Ako riešiť logaritmy sú jednoduché príklady. Zhromažďovanie a používanie osobných údajov. Rovnice a nerovnice

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. - 11. ročník inštitúcií všeobecného vzdelávania.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl).

Úloha B7 dáva nejaký výraz, ktorý treba zjednodušiť. Výsledkom by malo byť bežné číslo, ktoré si môžete zapísať do svojho odpoveďového hárku. Všetky výrazy sú bežne rozdelené do troch typov:

1. logaritmické,
2. orientačné,
3. Kombinované.

Exponenciálne a logaritmické výrazy v ich čistej forme sa prakticky nikdy nenachádzajú. Je však absolútne nevyhnutné vedieť, ako sa počítajú.

Vo všeobecnosti je úloha B7 riešená celkom jednoducho a celkom v rámci možností bežného absolventa. Nedostatok jasných algoritmov je kompenzovaný jeho štandardizáciou a monotónnosťou. Môžete sa naučiť riešiť takéto problémy jednoducho pomocou mnohých školení.

Logaritmické výrazy

Prevažná väčšina problémov B7 zahŕňa logaritmy v tej či onej forme. Táto téma sa tradične považuje za náročnú, pretože jej štúdium sa zvyčajne vyskytuje v 11. ročníku - v ére hromadnej prípravy na záverečné skúšky. Výsledkom je, že mnohí absolventi veľmi vágne chápu logaritmy.

Ale v tejto úlohe nikto nevyžaduje hlboké teoretické znalosti. Stretneme sa len s tými najjednoduchšími výrazmi, ktoré vyžadujú jednoduchú úvahu a dajú sa ľahko samostatne zvládnuť. Nižšie sú uvedené základné vzorce, ktoré potrebujete vedieť, aby ste sa vyrovnali s logaritmami:

Okrem toho musíte byť schopní nahradiť odmocniny a zlomky mocninami s racionálnym exponentom, inak v niektorých výrazoch jednoducho nebude čo vyňať pod logaritmickým znakom. Náhradné vzorce:

Úloha. Nájdite význam výrazov:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Prvé dva výrazy sú prevedené ako rozdiel logaritmov:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Na výpočet tretieho výrazu budete musieť izolovať mocniny - v základe aj v argumente. Najprv nájdime vnútorný logaritmus:

Potom - externé:

Konštrukcie formulára log a log b x sa mnohým zdajú zložité a nepochopené. Medzitým je to len logaritmus logaritmu, t.j. log a (log b x ). Najprv sa vypočíta vnútorný logaritmus (uveďte log b x = c) a potom vonkajší logaritmus: log a c.

Demonštratívne výrazy

Exponenciálnym výrazom budeme nazývať akúkoľvek konštrukciu tvaru a k, kde čísla a a k sú ľubovoľné konštanty a a > 0. Metódy na prácu s takýmito výrazmi sú celkom jednoduché a rozoberajú sa na hodinách algebry v 8. ročníku.

Nižšie sú uvedené základné vzorce, ktoré určite potrebujete vedieť. Aplikácia týchto vzorcov v praxi spravidla nespôsobuje problémy.

1. a n · a m = a n + m;
2. a n/a m = a n − m;
3. (an) m = a n · m;
4. (a · b) n = an · bn;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Ak narazíte na zložitý výraz s mocnosťami a nie je jasné, ako k nemu pristupovať, použite univerzálnu techniku ​​– rozklad na jednoduché faktory. Výsledkom je, že veľké čísla v základoch právomocí sú nahradené jednoduchými a zrozumiteľnými prvkami. Potom už zostáva len použiť vyššie uvedené vzorce – a problém bude vyriešený.

Úloha. Nájdite hodnoty výrazov: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Riešenie. Rozložme všetky základy mocnín na jednoduché faktory:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinované úlohy

Ak poznáte vzorce, potom všetky exponenciálne a logaritmické výrazy možno vyriešiť doslova v jednom riadku. V probléme B7 je však možné kombinovať mocniny a logaritmy, aby vytvorili dosť silné kombinácie.

Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dáme orientačné príklady riešenia.

Sami implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie vám pripomenieme všetky vlastnosti:

Teraz si to na základe týchto vzorcov (vlastností) ukážeme príklady riešenia logaritmov.

Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.

Logaritmus kladné číslo b na základ a (označené log a b) je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sme dostali b, pričom b > 0, a > 0 a 1.

Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.

Logaritmy, príklady:

log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8

log 7 49 = 2, pretože 72 = 49

log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5

Desatinný logaritmus- ide o obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.

log 10 100 = 2, pretože 102 = 100

Prirodzený logaritmus- tiež obyčajný logaritmus, logaritmus, ale so základom e (e = 2,71828... - iracionálne číslo). Označené ako ln.

Je vhodné zapamätať si vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s ​​príkladmi.

• Základná logaritmická identita
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vlastnosti mocniny logaritmického čísla a základu logaritmu

  Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b

  Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prechod na nový základ
  log a b = log c b/log c a,

  ak c = b, dostaneme log b b = 1

  potom log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Ako vidíte, vzorce pre logaritmy nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme sa pozreli na príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Na príklady riešenia logaritmických rovníc sa pozrieme podrobnejšie v článku: "". Nenechajte si ujsť!

Ak máte stále otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.

Poznámka: rozhodli sme sa získať inú triedu vzdelávania a študovať v zahraničí ako voliteľnú možnosť.

Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz vlastne definícia logaritmu:

Základ a logaritmus x je mocnina, na ktorú a musí byť zvýšená, aby dostal x.

Označenie: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čomu sa v skutočnosti rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmizácia. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť denník 2 5 . Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na segmente. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mätie, kde je základ a kde argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, pozrite sa na obrázok:

Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to podstavec, ktorý je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Hneď na prvej hodine poviem svojim študentom toto úžasné pravidlo – a nevznikne zmätok.

Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.
2. Základ musí byť odlišný od jedného, ​​pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv rozsah prijateľných hodnôt(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu). Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori úloh zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz sa pozrime na všeobecnú schému výpočtu logaritmov. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Je to rovnaké s desatinnými zlomkami: ak ich okamžite prevediete na obyčajné, bude oveľa menej chýb.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dostali sme odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dostali sme odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Dostali sme odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemôže byť vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. Ak má expanzia aspoň dva rôzne faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;

Všimnite si tiež, že samotné prvočísla sú vždy presné mocniny samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.

Desatinný logaritmus x je logaritmus so základom 10, t.j. Mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sme získali číslo x. Označenie: lg x.

Napríklad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.

Prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Hovoríme o prirodzenom logaritme.

Prirodzený logaritmus x je logaritmus so základom e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .

Mnohí sa budú pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presná hodnota sa nedá nájsť a zapísať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti je prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálneho čísla iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

Úlohy, ktorých riešením je prevod logaritmických výrazov, sú na Jednotnej štátnej skúške celkom bežné.

Aby ste sa s nimi úspešne vyrovnali s minimálnym časom, musíte okrem základných logaritmických identít poznať a správne používať aj ďalšie vzorce.

Toto je: a log a b = b, kde a, b > 0, a ≠ 1 (Vyplýva to priamo z definície logaritmu).

log a b = log c b / log c a alebo log a b = 1/log b a
kde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
kde a, b, c > 0 a a, b, c ≠ 1

Aby sme ukázali platnosť štvrtej rovnosti, zoberme logaritmus ľavej a pravej strany na základ a. Dostaneme log a (a log s b) = log a (b log s a) alebo log s b = log s a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log s b = log s b.

Dokázali sme rovnosť logaritmov, čo znamená, že aj výrazy pod logaritmami sú rovnaké. Formula 4 sa osvedčila.

Príklad 1

Vypočítajte 81 log 27 5 log 5 4 .

Riešenie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Potom 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Nasledujúcu úlohu môžete splniť sami.

Vypočítajte (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Ako pomôcka, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,25 = -1.

odpoveď: 5.

Príklad 2

Vypočítať (√11) log √3 9- log 121 81 .

Riešenie.

Zmeňme výrazy: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (bol použitý vzorec 3).

Potom (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Príklad 3

Vypočítajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Riešenie.

Logaritmy obsiahnuté v príklade nahradíme logaritmami so základom 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Potom log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Po otvorení zátvoriek a prinesení podobných pojmov dostaneme číslo 3. (Pri zjednodušení výrazu môžeme log 2 3 označiť n a výraz zjednodušiť

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n) (2 + n)).

odpoveď: 3.

Nasledujúcu úlohu môžete dokončiť sami:

Vypočítať (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Tu je potrebné urobiť prechod na logaritmy so základom 3 a faktorizáciu veľkých čísel na prvočiniteľa.

Odpoveď: 1/2

Príklad 4.

Dané tri čísla A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Zoraď ich vzostupne.

Riešenie.

Transformujme čísla A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Poďme si ich porovnať

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 a log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Alebo 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Odpoveď. Preto je poradie umiestňovania čísel: C; A; IN.

Príklad 5.

Koľko celých čísel je v intervale (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Riešenie.

Určme, medzi ktorými mocninami čísla 3 sa nachádza číslo 1/16. Dostaneme 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Pretože funkcia y = log 3 x je rastúca, potom log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 648 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Porovnajme log 6 (4/3) a 1/5. A preto porovnávame čísla 4/3 a 6 1/5. Zvýšme obe čísla na 5. mocninu. Dostaneme (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

denník 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Preto interval (log 3 1/16 ; log 6 48) zahŕňa interval [-2; 4] a naň sú umiestnené celé čísla -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Odpoveď: 7 celých čísel.

Príklad 6.

Vypočítajte 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Riešenie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 l® g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Potom 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

odpoveď: -1.

Príklad 7.

Je známe, že log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Nájdite log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Riešenie.

Čísla (√3 + 1) a (√3 – 1); (√6 – 2) a (√6 + 2) sú konjugované.

Urobme nasledujúcu transformáciu výrazov

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Potom log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Odpoveď: 2 - A.

Príklad 8.

Zjednodušte a nájdite približnú hodnotu výrazu (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Riešenie.

Zredukujme všetky logaritmy na spoločný základ 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Približnú hodnotu lg 2 možno zistiť pomocou tabuľky, logaritmu alebo kalkulačky).

Odpoveď: 0,3010.

Príklad 9.

Vypočítajte log a 2 b 3 √ (a 11 b -3), ak log √ a b 3 = 1. (V tomto príklade je a 2 b 3 základom logaritmu).

Riešenie.

Ak log √ a b 3 = 1, potom 3/(0,5 log a b = 1. A log a b = 1/6.

Potom log a 2 b 3√ (a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Vzhľadom na to, že log a b = 1/ 6 dostaneme (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Odpoveď: 2.1.

Nasledujúcu úlohu môžete dokončiť sami:

Vypočítajte log √3 6 √2,1, ak log 0,7 27 = a.

Odpoveď: (3 + a) / (3a).

Príklad 10.

Vypočítajte 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Riešenie.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (vzorec 4))

Dostaneme 9 + 6 = 15.

odpoveď: 15.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako nájsť hodnotu logaritmického výrazu?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.