Riešenie goniometrických príkladov. Goniometrické rovnice - vzorce, riešenia, príklady

Najjednoduchšie riešenie goniometrické rovnice.

Riešenie goniometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti nakoniec vedie k riešeniu najjednoduchších goniometrických rovníc. A v tomto sa opäť ukazuje ako najlepší asistent trigonometrický kruh.

Pripomeňme si definície kosínusu a sínusu.

Kosínus uhla je súradnica (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Sínus uhla je ordináta (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Kladný smer pohybu na trigonometrickom kruhu je proti smeru hodinových ručičiek. Otočenie o 0 stupňov (alebo 0 radiánov) zodpovedá bodu so súradnicami (1;0)

Tieto definície používame na riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

1. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je splnená všetkými hodnotami uhla natočenia, ktoré zodpovedajú bodom na kruhu, ktorých ordináta sa rovná .

Označme bod s ordinátom na osi y:

Nakreslite vodorovnú čiaru rovnobežnú s osou x, kým sa nepretína s kružnicou. Získame dva body ležiace na kruhu a majúce ordinátu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch:

Ak necháme bod zodpovedajúci uhlu rotácie o radiány, obídeme plný kruh, potom sa dostaneme do bodu, ktorý zodpovedá uhlu natočenia na radián a má rovnakú ordinátu. To znamená, že tento uhol natočenia tiež spĺňa našu rovnicu. Môžeme urobiť toľko „nečinných“ otáčok, koľko chceme, vracajúc sa do rovnakého bodu a všetky tieto hodnoty uhla budú spĺňať našu rovnicu. Počet otáčok „naprázdno“ bude označený písmenom (alebo). Keďže tieto revolúcie môžeme robiť v pozitívnom aj negatívnom smere, (alebo) môžu nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty.

To znamená, že prvá séria riešení pôvodnej rovnice má tvar:

, , - množina celých čísel (1)

Podobne aj druhá séria riešení má tvar:

, Kde , . (2)

Ako ste možno uhádli, táto séria riešení je založená na bode na kruhu zodpovedajúcom uhlu otočenia o .

Tieto dve série riešení je možné spojiť do jedného záznamu:

Ak vezmeme (teda párne) v tomto vstupe, tak dostaneme prvú sériu riešení.

Ak vezmeme (teda nepárne) v tomto vstupe, dostaneme druhú sériu riešení.

2. Teraz vyriešme rovnicu

Pretože toto je úsečka bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou o uhol, označíme bod úsečkou na osi:

Nakreslite zvislú čiaru rovnobežnú s osou, kým sa nepretína s kruhom. Získame dva body ležiace na kruhu s úsečkou. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme negatívny uhol natočenia:

Napíšme dve série riešení:

(Do požadovaného bodu sa dostaneme tak, že pôjdeme z hlavného úplného kruhu, tzn.

Spojme tieto dve série do jedného záznamu:

3. Vyriešte rovnicu

Dotyčnica prechádza bodom so súradnicami (1,0) jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou OY

Označme na ňom bod s ordinátou rovnou 1 (hľadáme dotyčnicu, ktorej uhly sú rovné 1):

Spojme tento bod s počiatkom súradníc priamkou a označme priesečníky priamky s jednotkovou kružnicou. Priesečníky priamky a kružnice zodpovedajú uhlom rotácie na a:

Keďže body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu, ležia od seba vo vzdialenosti radiánov, riešenie môžeme zapísať takto:

4. Vyriešte rovnicu

Čiara kotangens prechádza bodom so súradnicami jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou.

Označme bod s osou -1 na priamke kotangens:

Spojme tento bod s počiatkom priamky a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s kružnicou. Táto priamka bude pretínať kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie v a radiánoch:

Keďže tieto body sú od seba oddelené vzdialenosťou rovnajúcou sa , môžeme napísať všeobecné riešenie tejto rovnice takto:

V uvedených príkladoch ilustrujúcich riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc boli použité tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií.

Ak však pravá strana rovnice obsahuje netabuľkovú hodnotu, dosadíme hodnotu do všeobecného riešenia rovnice:

ŠPECIÁLNE RIEŠENIA:

Označme body na kružnici, ktorej ordináta je 0:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej ordináta je 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorého ordináta sa rovná -1:

Keďže je zvykom uvádzať hodnoty najbližšie k nule, napíšeme riešenie takto:

Označme body na kružnici, ktorých súradnica sa rovná 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná -1:

A trochu zložitejšie príklady:

Sínus sa rovná jednej, ak sa argument rovná

Argument nášho sínusu je rovnaký, takže dostaneme:

Vydeľme obe strany rovnosti 3:

odpoveď:

Kosínus je nula, ak je argument kosínusu

Argument nášho kosínusu sa rovná , takže dostaneme:

Vyjadrime sa, aby sme to urobili, najprv sa presunieme doprava s opačným znamienkom:

Zjednodušme pravú stranu:

Vydeľte obe strany -2:

Všimnite si, že znamienko pred pojmom sa nemení, pretože k môže nadobudnúť akúkoľvek celočíselnú hodnotu.

odpoveď:

A nakoniec si pozrite video lekciu „Výber koreňov v trigonometrickej rovnici pomocou trigonometrického kruhu“

Týmto sa končí náš rozhovor o riešení jednoduchých goniometrických rovníc. Nabudúce si povieme, ako sa rozhodnúť.

Vyžaduje znalosť základných vzorcov trigonometrie – súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu, vyjadrenie dotyčnice cez sínus a kosínus a iné. Pre tých, ktorí ich zabudli alebo ich nepoznajú, odporúčame prečítať si článok „“.
Takže tie hlavné trigonometrické vzorce vieme, že je čas uviesť ich do praxe. Riešenie goniometrických rovníc so správnym prístupom je to celkom vzrušujúca aktivita, ako napríklad riešenie Rubikovej kocky.

Už podľa samotného názvu je zrejmé, že goniometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma pod znamienkom goniometrickej funkcie.
Existujú takzvané najjednoduchšie goniometrické rovnice. Takto vyzerajú: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Uvažujme ako riešiť takéto goniometrické rovnice, pre názornosť použijeme už známy trigonometrický kruh.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

detská postieľka x = a

Akákoľvek goniometrická rovnica sa rieši v dvoch fázach: rovnicu zredukujeme na jej najjednoduchší tvar a potom ju vyriešime ako jednoduchú goniometrickú rovnicu.
Existuje 7 hlavných metód, ktorými sa riešia goniometrické rovnice.

Variabilná substitúcia a substitučná metóda

Vyriešte rovnicu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pomocou redukčných vzorcov dostaneme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Nahraďte cos(x + /6) y, aby ste to zjednodušili a získali obvyklú kvadratickú rovnicu:

2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0

Korene ktorých sú y 1 = 1, y 2 = 1/2

Teraz poďme v opačnom poradí

Dosadíme nájdené hodnoty y a získame dve možnosti odpovede:

Riešenie goniometrických rovníc pomocou faktorizácie

Ako vyriešiť rovnicu sin x + cos x = 1?

Posuňme všetko doľava tak, aby 0 zostala vpravo:

sin x + cos x – 1 = 0

Použime vyššie uvedené identity na zjednodušenie rovnice:

hriech x – 2 sin 2 (x/2) = 0

Rozložme na faktor:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dostaneme dve rovnice

Redukcia na homogénnu rovnicu

Rovnica je homogénna vzhľadom na sínus a kosínus, ak sa všetky jej členy vzťahujú na sínus a kosínus rovnakej mocniny rovnakého uhla. Ak chcete vyriešiť homogénnu rovnicu, postupujte takto:

a) previesť všetkých svojich členov na ľavá strana;

b) vyňať všetky spoločné faktory zo zátvoriek;

c) prirovnať všetky faktory a zátvorky k 0;

d) v zátvorkách sa získa homogénna rovnica nižšieho stupňa, ktorá je zase rozdelená na sínus alebo kosínus vyššieho stupňa;

e) vyriešte výslednú rovnicu pre tg.

Vyriešte rovnicu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Použime vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 a zbavme sa otvorenej dvojky vpravo:

3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Vydeliť cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nahraďte tan x za y a získajte kvadratickú rovnicu:

y 2 + 4y +3 = 0, ktorých korene sú y 1 = 1, y 2 = 3

Odtiaľto nájdeme dve riešenia pôvodnej rovnice:

x 2 = arktan 3 + k

Riešenie rovníc cez prechod do polovičného uhla

Vyriešte rovnicu 3sin x – 5cos x = 7

Prejdime na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Presuňme všetko doľava:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Vydeliť cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Zavedenie pomocného uhla

Na zváženie si zoberme rovnicu v tvare: a sin x + b cos x = c,

kde a, b, c sú nejaké ľubovoľné koeficienty a x je neznáma.

Vydeľme obe strany rovnice takto:

Teraz majú koeficienty rovnice podľa trigonometrických vzorcov vlastnosti sin a cos, a to: ich modul nie je väčší ako 1 a súčet štvorcov = 1. Označme ich ako cos a sin, kde - to je takzvaný pomocný uhol. Potom bude mať rovnica tvar:

cos * sin x + sin * cos x = C

alebo sin(x +) = C

Riešenie tejto najjednoduchšej goniometrickej rovnice je

x = (-1) k * arcsin C - + k, kde

Treba poznamenať, že označenia cos a sin sú vzájomne zameniteľné.

Vyriešte rovnicu sin 3x – cos 3x = 1

Koeficienty v tejto rovnici sú:

a = , b = -1, takže obe strany vydeľte = 2

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Úplne všetky problémy 1-13 Jednotná štátna skúška profilu matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle spôsoby riešenia, úskalia a tajomstvá jednotnej štátnej skúšky. Analyzovali sa všetky aktuálne úlohy časti 1 z FIPI Task Bank. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Základ riešenia komplexné úlohy 2 časti jednotnej štátnej skúšky.

Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa spravidla riešia pomocou vzorcov. Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšie trigonometrické rovnice sú:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a je ľubovoľné číslo.

A tu sú vzorce, pomocou ktorých si môžete ihneď zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.

Pre sínus:

Pre kosínus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pre dotyčnicu:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Pre kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

V skutočnosti ide o teoretickú časť riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc. Navyše všetko!) Vôbec nič. Počet chýb v tejto téme je však jednoducho mimo tabuľky. Najmä ak sa príklad mierne odchyľuje od predlohy. prečo?

Áno, pretože veľa ľudí zapisuje tieto listy, bez toho, aby ste vôbec pochopili ich význam! Zapisuje opatrne, aby sa niečo nestalo...) Toto treba vyriešiť. Trigonometria pre ľudí, alebo ľudia pre trigonometriu, predsa!?)

Poďme na to?

Jeden uhol sa bude rovnať arccos, druhý: - arccos a.

A vždy to takto dopadne. Pre akékoľvek A.

Ak mi neveríte, ukážte myšou na obrázok alebo sa ho dotknite na tablete.) Zmenil som číslo A na niečo negatívne. Každopádne máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.

Preto môže byť odpoveď vždy napísaná ako dve série koreňov:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Spojme tieto dve série do jednej:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

A to je všetko. Získali sme všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice s kosínusom.

Ak pochopíte, že to nie je nejaká nadvedecká múdrosť, ale len skrátená verzia dvoch sérií odpovedí, Zvládnete aj úlohy „C“. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu... Tam odpoveď s plus/mínus nefunguje. Ak však s odpoveďou naložíte obchodným spôsobom a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, všetko sa vyrieši.) V skutočnosti to preto skúmame. Čo, ako a kde.

V najjednoduchšej goniometrickej rovnici

sinx = a

dostaneme aj dve série koreňov. Vždy. A tieto dve série sa dajú aj nahrať v jednom riadku. Len tento riadok bude zložitejší:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ale podstata zostáva rovnaká. Matematici jednoducho navrhli vzorec na vytvorenie jedného namiesto dvoch záznamov pre rad koreňov. To je všetko!

Skontrolujeme matematikov? A nikdy nevieš...)

V predchádzajúcej lekcii sa podrobne diskutovalo o riešení (bez akýchkoľvek vzorcov) goniometrickej rovnice so sínusom:

Odpoveď viedla k dvom sériám koreňov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ak tú istú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Vlastne je to nedokončená odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpoveď by bola:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Tu to vzniká záujem Spýtaj sa. Odpovedať cez x 1; x 2 (toto je správna odpoveď!) a cez osamelý X (a toto je správna odpoveď!) - sú to isté alebo nie? Teraz to zistíme.)

V odpovedi nahrádzame s x 1 hodnoty n =0; 1; 2; atď., počítame, dostaneme rad koreňov:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 a tak ďalej.

S rovnakým striedaním v odpovedi s x 2 , dostaneme:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 a tak ďalej.

Teraz nahraďme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do všeobecného vzorca pre single X . To znamená, že zvýšime mínus jedna na nulovú mocninu, potom na prvú, druhú atď. No, samozrejme, do druhého člena dosadíme 0; 1; 2 3; 4 atď. A počítame. Dostávame sériu:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak ďalej.

To je všetko, čo môžete vidieť.) Všeobecný vzorec dáva nám presne tie isté výsledky rovnako ako obe odpovede oddelene. Proste všetko naraz, po poriadku. Matematici sa nenechali oklamať.)

Kontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie goniometrických rovníc s dotyčnicou a kotangensom. Ale nebudeme.) Už sú jednoduché.

Všetky tieto náhrady a kontroly som napísal konkrétne. Tu je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych goniometrických rovníc, len krátke zhrnutie odpovedí. Pre túto stručnosť sme museli vložiť plus/mínus do kosínusového riešenia a (-1) n do sínusového riešenia.

Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, kde si stačí odpoveď zapísať elementárna rovnica. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť alebo potom musíte urobiť niečo s odpoveďou: vybrať korene na intervale, skontrolovať ODZ atď., Tieto vloženia môžu človeka ľahko znepokojiť.

Tak co mam robit? Áno, odpoveď buď napíšte v dvoch sériách, alebo rovnicu/nerovnicu vyriešte pomocou trigonometrického kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa stane ľahším.)

Môžeme zhrnúť.

Na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc existujú hotové vzorce odpovede. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité zapísanie riešenia rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:

sinx = 0,3

jednoducho: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Žiaden problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

jednoducho: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Zostal jeden: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ak žiarite vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

potom už svietiš, toto... tamto... z kaluže.) Správna odpoveď: neexistujú žiadne riešenia. nerozumieš prečo? Prečítajte si, čo je oblúkový kosínus. Okrem toho, ak sú na pravej strane pôvodnej rovnice tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 a tak ďalej. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť prevedené na radiány.

A ak narazíte na nerovnosť, ako

potom je odpoveď:

x πn, n ∈ Z

existuje vzácny nezmysel, áno...) Tu musíte vyriešiť pomocou trigonometrického kruhu. Čo budeme robiť v príslušnej téme.

Pre tých, ktorí hrdinsky čítajú tieto riadky. Jednoducho nemôžem oceniť vaše titanské úsilie. Bonus pre vás.)

Bonus:

Pri zapisovaní vzorcov v alarmujúcej bojovej situácii sa aj ostrieľaní nerdi často zamotajú, kde πn, A kde 2π n. Tu je pre vás jednoduchý trik. In každý vzorce v hodnote πn. Okrem jedinej formuly s oblúkovým kosínusom. Stojí tam 2πn. Dva peen. Kľúčové slovo - dva. V tomto istom vzorci sú dva podpísať na začiatku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.

Ak si teda napísal dva znamenie pred arc cosínusom, je ľahšie zapamätať si, čo sa stane na konci dva peen. A deje sa to aj naopak. Osobe bude chýbať znamenie ± , dostane sa na koniec, píše správne dva Pien a príde k rozumu. Niečo je pred nami dva podpísať! Osoba sa vráti na začiatok a opraví chybu! Páči sa ti to.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného vyriešenia každého zo spomínaných problémov je nasledovný: treba si ujasniť, aký typ problému riešite, zapamätať si potrebnú postupnosť úkonov, ktoré povedú k želanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých etáp jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia je s goniometrické rovnice. Nie je vôbec ťažké určiť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Autor: vzhľad rovnice, je niekedy ťažké určiť jej typ. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „identickým funkciám“;
3. faktor ľavej strany rovnice atď.

Uvažujme základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2. Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná náhrada

Schéma riešenia

Krok 1. Redukujte rovnicu na algebraický tvar vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3. Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.

Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2, nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorca na zníženie stupňa:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Zredukujte túto rovnicu do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Krok 3. Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, čo znamená

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých možných goniometrických vzorcov zredukujte túto rovnicu na rovnicu riešenú metódami I, II, III, IV.

Krok 2. Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

hriech x + hriech 2x + hriech 3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V dôsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosť riešiť goniometrické rovnice je veľmi dobrá dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj zo strany učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc sú spojené mnohé problémy stereometrie, fyziky atď. Proces riešenia takýchto úloh zahŕňa mnohé z vedomostí a zručností, ktoré sa získavajú štúdiom prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice berú dôležité miesto v procese vyučovania matematiky a rozvoja osobnosti vôbec.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.