Výber koreňov v goniometrických rovniciach na kružnici. Goniometrické rovnice. The Ultimate Guide (2019)

Tento článok môže pomôcť stredoškolákom, ale aj učiteľom pri riešení goniometrických rovníc a výbere koreňov patriacich do určitého intervalu. V závislosti od toho, aké obmedzenia sú dané na získané korene, by ste mali použiť rôzne metódy výber koreňov, to znamená, že musíte použiť metódu, ktorá jasnejšie ukáže správny výsledok.

Zobraziť obsah dokumentu
„SPÔSOBY VÝBERU KOREŇA TRIGONOMETRICKÝCH ROVNIC“

METÓDY VÝBERU KOREŇA TRIGONOMETRICKÝCH ROVNIC

Popova Tatyana Sergeevna, učiteľka matematiky, informatiky, fyziky MCOU BGO Petrovskaya Stredná škola

Jednotná štátna skúška z matematiky zahŕňa úlohy súvisiace s riešením rovníc. Existujú lineárne, kvadratické, racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické a trigonometrické rovnice. Tieto rovnice sú potrebné: po prvé vyriešiť, to znamená nájsť všetky ich riešenia, a po druhé, vybrať korene patriace do jedného alebo druhého intervalu. V tomto článku zvážime príklad riešenia goniometrickej rovnice a výberu jej koreňov rôzne cesty. V závislosti od toho, aké obmedzenia sa vzťahujú na získané korene, by ste mali použiť rôzne metódy na výber koreňov, to znamená, že musíte použiť metódu, ktorá jasnejšie ukáže správny výsledok.

Zvážte tri spôsoby výberu koreňov:

Použitie jednotkového kruhu;

Použitie nerovností;

Pomocou grafu.

Zapnuté konkrétny príklad Pozrime sa na tieto metódy.

Nech je zadaná nasledujúca úloha:

a) Vyriešte rovnicu

b) Označte korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

Najprv vyriešme túto rovnicu:

Pomocou vzorca dvojitého uhla a vzorca duchov dostaneme:

Odtiaľto, resp. Vyriešením každej rovnice dostaneme:

; alebo
.

b) Korene môžete vybrať pomocou jednotkového kruhu (obr. 1), ale deti sú zmätené, pretože daný interval môže byť väčší ako dĺžka kruhu a je ťažké ho znázorniť pri aplikácii na kruh:

Dostaneme čísla:

Môžete použiť metódu nerovnosti. Všimnite si, že ak je daný segment, potom nerovnosť nie je prísna, a ak je to interval, potom je nerovnosť prísna. Poďme skontrolovať každý koreň

Vzhľadom na to, že -3,-2. Dosadením n do koreňového vzorca dostaneme korene ; X=

Podobne nájdeme korene pre,

k- neexistujú žiadne celé,

1, nahradiť do spoločného koreňa

Získali sme presne tie isté korene ako pri použití jednotkového kruhu.

Táto metóda môže byť náročnejšia, ale vlastnú skúsenosť Pri práci na riešení takýchto rovníc a výbere koreňov so žiakmi sme si všimli, že pomocou metódy nerovností školáci robia menej chýb.

Na rovnakom príklade zvážme výber koreňov rovnice pomocou grafu (obr. 2)

Dostávame tiež tri korene:

Musíme deti naučiť používať všetky tri metódy výberu koreňov a potom ich nechať samy rozhodnúť, ktorá metóda je pre nich jednoduchšia a ktorá je bližšia. Správnosť vášho rozhodnutia si môžete overiť aj pomocou rôzne cesty.

Použité knihy:

http://yourtutor.info

http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: Lekcia opakovania, zovšeobecňovania a systematizácie preberanej látky.

Účel lekcie:

• vzdelávacie: upevniť schopnosť vybrať korene goniometrickej rovnice pomocou číselný kruh; povzbudzovať študentov, aby ovládali racionálne techniky a metódy riešenia goniometrických rovníc;
• vyvíja: rozvíjať logické myslenie, schopnosť zdôrazniť hlavnú vec, zovšeobecniť, vyvodiť správne logické závery ;
• vzdelávacie: pestovanie takých charakterových vlastností, ako je vytrvalosť pri dosahovaní cieľa, schopnosť nenechať sa zmiasť v problémovej situácii.

Vybavenie: multimediálny projektor, počítač.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Kontrola pripravenosti na hodinu, pozdrav.

II. Stanovenie cieľov.

Francúzsky spisovateľ Anatole France raz povedal: „...Ak chcete stráviť vedomosti, musíte ich absorbovať s chuťou. Preto sa dnes riaďme touto múdrou radou a nasávajme vedomosti s veľkou túžbou, pretože sa vám budú hodiť v blízkej budúcnosti na Jednotnej štátnej skúške.

Dnes v lekcii budeme pokračovať v precvičovaní zručností výberu koreňov goniometrické rovnice pomocou číselného kruhu. Kruh je vhodné použiť pri výbere koreňov v intervale, ktorého dĺžka nepresahuje 2π, ako aj v prípade, že hodnoty inverznej goniometrické funkcie nie sú tabuľkové. Pri plnení úloh využijeme nielen naštudované metódy a metódy, ale aj neštandardné prístupy.

III. Aktualizácia základných vedomostí.

1. Vyriešte rovnicu: (Snímka 3-5)

a) cosx = 0
b) cosx = 1
c) cosx = - 1
d) sinx = 1
e) sinx = 0
e) sinx = - 1
g) tgx = 1
h) tgx = 0

2. Doplňte prázdne miesta: (Snímka 6)

hriech2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Ukážte nasledujúce segmenty na číselnom kruhu (snímka 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].

4. Aplikovaním Vietovej vety a jej dôsledkov nájdite korene rovníc: (Snímka 8)

t2-2t-3=0; 2t2-3t-3=0; t2+4t-5=0; 2t2+t-l=0; 3t2+7t=4=0; 2t2-3t+1=0

IV. Robiť cvičenia.

(Snímka 9)

Rôzne metódy transformácie trigonometrické výrazy nás núti vybrať si tú racionálnejšiu.

1. Riešte rovnice: (Jeden žiak rieši na tabuli. Ostatní sa zúčastňujú výberu racionálna metóda riešenia a zapíšte si ich do zošita. Učiteľ sleduje správnosť uvažovania žiakov.)

1) 2 sin 3 x-2 sinx + cos 2 x = 0. Označte korene patriace do segmentu [-7π/2; - 2π].

Riešenie.

[-7π/2; -2π]

Dostaneme čísla:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.

odpoveď: a)π /2+ πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.

2) hriech 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Označte korene patriace do segmentu [-π; π/2].

Riešenie.

a) Vydeľte obe strany rovnicecos 2 X=0. Dostaneme:

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[-π; π/2]

Dostaneme čísla:- π+ arctg3 ; -π/4;arctg3.

odpoveď: a) - π /4+ πn, arctg3+ πn, nЄ Z; b) - π+ arctg3 , -π/4,arctg3.

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Označte korene patriace do segmentu [π; 3π].

Riešenie.

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[π; 3π]

Dostaneme čísla: π; 4π/3; 8π/3;3π.

odpoveď: a) π +2 πn, ±2π /3+2 πn, nЄ Z; b)π, 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0.Uveďte korene patriace do segmentu [ 2π;7π/2] .

Riešenie.

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[; 7π/2]

Dostaneme čísla: 9π/4; 3π-arctg5;1 3π/4.

odpoveď: a)π /4+ πn, - arctg5+ πn, nЄ Z; b)9π/4, 3π-arctg5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Označte korene patriace do segmentu [-2π; -π/2].

Riešenie.

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[-2 π; -π/2]

Dostaneme čísla: -5π/3;-π .

odpoveď: a)π +2 πn, ± π /3+2 πn, nЄ Z; b)-5π/3;-π .

2. Pracujte vo dvojiciach: (Dvaja žiaci pracujú na bočných doskách, ostatní v zošitoch. Zadania sa potom skontrolujú a analyzujú.)

Riešte rovnice:

Riešenie.

Zvažujem totgx≠1 atgx>0, Vyberme korene pomocou číselného kruhu.Dostaneme:

X = arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

odpoveď:arccos√2/3+2 πn, nЄ Z.

6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Označte korene patriace do segmentu [-3π/2; - π/2].

Riešenie.

a) 6(cos 2 X- hriech 2 X)-14 cos 2 X-14 cosxsinx=0; 6 cos 2 X-6 hriech 2 X-14 cos 2 X-14 cosxsinx=0;

3 hriech 2 X+7 cosxsinx+4 cos 2 X=0 Vydeľte obe strany rovnice číslomcos 2 x=0. Dostaneme:

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[-3π/2; -π/2]

Dostaneme čísla: -5π /4;- π - arctg4/3.

odpoveď: a)- π /4+ πn, - arctg4/3+ πn, nЄ Z; b)-5π/4, -π - arctg4/3.

3. Samostatná práca . (Po dokončení práce si študenti vymenia zošity a skontrolujú prácu svojho spolužiaka, opravia chyby (ak nejaké sú) perom s červeným atramentom.)

Riešte rovnice:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Označte korene patriace do segmentu [-3π; -2π].

Riešenie.

a) 2(1- hriech 2 X)+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; 2-2 hriech 2 X+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; -2 sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[-3π; -2π].

Dostaneme čísla: -11π /4;-9 π /4.

odpoveď: a) π /2+2 πn, - π /4+2 πn, -3 π /4+2 πn, nЄ Z; b)-11π/4, -9π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Zadajte korene patriace do segmentu

Riešenie.

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu.

Dostaneme čísla: 13π /4;3 π ;4 π .

odpoveď: a)πn, ±3π /4+2 πn, nЄ Z; b) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Označte korene patriace do segmentu [-4π; -5π/2]

Riešenie.

b) Pomocou číselného kruhu vyberte korene patriace do segmentu[-4π;-5π/2].

Dostaneme čísla:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

odpoveď: a)π /2+2 πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, nЄ Z; b)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. Zhrnutie lekcie.

Výber koreňov v goniometrických rovniciach vyžaduje dobrú znalosť vzorcov, schopnosť ich aplikovať v praxi a vyžaduje pozornosť a inteligenciu.

VI. Fáza odrazu.

(Snímka 10)

Vo fáze reflexie sú študenti požiadaní, aby zložili syncwine v poetickej forme

Vyjadrite svoj postoj k študovanému materiálu.

Napríklad:

Kruh.
Numerické, trigonometrické.
Poďme študovať, pochopiť, zaujímať sa.
Prítomnosť na jednotnej štátnej skúške.
Realita.

VII. Domáca úlohae.

1. Vyriešte rovnice:

2. Praktická úloha.

Zostavte dve goniometrické rovnice obsahujúce vzorce s dvojitým argumentom.

VIII. Literatúra.

Jednotná štátna skúška-2013: Matematika: najkompletnejšie vydanie štandardných verzií úloh / autorský kompilát. I.V. Yashchenko, I.R. Vysockij; upravil A.L. Semjonová, I.V. Yashchenko - M.:AST: Astrel, 2013.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Účel lekcie:

1. Zopakujte si vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc.
2. Zvážte tri hlavné metódy výberu koreňov pri riešení goniometrických rovníc:
   výber podľa nerovnosti, výber podľa menovateľa a výber podľa intervalu.

Vybavenie: Multimediálne vybavenie.

Metodický komentár.

1. Upozornite študentov na dôležitosť témy vyučovacej hodiny.
2. Goniometrické rovnice, v ktorých je potrebné vybrať korene, sa často nachádzajú v tematických testoch Jednotnej štátnej skúšky;
   riešenie takýchto problémov umožňuje žiakom upevniť a prehĺbiť si predtým nadobudnuté vedomosti.

Počas vyučovania

Opakovanie. Je užitočné pripomenúť si vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc (screen).

hodnoty	Rovnica	Vzorce na riešenie rovníc
	sinx=a
	sinx=a	pri rovnica nemá riešenia
a=0	sinx=0
a=1	hriech = 1
a = -1	sinx= -1
	cosx=a
	cosx=a	rovnica nemá riešenia
a=0	cosx=0
a=1	cosx = 1
a = -1	cosx = -1
	tgx=a
	ctgx=a

Pri výbere koreňov v goniometrických rovniciach, písanie riešení rovníc sinx=a, сosx=a ako celok je opodstatnenejšia. Presvedčíme sa o tom pri riešení problémov.

Riešenie rovníc.

Úloha. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Táto rovnica je ekvivalentná nasledujúcemu systému

Zvážte kruh. Označme na ňom korene každého systému a označme oblúkom tú časť kruhu, kde je nerovnosť ( ryža. 1)

Ryža. 1

Chápeme to nemôže byť riešením pôvodnej rovnice.

odpoveď:

V tomto probléme sme vybrali korene pomocou nerovnosti.

V ďalšej úlohe vykonáme výber podľa menovateľa. Na tento účel zvolíme korene čitateľa, ale také, aby neboli koreňmi menovateľa.

Úloha 2. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Napíšme riešenie rovnice pomocou postupných ekvivalentných prechodov.

Pri riešení rovnice a nerovnice sústavy dávame do riešenia rôzne písmená, ktoré predstavujú celé čísla. Ako je znázornené na obrázku, označíme na kruhu korene rovnice krúžkami a korene menovateľa krížikmi (obr. 2.)

Ryža. 2

Z obrázku je to jasne vidieť – riešenie pôvodnej rovnice.

Upozorňujeme žiakov na to, že výber koreňov pomocou systému s vynesením príslušných bodov na kružnicu bol jednoduchší.

odpoveď:

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

3sin2x = 10 čos 2 x – 2/

Nájdite všetky korene rovnice patriace do segmentu.

Riešenie. V tomto probléme sú korene vybrané do intervalu, ktorý je určený stavom problému. Výber koreňov do intervalu je možné vykonať dvoma spôsobmi: vyhľadávaním hodnôt premennej pre celé čísla alebo riešením nerovnosti.

V tejto rovnici vyberieme korene prvou metódou a v ďalšej úlohe riešením nerovnosti.

Použime základnú trigonometrickú identitu a vzorec dvojitého uhla pre sínus. Dostaneme rovnicu

6sinxcosx = 10 cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, tie. sin 2 x – 9cos 2 x+ 6sinxcosx = 0

Pretože inak sinx = 0, čo nemôže byť, pretože neexistujú žiadne uhly, pre ktoré by sa sínus aj kosínus rovnal nule hriech 2 x + cos 2 x = 0.

Vydeľme obe strany rovnice čo 2 x. Dostaneme tg 2 x+ 6tgx – 9 = 0/

Nechaj tgx = t, Potom t2 + 6t – 9 = 0, t1 = 2, t2 = –8.

tgx = 2 alebo tg = -8;

Uvažujme každú sériu samostatne, nájdime body vo vnútri intervalu a jeden bod naľavo a napravo od neho.

Ak k=0, To x=arctg2. Tento koreň patrí do uvažovaného intervalu.

Ak k=1, To x=arctg2+. Tento koreň tiež patrí do uvažovaného intervalu.

Ak k=2, To . Je jasné, že tento koreň nepatrí do nášho intervalu.

Zvažovali sme jeden bod napravo od tohto intervalu, takže k=3,4,… sa neberú do úvahy.

Ak k = –1, dostaneme – nepatrí do intervalu .

hodnoty k = –2, –3,… sa neberú do úvahy.

Z tohto radu teda dva korene patria do intervalu

Podobne ako v predchádzajúcom prípade sa presvedčíme, že kedy n = 0 A n = 2, a teda kedy p = –1, –2,…p = 3,4,… dostaneme korene, ktoré nepatria do intervalu. Iba ak n=1 dostaneme , patriaci do tohto intervalu.

odpoveď:

Úloha 4. Vyriešte rovnicu 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 a uveďte korene patriace do intervalu .

Riešenie. Dajme rovnicu 6sin 2 x+2sin 2 2x=5 Komu kvadratická rovnica pomerne cos2x.

Kde cos2x

Tu aplikujeme metódu výberu do intervalu pomocou dvojitej nerovnosti

Pretože Komu berie len celočíselné hodnoty, je to len možné k=2,k=3.

o k=2 dostaneme, s k=3 dostaneme.

odpoveď:

Metodický komentár. Odporúča sa, aby učiteľ tieto štyri úlohy riešil pri tabuli so zapojením žiakov. Ak chcete vyriešiť ďalší problém, je lepšie zavolať svojej dcére silného študenta, ktorý mu poskytne maximálnu nezávislosť v uvažovaní.

Úloha 5. Vyriešte rovnicu

Riešenie. Transformáciou čitateľa zredukujeme rovnicu na jednoduchší tvar

Výsledná rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov:

Výber koreňov v intervale (0; 5) Urobme to dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je pre prvý systém kameniva, druhý spôsob je pre druhý systém kameniva.

, 0.