný, potom zákon platí pre okamžité rýchlosti. Napríklad rýchlosť osoby kráčajúcej po okraji otáčajúceho sa kolotoča sa rovná vektorovému súčtu lineárnej rýchlosti otáčania okraja kolotoča a rýchlosti osoby.

Zem sa zúčastňuje dvoch hlavných rotačných pohybov: denného (okolo svojej osi) a orbitálneho (okolo Slnka). Doba rotácie Zeme okolo Slnka je 1 rok alebo 365 dní. Zem sa otáča okolo svojej osi zo západu na východ, doba tejto rotácie je 1 deň alebo 24 hodín. Zemepisná šírka je uhol medzi rovinou rovníka a smerom od stredu Zeme k bodu na jej povrchu.

Podľa druhého Newtonovho zákona je príčinou akéhokoľvek zrýchlenia sila. Ak pohybujúce sa teleso zažíva dostredivé zrýchlenie, potom povaha síl, ktoré toto zrýchlenie spôsobujú, môže byť odlišná. Napríklad, ak sa telo pohybuje v kruhu na lane, ktoré je k nemu priviazané, potom pôsobiaca sila je elastická sila.

Ak sa teleso ležiace na kotúči otáča s kotúčom okolo svojej osi, tak takáto sila je trecia sila. Ak sila zastaví svoje pôsobenie, telo sa bude ďalej pohybovať v priamom smere

Zvážte presunutie bodu na kružnici z bodu A do bodu B. Lineárna rýchlosť rovná v A A vB resp. Zrýchlenie je zmena rýchlosti za jednotku času. Poďme nájsť rozdiel medzi vektormi.