Ako sa líši lineárna stupnica od logaritmickej stupnice? Čo je to logaritmická škála? Zobrazenie grafov s rôznymi mierkami

4. Binet-Simonova stupnica. Pojem „duševný vek“. Stanford-Binetova stupnica. Pojem „intelektuálny kvocient“ (IQ). Diela V. Sterna Prvá stupnica (séria testov) Binet-Simon sa objavila v roku 1905. Binet vychádzal z myšlienky, že k rozvoju inteligencie dochádza

Pravidlo na priateľské stretnutia

Posuvné pravítko na priateľských stretnutiach Jeden inžinier mi raz povedal: „Beriem si so sebou pravítko bez ohľadu na to, kam idem, dokonca aj na večeru, kde sa mi zdá, že to nemá zmysel. Ona je však pre mňa talizman, ktorý posilňuje moju vieru

Toky svetelnej energie dopadajúcej na sietnicu nášho oka zo Slnka a z hviezd sa líšia mnohomiliardkrát! Ale oko vidí oboje. Žiadny iný technický merací prístroj nemá taký široký rozsah citlivosti. Na meranie sa používajú špeciálne zosilňovače alebo „atenuátory“ (filtre) signálu a naše oko si s týmto problémom poradí samo. A nielen oči. Počujeme škrekot komára a rev dopravného lietadla, ale oni akustický tlak sa tiež líšia miliardy krát. Ako fungujú naše pocity v takom širokom rozmedzí? Ukazuje sa, že používajú jeden "matematický trik" - transformáciu meracej stupnice.

V každodennom živote spravidla používame na meranie rôznych veličín. lineárne stupnice: na meranie dĺžky - metre, míle a stopy, na indikáciu hmotnosti - gramov, ton a libier a stupňov Celzia alebo Fahrenheita - pre teplotu. Vo vede je rozsah meraní oveľa širší ako v každodennom živote, takže vedci často pracujú s rádmi a píšu čísla v takzvaných vedeckých symboloch, ktoré sú na kalkulačkách označené ako „vedecký zápis“. Napríklad namiesto 56000 píšu 5.6 ´ 10 4. V podstate ide o logaritmický zápis, hoci exponent zvyčajne ponecháva iba celú časť logaritmu a mantisa - zlomková časť logaritmu - sa zapisuje ako desatinný zlomok. To je výhodné: celý exponent okamžite označuje oblasť merania - „rád“. V našom príklade to naznačuje položka „10 4“. hovoríme o asi desaťtisíce. Desatinné udáva význam čísla, pričom počet číslic zvyčajne zodpovedá presnosti merania a údaj „5,6“ označuje, že presnosť merania bola pravdepodobne okolo 1 %.

Nevedome veľmi často používame toto znázornenie čísel v každodennom živote. Keď povieme „tri a pol milióna“ alebo použijeme skrátenú formu „3,5 milióna“, v skutočnosti používame vedeckú notáciu (3,5 ´ 10 6). A ako sa ukazuje, náš implicitný sklon k logaritmickej reprezentácii čísel má hlboký fyziologický základ: faktom je, že rôzne zmyslové orgány v našom tele tiež používajú logaritmické stupnice.

Ako prvý si to všimol zrejme francúzsky fyzik Pierre Bouguer (1698-1758), ktorý pri pokusoch s osvetlenými obrazovkami zistil, že oko zaznamenáva relatívny rozdiel v jasoch povrchov. A tento objav sformuloval vo forme jasného pravidla nemecký fyziológ Ernst Heinrich Weber, 1795–1878, ktorý študoval citlivosť svalov a kože. Zistil, že nevnímame absolútnu, ale relatívnu zmenu sily podnetu. Napríklad, ak máte v ruke závažie s hmotnosťou 10 g, potom s istotou cítite pridanie ďalšieho s rovnakou hmotnosťou; ale ak držíte závažie 10 kg, tak prirátať k tomu 10 gramové závažie nebudete cítiť. Neskôr sa to potvrdilo aj pre ďalšie zmysly – zrak, sluch, chuť. Ukázalo sa, že naša citlivosť je relatívna a rozlišovacia schopnosť zmyslov je zvyčajne niekoľko percent.

V roku 1858 to nemecký fyzik a psychológ Gustav Theodor Fechner (1801–1887) matematicky sformuloval: intenzita vnemov, ktoré vnímame, je úmerná logaritmu sily podnetu. Tento zákon sa nazýva Weberov-Fechnerov zákon alebo základný psychofyzikálny zákon. Často sa formuluje takto: „Keď sa zmení sila podnetu geometrický postup, intenzita vnemu sa mení v aritmetická progresia" Samozrejme, rozsah platnosti tohto pravidla nie je neobmedzený; platí to pre podnety, ktoré nie sú príliš slabé (nad prahom citlivosti) a nie príliš silné (pod prahom bolesti).

Biologické mechanizmy implementácie Weber-Fechnerovho zákona ešte nie sú úplne jasné. Preto si len všimneme, ako sa táto vlastnosť nášho vnímania prejavuje vo vede a technike. Niektoré všeobecne akceptované logaritmické stupnice, určené výberom koeficientov proporcionality, sú uvedené v tabuľke.

Tabuľka. Logaritmické stupnice

Vzájomná korešpondencia medzi nimi je: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2 303 exp. Všimnite si, že vo všetkých týchto mierkach ikona za číslom neoznačuje fyzický rozmer veličiny, ale typ váhy. Všetky logaritmické stupnice vyjadrujú pomer dvoch rád fyzikálnych veličín. Záznam „0,5 dex“ preto môže znamenať buď 3,16...násobné zvýšenie ročného príjmu spoločnosti (povedzme z 86 na 272 miliónov rubľov), alebo 3,16...násobné zvýšenie priemernej dojivosti kravy na farme (povedzme od 1500 do 4750 litrov ročne).

Hlasitosť a výška zvuku - biele, decibely, oktávy

V bežnej desiatkovej logaritmickej stupnici sa jednotka merania nazýva bel na počesť amerického vynálezcu telefónu Alexandra Grahama Bella (1847–1922). Častejšie sa používa jeho desiata časť – decibel. Obe jednotky sa používajú najmä v akustike na meranie hladín intenzity zvuku a akustického tlaku, ako aj v elektrotechnike. Rozdiel hladiny 1 dB znamená pomer 10 0,1 = 1,2589... krát. Tri decibely sú takmer presne dvojnásobok. V akustike sotva počuteľný zvuk (tlak asi 2 ´ 10 –5 N/m 2 ), takže pri úrovni hlasitosti 90 dB je akustický tlak na bubienku miliardkrát väčší ako pri sotva postrehnuteľnom šepotu.

Jednotky bel a decibel však majú vlastnosť, ktorá sťažuje ich použitie mimo akustiky a elektrotechniky. Ide o to, že tieto logaritmické stupnice sú definované odlišne pre rôzne fyzikálne veličiny. Vyššie uvedená definícia sa používa len pre „energetické“ veličiny, medzi ktoré patrí výkon, energia, energetický tok... A pre „výkonové“ veličiny (napätie, prúd, tlak, sila poľa...) iná definícia bielej a decibelovej sa používa, pretože napríklad intenzita zvuku (tok energie) a akustický tlak sú vo vzťahu ja ~ p 2. Nejednoznačnosť belov a decibelov robí jednotku dex pohodlnejšou, ktorá sa stále viac používa.

Ak vnímame amplitúdu zvukovej vlny ako hlasitosť, potom jej frekvenciu vnímame ako výšku tónu. A v tomto prípade platí Weberov-Fechnerov zákon: rôzne zvuky vnímame ako rovnako vzdialené, ak sú pomery ich frekvencií rovnaké. Používa sa na meranie hudobných intervalov logaritmické jednotky. Hlavná je oktáva, interval medzi dvoma zvukmi, z ktorých frekvencia jedného je dvojnásobkom frekvencie druhého. Koncept oktávy sa stáva čoraz populárnejším aj mimo hudobnej sféry, pretože čísla v tvare 2 nširoko používaný v pulznej elektronike, najmä vo výpočtovej technike. Pravda, v týchto oblastiach sa slovo oktáva zvyčajne nahrádza slovom bit(binárna číslica).

Jas svetelných zdrojov - stupnica magnitúdy

Astronómovia merajú „brilanciu“ nebeských telies v hviezdnych magnitúdach. Ide o bezrozmernú veličinu, ktorá charakterizuje osvetlenie vytvorené nebeským objektom v blízkosti pozorovateľa. Ako vidíme, astronómovia používajú slovo brilantnosť na označenie vizuálneho vnímania, ktoré sa celkom nezhoduje s tým, čo je bežné v každodennom živote. Brilantnosť jedného zdroja je indikovaná porovnaním s brilantnosťou iného zdroja, ktorý sa považuje za štandard. Takéto štandardy zvyčajne slúžia ako špeciálne vybrané hviezdy.

Základom škály magnitúd je piata odmocnina zo 100. Je to pocta historickej tradícii, ktorá nemá žiadne racionálne opodstatnenie. Na účely astronomickej fotometrie by bels úplne postačovali, ale hviezdne veľkosti sa zrodili oveľa skôr a teraz je ťažké ich odmietnuť. Veľkosť sa označuje latinským písmenom „m“ (z latinského magnitudo - veľkosť). Medzi zvláštnosťami tejto stupnice je ešte jedna - jej smer je opačný: čím vyššia je magnitúda, tým slabší je jas objektu. Napríklad hviezda 2. magnitúdy (2 m) je 2,512-krát jasnejšia ako hviezda 3. magnitúdy (3 m) a o 2,512 ´ 2,512 = 6,310-krát jasnejšia ako hviezda štvrtej magnitúdy (4 m), atď.

Chemická citlivosť - stupnica kyslosti

Škála chemických reakcií prostredia, takzvaná škála kyslosti, je tiež veľmi blízka magnitúdovej škále. Pripomínam, že hodnota pH, známa školákom a všetkým, ktorí používajú kozmetiku, sa určuje podľa vzťahu: pH = – log, kde je koncentrácia kladných vodíkových iónov v roztoku. V tomto prípade sa za nulový bod považuje čistá voda pri izbovej teplote (neutrálne prostredie), ktoré má =10 –7. Ďalej, ako sa zvyšuje kyslosť, hodnota pH klesá - čo nie je stupnica veľkosti? Čím vyššia je kyslosť, tým nižšia je hodnota indexu, len základňa logaritmu nie je 2,512... (ako pri hviezdnych magnitúdach), ale 10.

Ako viete, prvými chemickými indikátormi boli naše chuťové poháriky, ktoré dnes využívajú len kuchári, no v minulosti ich používali aj chemici. Preto nie je prekvapujúce, že sa v chémii objavila logaritmická koncentračná stupnica: fungoval Weber-Fechnerov zákon, ktorému sa riadia všetky naše zmysly vrátane chuťových orgánov.

Vnímanie psychických javov – škála emócií

Na niekoľkých príkladoch uvidíme, že nielen fyziologické, ale aj mentálne škály, ktoré určujú silu našich emócií, majú tiež logaritmickú povahu: pre naše subjektívne hodnotenie dojmu, ktorý na nás pôsobí, si podvedome vyberáme „kroky“ vo forme geometrický postup.

Ako známy príklad začnime „Landauovou stupnicou“, podľa ktorej náš slávny fyzik hodnotil zásluhy svojich kolegov. Takto na to spomína akademik V.L. Ginzburg: „... Landau mal v oblasti fyziky „záslužnú škálu“. Škála bola logaritmická (trieda 2 mala 10-krát menšie úspechy ako trieda 1). Z fyzikov nášho storočia mal iba Einstein triedu 0,5 vrátane Bohra, Diraca, Heisenberga a mnohých ďalších...“

Iní študenti veľkého fyzika hovoria o Landauovej stupnici trochu inak: „Landau pridelil „hviezdne“ čísla veľkým fyzikom na celom svete. Viete, že hviezda prvej veľkosti je veľmi jasná hviezda, hviezda druhej veľkosti je menej jasná atď. Landau priradil polovicu hodnoty Einsteinovi, Bohrovi a Newtonovi – 0,5. Dirac, Heisenberg sú hviezdy prvej veľkosti. Priradil si druhú hodnotu.“

Zostáva nejasné, či je logaritmus založený na akom základe - 10 alebo 2,512... - Lev Landau použil na určenie úrovne geniality teoretických fyzikov. Len jedna vec je istá: na tieto čisto emocionálne, subjektívne hodnotenia použil logaritmickú škálu.

Už som si všimol, že v každodennom živote často používame aj logaritmickú stupnicu. Príklady možno uvádzať dlho. Bohatých teda delíme na milionárov a miliardárov. Mestá delíme podľa počtu obyvateľov na milión a stotisíc ľudí. Pri nákupe potravín v obchode sa snažíme ušetriť rubľov, ale pri premýšľaní o kúpe novej chladničky alebo televízora venujeme pozornosť iba stovkám rubľov. Podobne ako v prípade fyziologických škál, aj v každodenných emocionálnych otázkach vnímame nie absolútny, ale relatívny rozdiel. Okrem toho sa pre nás stáva zreteľným a významným, keď presiahne niekoľko percent nameranej hodnoty. Zdá sa, že citlivosť nášho „merača emócií“ je blízka citlivosti oka, ucha a iných fyziologických receptorov.

Zoberme si jednu z „emocionálnych“ škál navrhnutých v posledných rokoch.

Stupnice nebezpečnosti asteroidov v Turíne a Palerme

Vo všeobecnosti je Binzelova stupnica podobná Richterovej stupnici, ktorú používajú seizmológovia na označenie uvoľňovania energie pri zemetraseniach. Oba sú pre laikov celkom pochopiteľné, čo je ich nepochybným prínosom. Turínska stupnica umožňuje zaradiť asteroidy a iné nebeské telesá (s prihliadnutím na ich veľkosť a rýchlosť vzhľadom na našu planétu) do 11 stupňov nebezpečenstva pre pozemšťanov. Zohľadňuje nielen pravdepodobnosť zrážky asteroidu so Zemou, ale aj potenciálne zničenie, ktoré by katastrofa mohla spôsobiť.

Ako je zrejmé z tabuľky, kategória nula zahŕňa tie objekty, o ktorých môžeme s istotou povedať, že nedosiahnu povrch Zeme; k prvým - tým, ktoré si stále zaslúžia starostlivé sledovanie; Druhá, tretia a štvrtá zahŕňajú menšie planéty, ktoré vyvolávajú oprávnené obavy. Do piatej až siedmej kategórie patria telesá, ktoré jednoznačne ohrozujú Zem a objekty z posledných troch budú nepochybne kolidovať s našou planétou a dôsledky pre jej biosféru môžu byť lokálne, regionálne alebo globálne. Turínska stupnica sa osvedčila pri klasifikácii a vysvetľovaní verejnosti možné následky vesmírne kolízie. Aj keď neobsahuje jasné kvantitatívne kritériá, stále si môžete všimnúť, že s prechodom k ďalšiemu bodu sa emocionálne napätie zvyšuje „rádovo“.

Tabuľka. Turínska stupnica nebezpečenstva zrážky Zeme s asteroidmi a kométami

Kvantitatívne sa to potvrdilo v nedávno zverejnenej profesionálnej verzii Turínskej stupnice s názvom Palermo Technical Impact Hazard Scale. Namiesto bodov používa spojitý index PS (z Palermskej škály), definovaný ako logaritmus pomeru očakávanej pravdepodobnosti kolízie s konkrétnym objektom v odhadovanom časovom intervale k pravdepodobnosti pozadia kolízie s podobnými objektmi počas v rovnakom čase. Stupeň strachu z nebezpečenstva meteoritu má teda aj logaritmický charakter.

Ako vidíme, logaritmický zákon, ktorý je súčasťou ľudskej fyziológie a psychiky, rozširuje dynamický rozsah našich zmyslov, otupuje ich reakciu na silné podnety a tým posúva prah bolesti. Je zrejmé, že po milióny rokov to prispievalo k prežitiu druhu Homo sapiens. Otázkou je, či sa táto vlastnosť našej psychiky nestane ľudstvu v modernej dobe osudnou.

Partnerské novinky