Q v progresii. Geometrická progresia

Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti je veľmi jednoduchý. Aj významom, aj celkovým vzhľadom. Ale na vzorci n-tého členu sú všetky druhy problémov - od veľmi primitívnych až po dosť vážne. A v procese nášho zoznámenia určite zvážime oboje. Tak sa zoznámime?)

Takže na začiatok vlastne vzorecn

Tu je:

b n = b 1 · qn -1

Vzorec je len vzorec, nič nadprirodzené. Vyzerá ešte jednoduchšie a kompaktnejšie ako podobný vzorec. Význam vzorca je tiež jednoduchý ako plstené čižmy.

Tento vzorec vám umožňuje nájsť AKÝKOĽVEK člen geometrickej progresie PODĽA JEHO ČÍSLA " n".

Ako vidíte, význam je úplne analogický s aritmetická progresia. Poznáme číslo n – pod toto číslo môžeme spočítať aj člen. Ktorý chceme. Bez opakovaného násobenia "q" mnohokrát, mnohokrát. To je celá pointa.)

Chápem, že na tejto úrovni práce s postupmi by vám už mali byť jasné všetky množstvá zahrnuté vo vzorci, no aj tak považujem za svoju povinnosť každé rozlúštiť. Keby niečo.

Takže poďme:

b 1 – najprv termín geometrickej progresie;

q – ;

n– členské číslo;

b n – n-tý (nth) termín geometrickej progresie.

Tento vzorec spája štyri hlavné parametre akejkoľvek geometrickej progresie - bn, b 1 , q A n. A všetky problémy s progresiou sa točia okolo týchto štyroch kľúčových postáv.

"Ako sa to odstraňuje?"– Počujem zvedavú otázku... Základná! Pozri!

Čo sa rovná druhýčlen progresu? Žiaden problém! Píšeme priamo:

b2 = b1 ·q

A čo tretí člen? Tiež nie je problém! Vynásobíme druhý člen ešte raz naq.

Páči sa ti to:

B3 = b2 q

Pripomeňme si teraz, že druhý člen sa rovná b 1 ·q a dosaďte tento výraz do našej rovnosti:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dostaneme:

B 3 = b1 ·q 2

Teraz si prečítajte náš záznam v ruštine: tretíčlenom rovná prvémučlen vynásobený q in druhý stupňa. Máš to? Ešte nie? Dobre, ešte jeden krok.

Aký je štvrtý termín? Všetky rovnaké! Vynásobte predchádzajúce(t. j. tretí termín) dňa q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Celkom:

B 4 = b1 ·q 3

A opäť prekladáme do ruštiny: štvrtýčlen sa rovná prvému členu vynásobenému q in tretí stupňa.

A tak ďalej. Ako to teda je? Zachytili ste vzor? Áno! Pre každý člen s ľubovoľným číslom bude počet rovnakých faktorov q (t. j. stupeň menovateľa) vždy o jeden menej ako je počet požadovaného členan.

Preto bude náš vzorec bez variácií:

b n =b 1 · qn -1

To je všetko.)

No, poďme vyriešiť problémy, myslím?)

Riešenie problémov so vzorcomnčlen geometrickej progresie.

Začnime ako obvykle priamou aplikáciou vzorca. Tu je typický problém:

Pri geometrickom postupe je známe, že b 1 = 512 a q = -1/2. Nájdite desiaty termín postupu.

Samozrejme, tento problém sa dá vyriešiť úplne bez vzorcov. Priamo v zmysle geometrickej progresie. Ale musíme sa zahriať vzorcom pre n-tý termín, však? Tu sa rozcvičujeme.

Naše údaje na použitie vzorca sú nasledovné.

Prvý člen je známy. Toto je 512.

b 1 = 512.

Známy je aj menovateľ progresie: q = -1/2.

Zostáva len zistiť, aký je počet členov n. Žiaden problém! Máme záujem o desiaty termín? Takže nahrádzame všeobecný vzorec desať namiesto n.

A starostlivo vypočítajte aritmetiku:

odpoveď: -1

Ako vidíte, desiaty termín progresie dopadol ako mínus. Nič prekvapivé: náš menovateľ progresie je -1/2, t.j. negatívnečíslo. A to nám hovorí, že príznaky našej progresie sa striedajú, áno.)

Všetko je tu jednoduché. Tu je podobný problém, ale trochu komplikovanejší z hľadiska výpočtov.

Pri geometrickom postupe je známe, že:

b 1 = 3

Nájdite trinásty termín postupu.

Všetko je po starom, len tentoraz je menovateľom postup iracionálny. Koreň dvoch. No to je v poriadku. Vzorec je univerzálna vec, ktorá zvládne akékoľvek čísla.

Pracujeme priamo podľa vzorca:

Vzorec samozrejme fungoval tak, ako mal, ale... tu sa niektorí zasekli. Čo ďalej robiť s koreňom? Ako pozdvihnúť koreň do dvanástej moci?

Ako-ako... Musíte pochopiť, že akýkoľvek vzorec je, samozrejme, dobrá vec, ale znalosť všetkej predchádzajúcej matematiky nie je zrušená! Ako stavať? Áno, pamätajte na vlastnosti stupňov! Premeníme koreň na zlomkový stupeň a – podľa vzorca pre zvýšenie stupňa na stupeň.

Páči sa ti to:

odpoveď: 192

A to je všetko.)

Aký je hlavný problém pri priamom použití vzorca n-tého členu? Áno! Hlavnou ťažkosťou je práca s titulmi! Totiž zvýšenie záporných čísel, zlomkov, odmocničiek a podobných konštrukcií na mocniny. Takže tí, ktorí s tým majú problémy, zopakujte stupne a ich vlastnosti! Inak spomalíš aj túto tému, áno...)

Teraz poďme vyriešiť typické problémy vyhľadávania jeden z prvkov vzorca, ak sú dané všetky ostatné. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je recept jednotný a strašne jednoduchý - napíš vzorecnčlen v všeobecný pohľad! Hneď v zošite vedľa stavu. A potom zo stavu zistíme, čo nám je dané a čo chýba. A zo vzorca vyjadríme požadovanú hodnotu. Všetky!

Napríklad taký neškodný problém.

Piaty člen geometrickej postupnosti s menovateľom 3 je 567. Nájdite prvý člen tejto postupnosti.

Nič zložité. Pracujeme priamo podľa kúzla.

Napíšme vzorec pre n-tý člen!

b n = b 1 · qn -1

Čo sme dostali? Najprv je daný menovateľ progresie: q = 3.

Navyše nám je dané piaty člen: b 5 = 567 .

všetky? Nie! Dostali sme aj číslo n! Toto je päť: n = 5.

Dúfam, že ste už pochopili, čo je na nahrávke b 5 = 567 dva parametre sú skryté naraz - toto je samotný piaty výraz (567) a jeho číslo (5). Už som o tom hovoril v podobnej lekcii, ale myslím, že to stojí za zmienku aj tu.)

Teraz dosadíme naše údaje do vzorca:

567 = b 1 ·3 5-1

Robíme aritmetiku, zjednodušujeme a získame niečo jednoduché lineárna rovnica:

81 b 1 = 567

Riešime a dostaneme:

b 1 = 7

Ako vidíte, s nájdením prvého termínu nie sú žiadne problémy. Ale pri hľadaní menovateľa q a čísla n Môžu nastať aj prekvapenia. A tiež musíte byť na ne pripravení (prekvapenia), áno.)

Napríklad tento problém:

Piaty člen geometrickej postupnosti s kladným menovateľom je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

Tentoraz dostaneme prvý a piaty termín a požiadame, aby sme našli menovateľa postupu. Ideme na to.

Napíšeme vzorecnčlen!

b n = b 1 · qn -1

Naše počiatočné údaje budú nasledovné:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Chýbajúca hodnota q. Žiaden problém! Poďme to nájsť.) Do vzorca dosadíme všetko, čo vieme.

Dostaneme:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednoduchá rovnica štvrtého stupňa. A teraz - opatrne! V tejto fáze riešenia mnohí študenti okamžite s radosťou vytiahnu koreň (štvrtého stupňa) a dostanú odpoveď q=3 .

Páči sa ti to:

q4 = 81

q = 3

Ale v skutočnosti je to nedokončená odpoveď. Presnejšie, neúplné. prečo? Ide o to, že odpoveď q = -3 vhodné aj: (-3) 4 bude tiež 81!

Je to kvôli mocenskej rovnici x n = a vždy má dva protiľahlé korene pri dokoncan . S plusom a mínusom:

Obe sú vhodné.

Napríklad pri rozhodovaní (t.j. druhý stupne)

x 2 = 9

Z nejakého dôvodu nie ste prekvapení vzhľadom dva korene x=±3? Tu je to rovnaké. A s akoukoľvek inou dokonca stupňa (štvrtého, šiesteho, desiateho atď.) budú rovnaké. Podrobnosti sú v téme o

Preto správne riešenie bude takto:

q 4 = 81

q= ±3

Dobre, vyriešili sme znamenia. Ktorá je správna - plus alebo mínus? Nuž, prečítajme si vyhlásenie o probléme znova pri hľadaní Ďalšie informácie. Samozrejme, nemusí existovať, ale v tomto probléme takéto informácie k dispozícii. Naša podmienka uvádza v čistom texte, že postup je daný s kladný menovateľ.

Preto je odpoveď jasná:

q = 3

Všetko je tu jednoduché. Čo si myslíte, že by sa stalo, keby problémové vyhlásenie bolo takéto:

Piaty člen geometrickej postupnosti je 162 a prvý člen tejto postupnosti je 2. Nájdite menovateľa postupnosti.

V čom je rozdiel? Áno! V stave Nič o znaku menovateľa sa nehovorí. Ani priamo, ani nepriamo. A tu by už problém nastal dve riešenia!

q = 3 A q = -3

Áno áno! Aj s plusom aj s mínusom.) Matematicky by tento fakt znamenal, že existujú dve progresie, ktoré zodpovedajú podmienkam problému. A každý má svojho menovateľa. Len pre zábavu si precvičte a napíšte prvých päť termínov každého z nich.)

Teraz si precvičme hľadanie čísla člena. Tento problém je najťažší, áno. Ale aj kreatívnejší.)

Vzhľadom na geometrický priebeh:

3; 6; 12; 24; …

Aké číslo v tomto postupe je číslo 768?

Prvý krok je stále rovnaký: napíš vzorecnčlen!

b n = b 1 · qn -1

A teraz, ako obvykle, do nej dosadíme údaje, ktoré poznáme. Hm... nejde to! Kde je prvý termín, kde je menovateľ, kde je všetko ostatné?!

Kde, kde... Prečo potrebujeme oči? Mlátenie mihalníc? Tentoraz nám je postup daný priamo vo formulári sekvencie. Môžeme vidieť prvého člena? Vidíme! Toto je trojica (b 1 = 3). A čo menovateľ? Zatiaľ to nevidíme, ale je veľmi ľahké to spočítať. Ak, samozrejme, rozumiete...

Takže počítame. Priamo podľa významu geometrickej postupnosti: vezmeme ktorýkoľvek z jej členov (okrem prvého) a vydelíme predchádzajúcim.

Aspoň takto:

q = 24/12 = 2

Čo ešte vieme? Tiež poznáme nejaký člen tejto postupnosti, rovný 768. Pod nejakým číslom n:

b n = 768

Nepoznáme jeho číslo, ale našou úlohou je presne ho nájsť.) Takže hľadáme. Všetky potrebné údaje na dosadzovanie sme už stiahli do vzorca. Bez vedomia seba samého.)

Tu nahrádzame:

768 = 3 2n -1

Urobme tie elementárne – vydeľme obe strany tromi a prepíšme rovnicu do zaužívaného tvaru: neznáma je vľavo, známa je vpravo.

Dostaneme:

2 n -1 = 256

Toto je zaujímavá rovnica. Musíme nájsť "n". Čo, nezvyčajné? Áno, nehádam sa. V skutočnosti je to tá najjednoduchšia vec. Nazýva sa tak, pretože neznáma (v tomto prípade je to číslo n) náklady v indikátor stupňa.

Vo fáze oboznamovania sa s geometrickým postupom (toto je deviaty ročník) exponenciálne rovnice Neučia ťa, ako sa rozhodnúť, áno... Toto je téma pre strednú školu. Ale nie je tam nič strašidelné. Aj keď neviete, ako sa takéto rovnice riešia, skúsme nájsť naše n, riadený jednoduchou logikou a zdravým rozumom.

Začnime sa rozprávať. Na ľavej strane máme dvojku do určitej miery. Zatiaľ nevieme, čo presne je tento stupeň, ale to nie je strašidelné. S istotou však vieme, že tento stupeň sa rovná 256! Takže si pamätáme, do akej miery nám dvojka dáva 256. Pamätáte si? Áno! IN ôsmy stupňa!

256 = 2 8

Ak si nepamätáte alebo máte problémy s rozpoznávaním stupňov, potom je to v poriadku: postupne odmocňujeme dva, kocku, štvrtú, piatu atď. Výber, v skutočnosti, ale na tejto úrovni bude fungovať celkom dobre.

Tak či onak dostaneme:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Takže 768 je deviatyčlenom našej progresie. To je všetko, problém vyriešený.)

odpoveď: 9

Čo? nuda? Ste unavení zo základných vecí? Súhlasím. A ja tiež. Poďme na ďalšiu úroveň.)

Zložitejšie úlohy.

Teraz poďme riešiť náročnejšie problémy. Nie sú úplne super, ale také, ktoré vyžadujú trochu práce, aby ste sa dostali k odpovedi.

Napríklad tento.

Nájdite druhý člen geometrickej postupnosti, ak jej štvrtý člen je -24 a siedmy člen je 192.

Toto je klasika žánru. Niektoré dva rôzne termíny progresie sú známe, ale je potrebné nájsť iný termín. Navyše všetci členovia NIE SÚ susedia. Čo je na prvý pohľad mätúce, áno...

Rovnako ako v prípade riešenia takýchto problémov zvážime dve metódy. Prvá metóda je univerzálna. Algebraické. Funguje bezchybne s akýmikoľvek zdrojovými údajmi. Takže tam začneme.)

Každý výraz opíšeme podľa vzorca nčlen!

Všetko je úplne rovnaké ako pri aritmetickom postupe. Iba tentoraz pracujeme ďalší všeobecný vzorec. To je všetko.) Ale podstata je rovnaká: berieme a jeden za druhým Naše počiatočné údaje dosadíme do vzorca pre n-tý člen. Pre každého člena - ich vlastné.

Pre štvrtý termín píšeme:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jedzte. Jedna rovnica je pripravená.

Pre siedmy termín píšeme:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Celkovo sme dostali dve rovnice pre rovnaký progres .

Z nich zostavíme systém:

Napriek hrozivému vzhľadu je systém celkom jednoduchý. Najzrejmejším riešením je jednoduchá náhrada. Vyjadrujeme sa b 1 z hornej rovnice a dosaďte ju do spodnej:

Keď sa trochu pohráme so spodnou rovnicou (znížením mocnín a vydelením -24), dostaneme:

q 3 = -8

Mimochodom, k tej istej rovnici sa dá prísť aj jednoduchším spôsobom! Ktorý? Teraz vám ukážem ďalšie tajomstvo, ale veľmi krásne, silné a užitočným spôsobom riešenia pre takéto systémy. Takéto systémy, ktorých rovnice zahŕňajú iba funguje. Aspoň v jednom. Volaný metóda delenia jedna rovnica k druhej.

Takže máme pred sebou systém:

V oboch rovniciach vľavo - práca a na pravej strane je len číslo. Toto je veľmi dobré znamenie.) Zoberme si to a... vydeľme, povedzme, spodnú rovnicu hornou! Čo znamená, vydelíme jednu rovnicu druhou? Veľmi jednoduché. Vezmime si to ľavá strana jedna rovnica (nižšia) a rozdeliť ju na ľavá strana iná rovnica (horná). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnica rozdeliť na pravá stranaďalší.

Celý proces rozdelenia vyzerá takto:

Teraz, keď znížime všetko, čo sa dá znížiť, dostaneme:

q 3 = -8

Čo je na tejto metóde dobré? Áno, pretože v procese takéhoto delenia možno všetko zlé a nepohodlné bezpečne znížiť a zostáva úplne neškodná rovnica! To je dôvod, prečo je také dôležité mať iba násobenie aspoň v jednej z rovníc systému. Neexistuje násobenie - nie je čo zmenšovať, áno...

Vo všeobecnosti si táto metóda (ako mnohé iné netriviálne metódy riešenia systémov) dokonca zaslúži samostatnú lekciu. Určite sa na to pozriem podrobnejšie. Jedného dňa…

Nezáleží však na tom, ako presne systém vyriešite, v každom prípade teraz musíme vyriešiť výslednú rovnicu:

q 3 = -8

Žiadny problém: extrahujte koreň kocky a máte hotovo!

Upozorňujeme, že pri extrakcii tu nie je potrebné dávať plus/mínus. Náš koreň je nepárneho (tretieho) stupňa. A odpoveď je rovnaká, áno.)

Takže menovateľ progresie bol nájdený. Mínus dva. Skvelé! Proces prebieha.)

Pre prvý člen (povedzme z hornej rovnice) dostaneme:

Skvelé! Poznáme prvý člen, poznáme menovateľa. A teraz máme možnosť nájsť ktoréhokoľvek člena progresie. Vrátane toho druhého.)

Pre druhý termín je všetko celkom jednoduché:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odpoveď: -6

Takže sme rozobrali algebraickú metódu riešenia problému. ťažké? Nie naozaj, súhlasím. Dlhé a únavné? Rozhodne áno. Ale niekedy môžete výrazne znížiť množstvo práce. Pre toto existuje grafická metóda. Staré dobré a známe.)

Nakreslíme problém!

Áno! presne tak. Opäť znázorňujeme náš postup na číselnej osi. Nie je potrebné riadiť sa pravítkom, nie je potrebné udržiavať rovnaké intervaly medzi členmi (ktoré, mimochodom, nebudú rovnaké, pretože postup je geometrický!), ale jednoducho schematicky Nakreslíme našu postupnosť.

Mám to takto:

Teraz sa pozrite na obrázok a zistite to. Koľko rovnakých faktorov "q" oddeľuje štvrtý A siedmyčlenov? Presne tak, tri!

Preto máme plné právo napísať:

-24·q 3 = 192

Odtiaľto je teraz ľahké nájsť q:

q 3 = -8

q = -2

To je skvelé, menovateľa už máme vo vrecku. Teraz sa znova pozrime na obrázok: koľko takýchto menovateľov je medzi nimi druhý A štvrtýčlenov? Dva! Preto, aby sme zaznamenali súvislosť medzi týmito pojmami, zostrojíme menovateľ štvorec.

Takže píšeme:

b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2

Náš nájdený menovateľ dosadíme do výrazu pre b 2, spočítame a dostaneme:

Odpoveď: -6

Ako vidíte, všetko je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie ako cez systém. Navyše, tu sme vôbec nemuseli počítať prvý termín! Vôbec.)

Tu je taký jednoduchý a vizuálny spôsob svetla. Má to však aj vážnu nevýhodu. Uhádli ste to? Áno! Je to dobré len pre veľmi krátke úseky progresie. Tie, kde vzdialenosti medzi členmi, ktoré nás zaujímajú, nie sú príliš veľké. Ale vo všetkých ostatných prípadoch je už ťažké nakresliť obrázok, áno... Potom problém riešime analyticky, cez systém.) A systémy sú univerzálne veci. Poradia si s akýmikoľvek číslami.

Ďalšia epická výzva:

Druhý člen geometrickej progresie je o 10 viac ako prvý a tretí člen je o 30 viac ako druhý. Nájdite menovateľa postupu.

Čo, v pohode? Vôbec nie! Všetky rovnaké. Opäť preložíme problémový výrok do čistej algebry.

1) Každý výraz opíšeme podľa vzorca nčlen!

Druhý člen: b 2 = b 1 q

Tretí člen: b 3 = b 1 q 2

2) Spojenie medzi členmi zapíšeme z problémového výkazu.

Čítame podmienku: "Druhý člen geometrickej progresie je o 10 väčší ako prvý." Prestaň, toto je cenné!

Takže píšeme:

b 2 = b 1 +10

A túto frázu preložíme do čistej matematiky:

b 3 = b 2 +30

Dostali sme dve rovnice. Spojme ich do systému:

Systém vyzerá jednoducho. Ale existuje príliš veľa rôznych indexov pre písmená. Nahraďte namiesto druhého a tretieho termínu ich vyjadrenia cez prvý člen a menovateľ! Bolo to márne, že sme ich maľovali?

Dostaneme:

Ale taký systém už nie je dar, to áno... Ako to vyriešiť? Bohužiaľ neexistuje žiadne univerzálne tajné kúzlo na riešenie komplexov nelineárne V matematike systémy neexistujú a ani nemôžu byť. To je fantastické! Prvá vec, ktorá by vás však mala napadnúť pri pokuse o rozlúsknutie takéhoto tvrdého orieška, je prísť na to Nie je však jedna z rovníc systému redukovateľná na nádherný výhľad, čo umožňuje napríklad jednoducho vyjadriť jednu z premenných v termínoch inej?

Poďme na to. Prvá rovnica systému je jednoznačne jednoduchšia ako druhá. Budeme ho mučiť.) Nemali by sme to skúsiť z prvej rovnice niečo vyjadriť cez niečo? Keďže chceme nájsť menovateľa q, vtedy by bolo pre nás najvýhodnejšie vyjadriť b 1 cez q.

Skúsme teda urobiť tento postup s prvou rovnicou, pričom použijeme tie staré dobré:

b1q = b1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b1 (q-1) = 10

Všetky! Tak sme sa vyjadrili zbytočné dajte nám premennú (b 1) cez nevyhnutné(q). Áno, nie je to najjednoduchší výraz, aký máme. Nejaký zlomok... Ale náš systém je na slušnej úrovni, áno.)

Typické. Vieme, čo robiť.

Píšeme ODZ (Nevyhnutne!) :

q ≠ 1

Všetko vynásobíme menovateľom (q-1) a zrušíme všetky zlomky:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Všetko rozdelíme desiatimi, otvoríme zátvorky a zhromaždíme všetko zľava:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Vyriešime výsledok a získame dva korene:

q 1 = 1

q 2 = 3

Existuje len jedna konečná odpoveď: q = 3 .

odpoveď: 3

Ako vidíte, cesta k riešeniu väčšiny problémov zahŕňajúcich vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je vždy rovnaká: prečítajte si pozorne stav problému a pomocou vzorca n-tého členu preložíme celé užitočná informácia do čistej algebry.

menovite:

1) Každý výraz uvedený v úlohe popíšeme samostatne podľa vzorcančlen.

2) Z podmienok úlohy prevedieme spojenie medzi členmi do matematického tvaru. Zostavíme rovnicu alebo sústavu rovníc.

3) Vyriešime výslednú rovnicu alebo sústavu rovníc, nájdeme neznáme parametre postupu.

4) V prípade nejednoznačnej odpovede si pozorne prečítajte vyhlásenie o probléme a vyhľadajte ďalšie informácie (ak nejaké existujú). Prijatú odpoveď tiež skontrolujeme s podmienkami DL (ak existujú).

Teraz si poďme vymenovať hlavné problémy, ktoré najčastejšie vedú k chybám v procese riešenia problémov geometrickej progresie.

1. Základná aritmetika. Operácie so zlomkami a zápornými číslami.

2. Ak sa vyskytnú problémy aspoň s jedným z týchto troch bodov, potom sa v tejto téme nevyhnutne dopustíte chýb. Bohužiaľ... Nebuďte preto leniví a zopakujte to, čo bolo spomenuté vyššie. A postupujte podľa odkazov - choďte. Niekedy to pomôže.)

Upravené a opakujúce sa vzorce.

Teraz sa pozrime na niekoľko typických problémov so skúškami s menej známou prezentáciou stavu. Áno, áno, uhádli ste! Toto upravené A opakujúci vzorce n-tého členu. S takýmito vzorcami sme sa už stretli a pracovali sme na aritmetickom postupe. Všetko je tu podobné. Podstata je rovnaká.

Napríklad tento problém z OGE:

Geometrická progresia daný vzorcom b n = 32 n . Nájdite súčet jeho prvého a štvrtého členu.

Tentoraz nie je u nás postup celkom ako obvykle. Vo forme akéhosi vzorca. No a čo? Tento vzorec je aj vzorecnčlen! Vy a ja vieme, že vzorec pre n-tý člen môže byť napísaný vo všeobecnej forme pomocou písmen a pre špecifická progresia. S špecifické prvý termín a menovateľ.

V našom prípade sme v skutočnosti dostali všeobecný termínový vzorec pre geometrickú postupnosť s nasledujúcimi parametrami:

b 1 = 6

q = 2

Skontrolujeme?) Zapíšme si vzorec pre n-tý člen vo všeobecnom tvare a dosaďte ho do b 1 A q. Dostaneme:

b n = b 1 · qn -1

b n= 62n -1

Zjednodušíme pomocou faktorizácie a vlastností mocnín a dostaneme:

b n= 62n -1 = 3,2,2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Ako vidíte, všetko je fér. Naším cieľom však nie je demonštrovať záver špecifický vzorec. Toto je taká lyrická odbočka. Čisto pre pochopenie.) Naším cieľom je vyriešiť problém podľa vzorca, ktorý nám je daný v podmienke. Chápete to?) Takže pracujeme priamo s upraveným vzorcom.

Počítame prvý termín. Poďme nahradiť n=1 do všeobecného vzorca:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Páči sa ti to. Mimochodom, nebudem lenivý a ešte raz vás upozorním na typickú chybu pri výpočte prvého termínu. NIE, pri pohľade na vzorec b n= 32n, hneď sa ponáhľaj napísať, že prvý termín je trojka! To je hrubá chyba, áno...)

Pokračujme. Poďme nahradiť n=4 a počítajte štvrtý člen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

A nakoniec vypočítame požadované množstvo:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

odpoveď: 54

Iný problém.

Geometrická postupnosť je určená podmienkami:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Nájdite štvrtý termín postupu.

Tu je progresia daná opakujúcim sa vzorcom. No dobre.) Ako pracovať s týmto vzorcom – aj my vieme.

Takže konáme. Krok za krokom.

1) Počítajte dva po sebe idúcichčlen progresu.

Prvý termín nám už bol daný. Mínus sedem. Ale ďalší, druhý termín sa dá ľahko vypočítať pomocou vzorca opakovania. Ak rozumiete princípu jeho fungovania, samozrejme.)

Počítame teda druhý termín podľa známeho prvého:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Vypočítajte menovateľa progresie

Tiež žiadny problém. Rovno, rozdeľme sa druhýčurák na najprv.

Dostaneme:

q = -21/(-7) = 3

3) Napíšte vzorecnčlen v obvyklom tvare a vypočítajte požadovaný člen.

Takže poznáme prvý výraz a tiež menovateľa. Takže píšeme:

b n= -7,3n -1

b 4 = -7,3 3 = -7,27 = -189

Odpoveď: -189

Ako vidíte, práca s takýmito vzorcami pre geometrickú progresiu sa v podstate nelíši od tej pre aritmetickú progresiu. Dôležité je len pochopiť všeobecnú podstatu a význam týchto vzorcov. Nuž, treba pochopiť aj význam geometrickej progresie, áno.) A potom nebudú žiadne hlúpe chyby.

No, poďme sa rozhodnúť sami?)

Veľmi základné úlohy na zahriatie:

1. Vzhľadom na geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 243, a q = -2/3. Nájdite šiesty termín postupu.

2. Všeobecný člen geometrickej postupnosti je daný vzorcom b n = 5∙2 n +1 . Nájdite číslo posledného trojciferného člena tohto postupu.

3. Geometrická postupnosť je daná podmienkami:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Nájdite piaty termín postupu.

Trochu komplikovanejšie:

4. Daná geometrická postupnosť:

b 1 =2048; q =-0,5

Čomu sa rovná šiesty záporný člen?

Čo sa zdá byť super ťažké? Vôbec nie. Logika a pochopenie významu geometrickej progresie vás zachráni. No, vzorec pre n-tý termín, samozrejme.

5. Tretí člen geometrickej postupnosti je -14 a ôsmy člen je 112. Nájdite menovateľa postupnosti.

6. Súčet prvého a druhého člena geometrickej postupnosti je 75 a súčet druhého a tretieho člena je 150. Nájdite šiesty člen postupnosti.

Odpovede (v neporiadku): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoro všetko. Jediné, čo musíme urobiť, je naučiť sa počítať súčet prvých n členov geometrickej postupnostiáno objaviť nekonečne klesajúca geometrická progresia a jeho množstvo. Mimochodom, veľmi zaujímavá a nezvyčajná vec! Viac o tom v ďalších lekciách.)

Uvažujme o určitej sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. To znamená, že táto séria je progresívna.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z ·q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, kedy sa v škole študuje geometrická postupnosť, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete nastaviť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

• Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrická postupnosť, ktorá sa zvyšuje s každým nasledujúcim prvkom. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

• Ak |q| je menšia ako jedna, to znamená, že násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je postupnosť s podobnými podmienkami klesajúca geometrická postupnosť. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - každý prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

• Striedavý znak. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3, q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Existuje mnoho vzorcov na pohodlné používanie geometrických postupností:

• Z-členný vzorec. Umožňuje vypočítať prvok pod určitým číslom bez počítania predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné započítať štvrtý prvok postupu.

Riešenie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Súčet prvých prvkov, ktorých množstvo sa rovná z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, preto sa q nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola séria nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S5.

Riešenie:S 5 = 22 - výpočet pomocou vzorca.

• Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite sumu.

Riešenie:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

• Charakteristická vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka funguje pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Druhá mocnina ľubovoľného čísla v geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín ľubovoľných dvoch ďalších čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kdet- vzdialenosť medzi týmito číslami.

• Prvkylíšia sa v qraz.
• Logaritmy prvkov progresie tiež tvoria progresiu, ale aritmetickú, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešeniami pre triedu 9.

• Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť inými pomocou menovateľa.

tedaa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

• Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S 6.

Riešenie:Ak to chcete urobiť, stačí nájsť q, prvý prvok a nahradiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , teda,q= 2

a 2 = q · a 1 ,Preto a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Príklad aplikácie:

• Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, podľa ktorej sa klientovi každý rok pripočíta 6 % z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. To znamená, že rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

To znamená, že každý rok sa suma zvýši 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady problémov s výpočtom súčtu:

Geometrická progresia sa používa v rôznych problémoch. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS 5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

Riešenie:

V geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu potrebujete poznať prvoka 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne je potrebné nájsťa 1 , vediaca 2 Aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrická postupnosť je spolu s aritmetickou postupnosťou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa pozrieme na menovateľa geometrickej progresie a na to, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.

Definícia geometrickej progresie

Najprv si dajme definíciu tohto číselného radu. Takáto séria sa nazýva geometrická progresia racionálne čísla, ktorý vzniká postupným násobením jeho prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.

Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickým postupom, pretože ak vynásobíte 3 (prvý prvok) 2, dostanete 6. Ak vynásobíte 6 2, dostanete 12 a tak ďalej.

Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.

Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v matematickom jazyku takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii príslušného číselného radu. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.

Menovateľ geometrickej progresie

Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:

• b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba v absolútnej hodnote, ale zníži sa v závislosti od znamienka čísel.
• b = 1. Tento prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.

Vzorec pre množstvo

Predtým, ako prejdeme k zvažovaniu konkrétnych problémov pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec vyzerá takto: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov postupu. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.

Nekonečne klesajúca sekvencia

Vyššie bolo uvedené vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1

Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.

Teraz sa pozrime na niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétnych číslach.

Úloha č. 1. Výpočet neznámych prvkov progresie a súčtu

Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Čomu sa bude rovnať jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?

Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet čísla prvku n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Použime známy vzorec pre súčet a určme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov radu. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Úloha č. 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov progresie

Nech -2 sa rovná menovateľovi geometrickej postupnosti bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.

Vzniknutý problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známe vzorce. Dá sa to riešiť 2 spôsobmi rôzne metódy. Pre úplnosť prezentácie témy uvádzame obe.

Metóda 1. Myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých výrazov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítame menšie množstvo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame väčší súčet: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, pretože 5. je už zahrnutý v sume, ktorú je potrebné vypočítať podľa podmienok problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi m a n členmi daného radu. Postupujeme úplne rovnako ako pri spôsobe 1, len najskôr pracujeme so symbolickým znázornením sumy. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Úloha č. 3. Aký je menovateľ?

Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.

Na základe podmienok problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, pre súčet progresie nekonečne klesajúci. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva len nahradiť známe hodnoty a získajte požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333(3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie by modul b nemal prekročiť 1. Ako je možné vidieť, |-1 / 3|

Úloha č. 4. Obnovenie série čísel

Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné rekonštruovať celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy výraz. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydeľte druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že vezmeme piaty odmocninec z pomeru pojmov známych z úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Našli sme teda menovateľa progresie bn a geometrickú progresiu bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.

Kde sa používajú geometrické postupnosti?

Ak by neexistovala praktická aplikácia tohto číselného radu, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale taká aplikácia existuje.

Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:

• Zenónov paradox, v ktorom svižný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
• Ak umiestnite pšeničné zrná na každé políčko šachovnice tak, že na 1. políčko dáte 1 zrnko, na 2. - 2, na 3. - 3 atď., potom na vyplnenie všetkých políčok šachovnice budete potrebovať 18446744073709551615 zŕn!
• V hre „Hanojská veža“ je na presun diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne s počtom n použitých diskov.

>>Matematika: Geometrická postupnosť

Pre pohodlie čitateľa je tento odsek zostavený presne podľa toho istého plánu, ktorý sme dodržali v predchádzajúcom odseku.

1. Základné pojmy.

Definícia.Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú odlišné od 0 a ktorej každý člen, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom, sa nazýva geometrická postupnosť. V tomto prípade sa číslo 5 nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Geometrický postup je teda číselná postupnosť (b n) definovaná vzťahmi opakovane

Je možné pozrieť sa na číselnú postupnosť a určiť, či ide o geometrickú postupnosť? Môcť. Ak ste presvedčení, že pomer ktoréhokoľvek člena postupnosti k predchádzajúcemu členu je konštantný, potom máte geometrickú progresiu.
Príklad 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

Príklad 2

Toto je geometrická progresia, ktorá má
Príklad 3

Toto je geometrická progresia, ktorá má
Príklad 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 - 8, q = 1.

Upozorňujeme, že táto postupnosť je tiež aritmetickým postupom (pozri príklad 3 z § 15).

Príklad 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1.

Je zrejmé, že geometrická postupnosť je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q > 1 (pozri príklad 1), a klesajúca postupnosť, ak b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Na označenie, že postupnosť (b n) je geometrická progresia, je niekedy vhodný nasledujúci zápis:

Ikona nahrádza frázu „geometrická progresia“.
Všimnime si jednu kurióznu a zároveň celkom zjavnú vlastnosť geometrickej progresie:
Ak postupnosť je geometrická postupnosť, potom postupnosť štvorcov, t.j. je geometrická progresia.
V druhej geometrickej postupnosti je prvý člen rovný a rovný q 2.
Ak v geometrickej postupnosti zahodíme všetky členy nasledujúce po b n , dostaneme konečnú geometrickú postupnosť
V ďalších odsekoch tejto časti sa budeme zaoberať najdôležitejšími vlastnosťami geometrickej progresie.

2. Vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Zvážte geometrický postup menovateľ q. Máme:

Nie je ťažké uhádnuť, že pre akékoľvek číslo n platí rovnosť

Toto je vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti.

Komentujte.

Ak ste si prečítali dôležitú poznámku z predchádzajúceho odseku a pochopili ste ju, skúste pomocou metódy matematickej indukcie dokázať vzorec (1), rovnako ako to bolo v prípade vzorca pre n-tý člen aritmetickej postupnosti.

Prepíšme vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

a zavedieme zápis: Dostaneme y = mq 2, alebo podrobnejšie,
Argument x je obsiahnutý v exponente, preto sa táto funkcia nazýva exponenciálna funkcia. To znamená, že geometrickú progresiu možno považovať za exponenciálnu funkciu definovanú na množine N prirodzených čísel. Na obr. 96a znázorňuje graf funkcie Obr. 966 - funkčný graf V oboch prípadoch máme izolované body (s úsečkami x = 1, x = 2, x = 3 atď.) ležiace na určitej krivke (oba obrázky znázorňujú rovnakú krivku, len inak umiestnenú a znázornenú v rôzne mierky). Táto krivka sa nazýva exponenciálna krivka. Prečítajte si viac o exponenciálna funkcia a jej grafike sa bude diskutovať na kurze algebry pre 11. ročník.

Vráťme sa k príkladom 1-5 z predchádzajúceho odseku.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú b 1 = 1, q = 3. Vytvorme vzorec pre n-tý člen
2) Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú vytvorte vzorec pre n-tý člen

Toto je geometrická progresia, ktorá má Vytvorme vzorec pre n-tý člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Toto je geometrická postupnosť, pre ktorú b 1 = 8, q = 1. Vytvorme vzorec pre n-tý člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ide o geometrickú postupnosť, v ktorej b 1 = 2, q = -1. Vytvorme vzorec pre n-tý člen

Príklad 6.

Vzhľadom na geometrický priebeh

Vo všetkých prípadoch je riešenie založené na vzorci n-tého člena geometrickej postupnosti

a) Ak do vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti vložíme n = 6, dostaneme

b) Máme

Pretože 512 = 2 9, dostaneme n - 1 = 9, n = 10.

d) Máme

Príklad 7.

Rozdiel medzi siedmym a piatym členom geometrickej postupnosti je 48, súčet piateho a šiesteho člena postupnosti je tiež 48. Nájdite dvanásty člen tejto postupnosti.

Prvé štádium. Zostavenie matematického modelu.

Podmienky problému možno stručne napísať takto:

Pomocou vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti dostaneme:
Potom druhú podmienku úlohy (b 7 - b 5 = 48) možno zapísať ako

Tretiu podmienku úlohy (b 5 + b 6 = 48) možno zapísať ako

Výsledkom je systém dvoch rovníc s dvoma premennými b 1 a q:

čo v kombinácii s podmienkou 1) napísanou vyššie predstavuje matematický model problému.

Druhá fáza.

Práca so zostaveným modelom. Vyrovnaním ľavých strán oboch rovníc systému dostaneme:

(obe strany rovnice sme vydelili nenulovým výrazom b 1 q 4).

Z rovnice q 2 - q - 2 = 0 zistíme q 1 = 2, q 2 = -1. Dosadením hodnoty q = 2 do druhej rovnice sústavy dostaneme
Dosadením hodnoty q = -1 do druhej rovnice sústavy dostaneme b 1 1 0 = 48; táto rovnica nemá riešenia.

Takže, b 1 = 1, q = 2 - táto dvojica je riešením zostaveného systému rovníc.

Teraz môžeme zapísať geometrickú postupnosť o ktorej hovoríme o v úlohe: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Tretia etapa.

Odpoveď na problémovú otázku. Musíte vypočítať b 12. Máme

Odpoveď: b 12 = 2048.

3. Vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť

Označme S n súčet jeho členov, t.j.

Odvoďme vzorec na zistenie tejto sumy.

Začnime od úplného začiatku jednoduchý prípad, keď q = 1. Potom geometrická postupnosť b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn pozostáva z n čísel rovných b 1, t.j. progresia vyzerá ako b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Súčet týchto čísel je nb 1.

Nech teraz q = 1 Na nájdenie S n použijeme umelú techniku: vykonáme niekoľko transformácií výrazu S n q. Máme:

Pri vykonávaní transformácií sme najprv použili definíciu geometrickej progresie, podľa ktorej (pozri tretí riadok uvažovania); po druhé, pridali a ubrali, a preto sa význam výrazu, samozrejme, nezmenil (pozri štvrtý riadok úvahy); po tretie, použili sme vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti:

Zo vzorca (1) zistíme:

Toto je vzorec pre súčet n členov geometrickej postupnosti (pre prípad, keď q = 1).

Príklad 8.

Daná konečná geometrická progresia

a) súčet podmienok postupu; b) súčet druhých mocnín jeho členov.

b) Vyššie (pozri str. 132) sme si už všimli, že ak sú všetky členy geometrickej postupnosti odmocnené, dostaneme geometrickú postupnosť s prvým členom b 2 a menovateľom q 2. Potom sa vypočíta súčet šiestich členov nového postupu

Príklad 9.

Nájdite 8. člen geometrickej postupnosti, pre ktorú

V skutočnosti sme dokázali nasledujúcu vetu.

Číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvej vety (a poslednej, v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov ( charakteristická vlastnosť geometrickej progresie).