Ako sa líši lineárna stupnica od logaritmickej stupnice? Čo je to logaritmická škála? Zobrazenie grafov s rôznymi mierkami
Výber typu mierok pre graf mi vždy pripadal ako intuitívna úloha. Keď som však potreboval vysvetliť, v čom sa líšia, nevedel som poskytnúť jasné argumenty. Na internete som nenašiel dobré informácie. Tak som sa rozhodol zistiť, odkiaľ mám nohy. rôzne typy stupnice a ako by sa mali uplatňovať. Rozhodol som sa zvážiť tri najbežnejšie typy stupníc - rovnomerné, logaritmické a mocenské.
Jednotná mierka
Najbežnejší a najznámejší typ váhy. Nazývajú sa tiež aritmetické alebo lineárne stupnice. V takejto škále sú hodnoty od seba rovnako vzdialené.
Napríklad hodnoty 100 a 200 a 200 a 300 zaostávajú od seba o rovnakú vzdialenosť.
Napríklad v tomto grafe je os Y jednotná stupnica s prírastkami o 20 rokov priemernej dĺžky života a os X je jednotná stupnica s prírastkami po 10 kalendárnych rokoch.
Logaritmická stupnica
Tento typ váhy sa tiež používa pomerne často, najmä pokiaľ ide o vedecký výskum. Používa sa na zobrazenie širokého rozsahu hodnôt, keď sa hodnoty, ktoré spadajú do grafu, líšia o mnoho rádov. To znamená, že keď chceme súčasne vidieť hodnoty 0,1, 0,2 a hodnoty 100, 200 na rovnakom grafe. Často to súvisí s fyzikou procesu. Takže napríklad v hudbe sú tóny, ktoré sa líšia frekvenciou dvakrát, tóny o oktávu vyššie (A a A nasledujúcej oktávy). Na zobrazenie frekvencií dvoch nôt bude vhodné použiť logaritmickú stupnicu.
Stáva sa však, že súbor údajov jednoducho obsahuje veľký rozptyl údajov. Ako tento graf z Tufteho Krásneho dôkazu, kde používa logaritmické škály na porovnanie telesnej a mozgovej hmoty rôznych tvorov. Keďže existujú malé ryby aj obrovské veľryby, je vhodné použiť na takomto grafe logaritmické stupnice.
Najbežnejšie používané sú logaritmické stupnice so základňou 10. To znamená, že medzi hodnotami, ktoré sa líšia o jeden rád, sú na grafe vynesené rovnaké vzdialenosti. Existujú však logaritmické stupnice s inými základňami. Napríklad 2.
Výkonová stupnica
Je to menej slávny typ váhy Od ostatných sa líši tým, že vzdialenosť medzi rizikami zodpovedá číslam umocneným. To znamená, že sa ukazuje, že vzdialenosť medzi susednými rizikami neustále rastie alebo klesá. Takéto stupnice sú vhodné, keď chceme na jednom grafe zobraziť nejakú skupinu hodnôt podrobnejšie, ale nechceme stratiť zo zreteľa hodnoty, ktoré sa od tejto skupiny veľmi líšia. V niektorých ohľadoch je to podobné logaritmickej stupnici, ale tu nie je dôraz kladený na celý interval, ale iba na jeho samostatnú časť. Jasne je to vidieť na príklade RIA Novosti, kde pomocou mocenských škál vyhladzovali odľahlé hodnoty v príjmoch jednotlivých poslancov.
Identifikujme dve úlohy, ktoré sa pravidelne vyskytujú v praxi vlnových analytikov (obrázok 1).
Úloha č.1. Na niektorých trhoch vlna I spojila úrovne 100 a 400. Tretia vlna začala na 250 a dosiahla cieľovú hodnotu 1000. Ako súvisia vlny I a III?
Úloha č.2. Na niektorých trhoch vlna A spojila úrovne 400 a 100 Vlna C, ktorá začala na 250, je 161,8 % A. Na akej úrovni vlna C končí?
Obrázok 1 - vlnové útvary v konvenčných súradniciach.
Obrázok 2 - vlnové útvary v logaritmických súradniciach.
Pôsobiace vlny v našich problémoch sú veľmi významné (ceny sa niekoľkokrát menia) - pri takýchto vzdialenostiach je potrebné použiť logaritmickú stupnicu. Prestavme náš graf na logaritmický (obrázok 2) a označme obrat body a-d(nezamieňať s cik-cak vlnami). Pomery medzi vlnami nájdeme z rovnice:
Riešenia: v prvej úlohe sa tretia vlna rovná prvej - ln(1000/250)/ln(400/100)=1.
V druhom probléme je odpoveď 26,5 bodu, pretože ln(250/26,5)/ln(400/100)=1,618. Táto úloha má riešenie s pomerom C = 2,618A a dokonca aj s C = 4,236A.
Kedy použiť logaritmickú stupnicu?
V známych knihách o vlnovej teórii nie je otázka používania logaritmov skutočne objasnená. Tak či onak sa uznáva, že pokrok civilizácie postupuje logaritmicky a zvýšenie o 10 bodov od úrovne 10 a podobné zvýšenie od úrovne 100 sú dva zásadne odlišné pohyby, ktoré nemôžu mať rovnakú veľkosť. Kde je však hranica medzi tradičnými aritmetickými a logaritmickými stupnicami?
Na internete nájdete pokyny na použitie logaritmov, ak zmena v úvodzovkách presiahne 3-násobok. Na prvý pohľad je to logické, no pri bližšom skúmaní sa ukazuje jedna dôležitá nezrovnalosť – ako sa vysporiadať s vlnami vyšších rádov, ktoré nezapadajú do zabehnutého rámca. Naozaj musíte používať dve stupnice naraz – logaritmickú na globálne označovanie a bežnú na každý deň?
Nasledujúci príklad jasne vysvetľuje nekonzistentnosť tohto prístupu. Obrázok 3 vľavo zobrazuje graf výmenného kurzu dolára od roku 2014 na logaritmickej stupnici a vpravo je tradičný cenový graf z leta 2015. V druhom prípade sme mali plné právo vytiahnuť impulz natiahnutou pätou, hoci logaritmy tento scenár jasne zakazovali, pretože predpokladaná vlna 3 sa ukázala byť kratšia ako prvá a natiahnutia sa vôbec neuskutočnili.
Obrázok 3 - graf USDRUB v logaritmických a konvenčných súradniciach.
Aby ste sa vyhli takýmto konfliktom a zachovali si konzistentnosť, odporúčam vám vždy používať logaritmickú stupnicu. Je univerzálny. Na vyšších rámoch ako jediný ukáže správne proporcie medzi vlnami a neexistuje k nemu alternatíva. Ak sú zmeny cien nevýznamné, potom sa logaritmické proporcie zhodujú s bežnými aritmetickými, takže nič nepokazíme a zároveň nebudeme musieť prechádzať z jednej stupnice na druhú.
Všimol som si, že niektorí analytici umožňujú meranie vĺn nielen v logaritmoch, ale aj v časoch alebo percentách. Takýto prístup je podľa mňa čisto amatérsky a nemá žiadne teoretické opodstatnenie. Okrem toho je úplne nejasné, ako zakresliť takéto vlny do grafu.
Prečo sa používa logaritmus?
Pozrime sa, odkiaľ pochádzajú logaritmické súradnice. Ako bolo povedané, zvýšenie o 10 bodov od úrovne 10 a podobné zvýšenie od úrovne 100 sú dva rôzne pohyby. Čím vyššie trh stúpa, tým ľahšie rastie v porovnaní s východiskovým bodom. Ak sa plánujeme zbaviť tohto incidentu, budeme musieť celý pohyb rozdeliť na nekonečne malé časti a pri každom kroku zdvihnúť začiatočný bod.
Zoberme si dva samostatné procesy. Prvý z nich modeluje pohyblivý referenčný bod - hodnota x začína od jednotky a pri každom kroku sa zvyšuje o k% od predchádzajúceho. Druhý proces je lineárny - hodnota y začína od nuly a pri každom kroku sa zvyšuje o k% jednotky. Teraz nájdime transformáciu, ktorá spojí procesy X a Y pre nekonečne malé k.
Prechod z konvenčnej stupnice na logaritmickú je jasne znázornený na obrázku 4. V lineárnom procese (vpravo) je veľkosť kroku konštantná a nezávisí od úrovne, od ktorej začína zmena ceny. Logaritmický proces (vľavo) sa tejto nevýhody zbavuje - čím vyššia je aktuálna hodnota ceny, tým väčší je diskrétny krok.
Obrázok 4 - porovnanie procesov zmeny cien v rôznych mierkach.
Ako viete, logaritmická stupnica skrýva zmeny cien vykonané v hornej časti grafu a rozširuje trendy zo „suterénu“. Rastová vlna indexu Dow od roku 1974 do roku 2001 v obvyklom súradnicovom systéme teda presiahla 1200 % rastovej vlny od roku 1942 do roku 1966. V logaritmoch majú tieto vlny pomer 1,27.
Obrázok na hlavnej stránke je prevzatý z fotobanky Lori
LOGARITMICKÁ STUPNICA
(logaritmická stupnica) Mierka na diagrame, kde jednotkou merania je hodnota logaritmu premennej. Logaritmické škály sa používajú predovšetkým v grafoch, v ktorých je čas zobrazený na jednej, zvyčajne horizontálnej, mierke a nejaká reálna alebo nominálna premenná, ako napríklad HDP alebo cenová hladina, je zobrazená na zvislej osi. Sklon krivky v takomto diagrame ukazuje proporcionálnu rýchlosť rastu premennej a konštantný proporcionálny rastový trend je znázornený ako priamka. Ak sa na oboch osách použijú logaritmické stupnice, sklon krivky je úmerný jej elasticite. Na logaritmickej stupnici nie je možné zobraziť nulové ani záporné čísla. V oboch grafoch (obr. 19) je na vodorovných osách znázornený čas a na zvislej osi reálny HDP imaginárnej krajiny. Ryža. 19: Logaritmické stupnice Graf 1 používa prirodzenú mierku; Graf 2 používa logaritmickú stupnicu. Predpokladá sa, že táto krajina zažíva postupný ekonomický boom, z ktorých každý trvá päť rokov, a krízy, z ktorých každá trvá dva roky. Graf 1 umožňuje ospravedlňovateľom vlády argumentovať, že jej rastové politiky sú úspešné, pretože ekonomický rast sa zvyšuje v každom nasledujúcom cykle. Zároveň umožňuje kritikom vlády tvrdiť, že ekonomické cykly sú čoraz ťažšie, čo dokazuje nekompetentnosť vládnej stabilizačnej politiky. Graf 2 ukazuje klamnosť tvrdení oboch strán. V skutočnosti sa ekonomický rast spomaľuje, ale aj výkyvy v rámci cyklu sú čoraz menej závažné. (Čísla boli vybrané tak, že počas konjunktúr sa ekonomika neustále zvyšovala o 100, 90, 80 % atď. a počas krízy neustále klesala o 10, 9, 8 % atď.)
- - špeciálne gravírovaný papier; zvyčajne vyrábané typografickým spôsobom: na každej z osí pravouhlého súradnicového systému sú vynesené dekadické logaritmy čísel av...
Matematická encyklopédia
- - pozri čl. Kapacita...
Matematická encyklopédia
- - špeciálny Grafický papier sa zvyčajne vyrába metódou tlače: na každej z osí je priamka. súradnicové systémy sú vykreslené ako desiatkové logaritmy čísel x a y a potom cez nájdené body...
-
Prírodná veda. Encyklopedický slovník
- - počítací nástroj na zjednodušenie výpočtov, pomocou ktorého sa operácie s číslami nahrádzajú operáciami s logaritmami týchto čísel. Navrhnuté pre inžinierov. a iné výpočty, keď stačí presnosť 2-3 číslic...
Prírodná veda. Encyklopedický slovník
- - navrhnuté Baturinom na granulometrickú analýzu piesčito-bahnitých oblastí Termíny Ш.γ sú desatinné logaritmy veľkosti zlomkov, desaťnásobne zväčšené a brané s opačným znamienkom: γ = -10lgε...
Geologická encyklopédia
- - špeciálne grafický papier, zvyčajne vyrobený typografickým spôsobom: na každej z osí pravouhlého súradnicového systému sú vynesené desatinné logaritmy čísel x a y a rovné čiary rovnobežné s osami....
Veľký ekonomický slovník
- - "...Mierka postavená na logaritmických systémoch. Poznámka: Na zostavenie logaritmických stupníc treba použiť desatinné alebo prirodzené logaritmy, ako aj systém logaritmov so základom dva.....
Oficiálna terminológia
- - "...Logaritmická stupnica meraní získaná logaritmickou transformáciou absolútnych mierok, keď vo výraze L = log X pod znamienkom logaritmu X je bezrozmerná opísaná veličina absolútna mierka. Poznámka...
Oficiálna terminológia
- - počítacie pravítko, - nástroj na približné výpočty, pomocou ktorého sa operácie s číslami nahrádzajú operáciami s logaritmami týchto čísel. Pravidelný L. l. pozostáva z tela, posúvača a priehľadného posúvača...
Veľký encyklopedický polytechnický slovník
- - pozri bojový rým...
Námorný slovník
- - špeciálne grafický papier; zvyčajne sa vyrába tlačou...
- - počítacie pravítko, nástroj na jednoduché výpočty, pomocou ktorého sa operácie s číslami nahrádzajú operáciami s logaritmami týchto čísel. L.l. pozostáva z tela, posúvača a posúvača, ktorý má...
Veľká sovietska encyklopédia
- - LOGARITMICKÝ papier - špeciálne grafovaný papier, zvyčajne vyrábaný tlačou: na každej z osí pravouhlého súradnicového systému sú vynesené desatinné logaritmy čísel x a y a...
- - to isté ako logaritmika...
Veľký encyklopedický slovník
- - LOGARITMICKÉ pravítko - počítací nástroj na zjednodušenie výpočtov, pomocou ktorého sa operácie s číslami nahrádzajú operáciami s logaritmami týchto čísel...
Veľký encyklopedický slovník
"LOGARITMICKÁ STUPNICA" v knihách
GEOCHRONOLOGICKÁ STUPNICA
autora Eskov Kirill JurijevičGEOCHRONOLOGICKÁ STUPNICA
Z knihy Evolúcia autora Jenkins MortonGEOCHRONOLOGICKÁ STUPNICA
Mierka lásky
Z knihy Why We Love [The Nature and Chemistry of Romantic Love] od Helen FisherŠkála lásky Náš experiment mal ešte jednu dodatočnú fázu. Pred vystavením subjektov magnetickej rezonancii sme ich požiadali, aby odpovedali na niekoľko dotazníkov, vrátane jedného, ktorý sme poskytli 839 japonským a americkým subjektom, ako aj
GEOCHRONOLOGICKÁ STUPNICA
Z knihy Úžasná paleontológia [Dejiny Zeme a života na nej] autora Eskov Kirill JurijevičGEOCHRONOLOGICKÁ MIESTA Čísla označujú hranice medzi jednotkami: pred miliónmi rokov Tabuľka 1 Poznámky.1. Hodnosť prekambrických jednotiek (éra, obdobie atď.) koreluje s hodnosťou zodpovedajúcich fanerozoických jednotiek veľmi podmienene.2. Kryptozoikum (prekambrium):
Posuvná stupnica miezd a posuvná stupnica hodín
Z knihy Stalin proti Trockému autora Shcherbakov Alexey YurievichPosuvná mierka mzdy a pohyblivá stupnica pracovného času Masy naďalej, dokonca aj v podmienkach rozpadajúceho sa kapitalizmu, žijú každodenný život utláčaných, ktorým teraz viac ako kedykoľvek predtým hrozí, že sa dostanú späť na dno pauperizmu. Sú nútení
Mineralogická stupnica tvrdosti (Mohsova stupnica)
Z knihy Stručný sprievodca základnými znalosťami autora Černyavskij Andrej VladimirovičMineralogická stupnica tvrdosti (stupnica
Logaritmický papier
TSBPosuvné pravítko
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (LO) od autora TSBLogaritmická špirála
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (LO) od autora TSBLogaritmická funkcia
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (LO) od autora TSBMierka
Z knihy Veľká sovietska encyklopédia (SHK) od autora TSBKOREŠPONDENCIA: Multimediálne posuvné pravítko
Z knihy Computerra Magazine N 27-28 z 25. júla 2006 autora Časopis ComputerraKOREŠPONDENCIA: Multimediálne logaritmické pravítko Autor: Alexey Klimov V Computerre málokedy vidíte päťstranový materiál, takže článok A. Klimenkova „Ako to urobiť zaujímavým“ #642 si bežní čitatelia určite všimli, ale nepravidelní čitatelia si mohli myslieť, že existuje boli problémy
2. Binet-Simonova stupnica. Pojem „duševný vek“. Stanford-Binetova stupnica
Z knihy Psychodiagnostika: poznámky z prednášok autora Luchinin Alexej Sergejevič2. Binet-Simonova stupnica. Pojem „duševný vek“. Stanford-Binetova stupnica Prvá Binet-Simonova stupnica (séria testov) sa objavila v roku 1905. Potom bola autormi niekoľkokrát revidovaná a snažili sa z nej odstrániť všetky úlohy, ktoré si vyžadovali špeciálne školenie. Binet
4. Binet-Simonova stupnica. Pojem „duševný vek“. Stanford-Binetova stupnica. Pojem „intelektuálny kvocient“ (IQ). Diela V. Sterna
Z knihy Psychodiagnostika autora Luchinin Alexej Sergejevič4. Binet-Simonova stupnica. Pojem „duševný vek“. Stanford-Binetova stupnica. Pojem „intelektuálny kvocient“ (IQ). Diela V. Sterna Prvá stupnica (séria testov) Binet-Simon sa objavila v roku 1905. Binet vychádzal z myšlienky, že k rozvoju inteligencie dochádza
Pravidlo na priateľské stretnutia
Z knihy Žiť bez problémov: Tajomstvo ľahkého života od Mangana JamesaPosuvné pravítko na priateľských stretnutiach Jeden inžinier mi raz povedal: „Beriem si so sebou pravítko bez ohľadu na to, kam idem, dokonca aj na večeru, kde sa mi zdá, že to nemá zmysel. Ona je však pre mňa talizman, ktorý posilňuje moju vieru
Toky svetelnej energie dopadajúcej na sietnicu nášho oka zo Slnka a z hviezd sa líšia mnohomiliardkrát! Ale oko vidí oboje. Žiadny iný technický merací prístroj nemá taký široký rozsah citlivosti. Na meranie sa používajú špeciálne zosilňovače alebo „atenuátory“ (filtre) signálu a naše oko si s týmto problémom poradí samo. A nielen oči. Počujeme škrekot komára a rev dopravného lietadla, ale oni akustický tlak sa tiež líšia miliardy krát. Ako fungujú naše pocity v takom širokom rozmedzí? Ukazuje sa, že používajú jeden "matematický trik" - transformáciu meracej stupnice.
V každodennom živote spravidla používame na meranie rôznych veličín. lineárne stupnice: na meranie dĺžky - metre, míle a stopy, na indikáciu hmotnosti - gramov, ton a libier a stupňov Celzia alebo Fahrenheita - pre teplotu. Vo vede je rozsah meraní oveľa širší ako v každodennom živote, takže vedci často pracujú s rádmi a píšu čísla v takzvaných vedeckých symboloch, ktoré sú na kalkulačkách označené ako „vedecký zápis“. Napríklad namiesto 56000 píšu 5.6 ´ 10 4. V podstate ide o logaritmický zápis, hoci exponent zvyčajne ponecháva iba celú časť logaritmu a mantisa - zlomková časť logaritmu - sa zapisuje ako desatinný zlomok. To je výhodné: celý exponent okamžite označuje oblasť merania - „rád“. V našom príklade to naznačuje položka „10 4“. hovoríme o asi desaťtisíce. Desatinné udáva význam čísla, pričom počet číslic zvyčajne zodpovedá presnosti merania a údaj „5,6“ označuje, že presnosť merania bola pravdepodobne okolo 1 %.
Nevedome veľmi často používame toto znázornenie čísel v každodennom živote. Keď povieme „tri a pol milióna“ alebo použijeme skrátenú formu „3,5 milióna“, v skutočnosti používame vedeckú notáciu (3,5 ´ 10 6). A ako sa ukazuje, náš implicitný sklon k logaritmickej reprezentácii čísel má hlboký fyziologický základ: faktom je, že rôzne zmyslové orgány v našom tele tiež používajú logaritmické stupnice.
Ako prvý si to všimol zrejme francúzsky fyzik Pierre Bouguer (1698-1758), ktorý pri pokusoch s osvetlenými obrazovkami zistil, že oko zaznamenáva relatívny rozdiel v jasoch povrchov. A tento objav sformuloval vo forme jasného pravidla nemecký fyziológ Ernst Heinrich Weber, 1795–1878, ktorý študoval citlivosť svalov a kože. Zistil, že nevnímame absolútnu, ale relatívnu zmenu sily podnetu. Napríklad, ak máte v ruke závažie s hmotnosťou 10 g, potom s istotou cítite pridanie ďalšieho s rovnakou hmotnosťou; ale ak držíte závažie 10 kg, tak prirátať k tomu 10 gramové závažie nebudete cítiť. Neskôr sa to potvrdilo aj pre ďalšie zmysly – zrak, sluch, chuť. Ukázalo sa, že naša citlivosť je relatívna a rozlišovacia schopnosť zmyslov je zvyčajne niekoľko percent.
V roku 1858 to nemecký fyzik a psychológ Gustav Theodor Fechner (1801–1887) matematicky sformuloval: intenzita vnemov, ktoré vnímame, je úmerná logaritmu sily podnetu. Tento zákon sa nazýva Weberov-Fechnerov zákon alebo základný psychofyzikálny zákon. Často sa formuluje takto: „Keď sa zmení sila podnetu geometrický postup, intenzita vnemu sa mení v aritmetická progresia" Samozrejme, rozsah platnosti tohto pravidla nie je neobmedzený; platí to pre podnety, ktoré nie sú príliš slabé (nad prahom citlivosti) a nie príliš silné (pod prahom bolesti).
Biologické mechanizmy implementácie Weber-Fechnerovho zákona ešte nie sú úplne jasné. Preto si len všimneme, ako sa táto vlastnosť nášho vnímania prejavuje vo vede a technike. Niektoré všeobecne akceptované logaritmické stupnice, určené výberom koeficientov proporcionality, sú uvedené v tabuľke.
Tabuľka. Logaritmické stupnice
Vzájomná korešpondencia medzi nimi je: 1 dex = 1 B = 10 dB = –2,5 mag » 2 303 exp. Všimnite si, že vo všetkých týchto mierkach ikona za číslom neoznačuje fyzický rozmer veličiny, ale typ váhy. Všetky logaritmické stupnice vyjadrujú pomer dvoch rád fyzikálnych veličín. Záznam „0,5 dex“ preto môže znamenať buď 3,16...násobné zvýšenie ročného príjmu spoločnosti (povedzme z 86 na 272 miliónov rubľov), alebo 3,16...násobné zvýšenie priemernej dojivosti kravy na farme (povedzme od 1500 do 4750 litrov ročne).
Hlasitosť a výška zvuku - biele, decibely, oktávy
V bežnej desiatkovej logaritmickej stupnici sa jednotka merania nazýva bel na počesť amerického vynálezcu telefónu Alexandra Grahama Bella (1847–1922). Častejšie sa používa jeho desiata časť – decibel. Obe jednotky sa používajú najmä v akustike na meranie hladín intenzity zvuku a akustického tlaku, ako aj v elektrotechnike. Rozdiel hladiny 1 dB znamená pomer 10 0,1 = 1,2589... krát. Tri decibely sú takmer presne dvojnásobok. V akustike sotva počuteľný zvuk (tlak asi 2 ´ 10 –5 N/m 2 ), takže pri úrovni hlasitosti 90 dB je akustický tlak na bubienku miliardkrát väčší ako pri sotva postrehnuteľnom šepotu.
Jednotky bel a decibel však majú vlastnosť, ktorá sťažuje ich použitie mimo akustiky a elektrotechniky. Ide o to, že tieto logaritmické stupnice sú definované odlišne pre rôzne fyzikálne veličiny. Vyššie uvedená definícia sa používa len pre „energetické“ veličiny, medzi ktoré patrí výkon, energia, energetický tok... A pre „výkonové“ veličiny (napätie, prúd, tlak, sila poľa...) iná definícia bielej a decibelovej sa používa, pretože napríklad intenzita zvuku (tok energie) a akustický tlak sú vo vzťahu ja ~ p 2. Nejednoznačnosť belov a decibelov robí jednotku dex pohodlnejšou, ktorá sa stále viac používa.
Ak vnímame amplitúdu zvukovej vlny ako hlasitosť, potom jej frekvenciu vnímame ako výšku tónu. A v tomto prípade platí Weberov-Fechnerov zákon: rôzne zvuky vnímame ako rovnako vzdialené, ak sú pomery ich frekvencií rovnaké. Používa sa na meranie hudobných intervalov logaritmické jednotky. Hlavná je oktáva, interval medzi dvoma zvukmi, z ktorých frekvencia jedného je dvojnásobkom frekvencie druhého. Koncept oktávy sa stáva čoraz populárnejším aj mimo hudobnej sféry, pretože čísla v tvare 2 nširoko používaný v pulznej elektronike, najmä vo výpočtovej technike. Pravda, v týchto oblastiach sa slovo oktáva zvyčajne nahrádza slovom bit(binárna číslica).
Jas svetelných zdrojov - stupnica magnitúdy
Astronómovia merajú „brilanciu“ nebeských telies v hviezdnych magnitúdach. Ide o bezrozmernú veličinu, ktorá charakterizuje osvetlenie vytvorené nebeským objektom v blízkosti pozorovateľa. Ako vidíme, astronómovia používajú slovo brilantnosť na označenie vizuálneho vnímania, ktoré sa celkom nezhoduje s tým, čo je bežné v každodennom živote. Brilantnosť jedného zdroja je indikovaná porovnaním s brilantnosťou iného zdroja, ktorý sa považuje za štandard. Takéto štandardy zvyčajne slúžia ako špeciálne vybrané hviezdy.
Základom škály magnitúd je piata odmocnina zo 100. Je to pocta historickej tradícii, ktorá nemá žiadne racionálne opodstatnenie. Na účely astronomickej fotometrie by bels úplne postačovali, ale hviezdne veľkosti sa zrodili oveľa skôr a teraz je ťažké ich odmietnuť. Veľkosť sa označuje latinským písmenom „m“ (z latinského magnitudo - veľkosť). Medzi zvláštnosťami tejto stupnice je ešte jedna - jej smer je opačný: čím vyššia je magnitúda, tým slabší je jas objektu. Napríklad hviezda 2. magnitúdy (2 m) je 2,512-krát jasnejšia ako hviezda 3. magnitúdy (3 m) a o 2,512 ´ 2,512 = 6,310-krát jasnejšia ako hviezda štvrtej magnitúdy (4 m), atď.
Chemická citlivosť - stupnica kyslosti
Škála chemických reakcií prostredia, takzvaná škála kyslosti, je tiež veľmi blízka magnitúdovej škále. Pripomínam, že hodnota pH, známa školákom a všetkým, ktorí používajú kozmetiku, sa určuje podľa vzťahu: pH = – log, kde je koncentrácia kladných vodíkových iónov v roztoku. V tomto prípade sa za nulový bod považuje čistá voda pri izbovej teplote (neutrálne prostredie), ktoré má =10 –7. Ďalej, ako sa zvyšuje kyslosť, hodnota pH klesá - čo nie je stupnica veľkosti? Čím vyššia je kyslosť, tým nižšia je hodnota indexu, len základňa logaritmu nie je 2,512... (ako pri hviezdnych magnitúdach), ale 10.
Ako viete, prvými chemickými indikátormi boli naše chuťové poháriky, ktoré dnes využívajú len kuchári, no v minulosti ich používali aj chemici. Preto nie je prekvapujúce, že sa v chémii objavila logaritmická koncentračná stupnica: fungoval Weber-Fechnerov zákon, ktorému sa riadia všetky naše zmysly vrátane chuťových orgánov.
Vnímanie psychických javov – škála emócií
Na niekoľkých príkladoch uvidíme, že nielen fyziologické, ale aj mentálne škály, ktoré určujú silu našich emócií, majú tiež logaritmickú povahu: pre naše subjektívne hodnotenie dojmu, ktorý na nás pôsobí, si podvedome vyberáme „kroky“ vo forme geometrický postup.
Ako známy príklad začnime „Landauovou stupnicou“, podľa ktorej náš slávny fyzik hodnotil zásluhy svojich kolegov. Takto na to spomína akademik V.L. Ginzburg: „... Landau mal v oblasti fyziky „záslužnú škálu“. Škála bola logaritmická (trieda 2 mala 10-krát menšie úspechy ako trieda 1). Z fyzikov nášho storočia mal iba Einstein triedu 0,5 vrátane Bohra, Diraca, Heisenberga a mnohých ďalších...“
Iní študenti veľkého fyzika hovoria o Landauovej stupnici trochu inak: „Landau pridelil „hviezdne“ čísla veľkým fyzikom na celom svete. Viete, že hviezda prvej veľkosti je veľmi jasná hviezda, hviezda druhej veľkosti je menej jasná atď. Landau priradil polovicu hodnoty Einsteinovi, Bohrovi a Newtonovi – 0,5. Dirac, Heisenberg sú hviezdy prvej veľkosti. Priradil si druhú hodnotu.“
Zostáva nejasné, či je logaritmus založený na akom základe - 10 alebo 2,512... - Lev Landau použil na určenie úrovne geniality teoretických fyzikov. Len jedna vec je istá: na tieto čisto emocionálne, subjektívne hodnotenia použil logaritmickú škálu.
Už som si všimol, že v každodennom živote často používame aj logaritmickú stupnicu. Príklady možno uvádzať dlho. Bohatých teda delíme na milionárov a miliardárov. Mestá delíme podľa počtu obyvateľov na milión a stotisíc ľudí. Pri nákupe potravín v obchode sa snažíme ušetriť rubľov, ale pri premýšľaní o kúpe novej chladničky alebo televízora venujeme pozornosť iba stovkám rubľov. Podobne ako v prípade fyziologických škál, aj v každodenných emocionálnych otázkach vnímame nie absolútny, ale relatívny rozdiel. Okrem toho sa pre nás stáva zreteľným a významným, keď presiahne niekoľko percent nameranej hodnoty. Zdá sa, že citlivosť nášho „merača emócií“ je blízka citlivosti oka, ucha a iných fyziologických receptorov.
Zoberme si jednu z „emocionálnych“ škál navrhnutých v posledných rokoch.
Stupnice nebezpečnosti asteroidov v Turíne a Palerme
Vo všeobecnosti je Binzelova stupnica podobná Richterovej stupnici, ktorú používajú seizmológovia na označenie uvoľňovania energie pri zemetraseniach. Oba sú pre laikov celkom pochopiteľné, čo je ich nepochybným prínosom. Turínska stupnica umožňuje zaradiť asteroidy a iné nebeské telesá (s prihliadnutím na ich veľkosť a rýchlosť vzhľadom na našu planétu) do 11 stupňov nebezpečenstva pre pozemšťanov. Zohľadňuje nielen pravdepodobnosť zrážky asteroidu so Zemou, ale aj potenciálne zničenie, ktoré by katastrofa mohla spôsobiť.
Ako je zrejmé z tabuľky, kategória nula zahŕňa tie objekty, o ktorých môžeme s istotou povedať, že nedosiahnu povrch Zeme; k prvým - tým, ktoré si stále zaslúžia starostlivé sledovanie; Druhá, tretia a štvrtá zahŕňajú menšie planéty, ktoré vyvolávajú oprávnené obavy. Do piatej až siedmej kategórie patria telesá, ktoré jednoznačne ohrozujú Zem a objekty z posledných troch budú nepochybne kolidovať s našou planétou a dôsledky pre jej biosféru môžu byť lokálne, regionálne alebo globálne. Turínska stupnica sa osvedčila pri klasifikácii a vysvetľovaní verejnosti možné následky vesmírne kolízie. Aj keď neobsahuje jasné kvantitatívne kritériá, stále si môžete všimnúť, že s prechodom k ďalšiemu bodu sa emocionálne napätie zvyšuje „rádovo“.
Tabuľka. Turínska stupnica nebezpečenstva zrážky Zeme s asteroidmi a kométami
Hodnotenie nebezpečnosti objektu | Bod | Stručný popis |
Bezpečný | 0 | Pravdepodobnosť kolízie v najbližších desaťročiach je nulová. Do tejto kategórie patria aj kolízie Zeme s objektmi, ktoré zhoria v atmosfére skôr, ako sa dostanú na povrch. |
Oplatí sa pozorne sledovať | 1 | Pravdepodobnosť kolízie je extrémne nízka. S najväčšou pravdepodobnosťou sa takéto telesá v najbližších desaťročiach nestretnú so Zemou |
Spôsobuje obavy | 2 | Pravdepodobnosť kolízie je nízka, hoci telo poletí celkom blízko. Takéto udalosti sa stávajú často |
3 | Pravdepodobnosť zrážky s telesom schopným spôsobiť lokálnu deštrukciu je najmenej 1% | |
4 | Pravdepodobnosť zrážky s telesom schopným spôsobiť regionálnu deštrukciu je viac ako 1% | |
Jednoznačne hrozivé | 5 | Pravdepodobnosť zrážky s telesom schopným spôsobiť katastrofu v regionálnom meradle je veľmi vysoká |
6 | To isté – s pravdepodobnými globálnymi dôsledkami | |
7 | To isté – s nevyhnutnými globálnymi dôsledkami | |
Kolízia je nevyhnutná | 8 | Pravdepodobnosť katastrofických miestnych udalostí je jedna za 50-1000 rokov |
9 | Pravdepodobnosť katastrofických miestnych udalostí je jedna za 1000-100 000 rokov | |
10 | Pravdepodobnosť globálnej katastrofy (so zmenou klímy na planéte) je najmenej jedna udalosť za 100 000 rokov |
Kvantitatívne sa to potvrdilo v nedávno zverejnenej profesionálnej verzii Turínskej stupnice s názvom Palermo Technical Impact Hazard Scale. Namiesto bodov používa spojitý index PS (z Palermskej škály), definovaný ako logaritmus pomeru očakávanej pravdepodobnosti kolízie s konkrétnym objektom v odhadovanom časovom intervale k pravdepodobnosti pozadia kolízie s podobnými objektmi počas v rovnakom čase. Stupeň strachu z nebezpečenstva meteoritu má teda aj logaritmický charakter.
Ako vidíme, logaritmický zákon, ktorý je súčasťou ľudskej fyziológie a psychiky, rozširuje dynamický rozsah našich zmyslov, otupuje ich reakciu na silné podnety a tým posúva prah bolesti. Je zrejmé, že po milióny rokov to prispievalo k prežitiu druhu Homo sapiens. Otázkou je, či sa táto vlastnosť našej psychiky nestane ľudstvu v modernej dobe osudnou.
Partnerské novinky