Metóda na zavedenie pomocného uhla pri riešení goniometrických rovníc. Metódy riešenia goniometrických rovníc

Zhrnutie lekcie pre ročníky 10-11

Téma 1 : Spôsob zavedenia pomocného argumentu. Odvodzovanie vzorcov.

Ciele:

Formovanie vedomostí o novej metóde riešenia úloh trigonometrie, pri ktorej je jej použitie možné alebo potrebné;

Formovanie zručností analyzovať problémové podmienky, porovnávať a hľadať rozdiely;

Rozvoj myslenia, logiky a platnosti tvrdení, schopnosť vyvodzovať závery a zovšeobecňovať;

Vývoj reči, obohatenie a komplikácie slovná zásoba, zvládnutie výrazových vlastností jazyka žiakmi;

Formovanie postoja k predmetu, vášeň pre vedomosti, vytváranie podmienok pre tvorivý, neštandardný prístup k získavaniu vedomostí.

Požadované znalosti, zručnosti a schopnosti:

Vedieť dedukovať trigonometrické vzorce a využiť ich v ďalšej práci;

Byť schopný vyriešiť alebo mať predstavu o tom, ako vyriešiť trigonometrické problémy;

Poznať základné goniometrické vzorce.

Úroveň pripravenosti študentov na vedomé vnímanie:

Vybavenie: AWS, prezentácia s podmienkami úlohy, riešeniami a potrebnými vzorcami, kartičky s úlohami a odpoveďami.

Štruktúra lekcie:

1. Stanovenie cieľa hodiny (2

Príprava na štúdium nového materiálu (12 min).

Úvod do nového materiálu (15 min).

Počiatočné pochopenie a aplikácia naučeného (10 min).

Nastavenie domácej úlohy (3 min).

Zhrnutie hodiny (3 min).

Počas vyučovania.

1. Stanovenie cieľa vyučovacej hodiny.

Skontrolujte pripravenosť študentov a vybavenie na hodinu. Je vhodné pripraviť si domácu úlohu na tabuli vopred, aby ste prediskutovali riešenie. Všimnite si, že účelom lekcie je rozšíriť vedomosti o metódach riešenia niektorých úloh trigonometrie a vyskúšať si ich zvládnutie.

2. Príprava na štúdium nového materiálu.

Diskutujte o domácej úlohe: zapamätajte si základné goniometrické vzorce, hodnoty goniometrických funkcií pre jednoduché argumenty. Zopakujte si formuláciu úlohy na domácu úlohu.

Vzorce:

; ;

; ;

Úloha: Predstavte si výraz ako produkt.

Študenti pravdepodobne ponúknu ďalšie riešenie:

Pretože poznajú vzorce na prevod súčtu goniometrických funkcií na súčin.

Navrhnime iné riešenie problému: . Tu riešenie používa kosínusový vzorec pre rozdiel dvoch argumentov, kde je pomocný. Všimnite si, že v každej z týchto metód možno použiť iné podobné vzorce.

3. Oboznámenie sa s novým materiálom.

Vynára sa otázka, odkiaľ sa vzal pomocný argument?

Ak chcete získať odpoveď na túto otázku, zvážte spoločné rozhodnutie problém, transformujeme výraz na súčin, kde a sú ľubovoľné nenulové čísla.

zaveďme ďalší uhol (pomocný argument), kde , potom bude mať náš výraz tvar:

Tak sme dostali vzorec: .

Ak zadáme uhol pomocou vzorcov , , výraz bude mať tvar a dostaneme inú formu vzorca: .

Odvodili sme doplnkové vzorce uhla, ktoré sa nazývajú vzorce pomocných argumentov:

Vzorce môžu mať rôznu podobu (treba tomu venovať osobitnú pozornosť a ukázať to na príkladoch).

Všimnite si, že v najjednoduchších prípadoch metóda zavedenia pomocného argumentu spočíva v nahradení čísel; ; ; ; 1; goniometrické funkcie zodpovedajúce uhly.

4. Počiatočné pochopenie a aplikácia toho, čo sa naučili .

Na konsolidáciu materiálu sa navrhuje zvážiť niekoľko ďalších príkladov úloh:

Predstavte si to ako produkt výrazu:

Je vhodné si preštudovať úlohy 3 a 4 na hodine (analýza úloh je súčasťou učebných materiálov). Úlohy 1, 2 a 5 je možné použiť na samostatné riešenie (odpovede sú uvedené).

Na analýzu charakteristík podmienok typických úloh, v ktorých možno použiť uvažovanú metódu riešenia, možno použiť rôzne metódy. Všimnite si, že úlohu 1. možno vykonať rôznymi spôsobmi a na splnenie úloh 2 – 5 je vhodnejšie použiť metódu zavedenia pomocného uhla

Počas osobného rozhovoru by ste mali prediskutovať podobnosti medzi týmito úlohami a príkladom diskutovaným na začiatku lekcie, aké sú rozdiely, či možno navrhovanú metódu použiť na ich vyriešenie a prečo je jej použitie pohodlnejšie .

Podobnosť: vo všetkých navrhovaných príkladoch je možné použiť metódu zavedenia pomocného argumentu a je to vhodnejšia metóda, ktorá vedie priamo k výsledku.

Rozdiel: v prvom príklade je možné použiť iný prístup, ale vo všetkých ostatných je možné použiť pomocný argument pomocou nie jedného, ​​ale niekoľkých vzorcov.

Po prediskutovaní úloh môžete vyzvať deti, aby zvyšné vyriešili samy doma.

5. Stanovenie domácich úloh.

Doma vás vyzývame, aby ste si pozorne preštudovali poznámky k lekcii a pokúsili sa vyriešiť nasledujúce cvičenia.

Téma lekcie: Spôsob vloženia pomocného uhla pri riešení goniometrické rovnice.

Aktualizuje sa.

učiteľ.

Chlapci! Zoznámili sme sa s rôznymi typmi goniometrických rovníc a naučili sme sa ich riešiť. Dnes si zovšeobecníme poznatky o metódach riešenia goniometrických rovníc rôzne druhy. Za týmto účelom vás žiadam, aby ste pracovali na klasifikácii rovníc, ktoré vám boli navrhnuté (pozri rovnice č. 1-10 v prílohe - na konci abstraktu vo forme PDF)

Vyplňte tabuľku: uveďte typ rovnice, spôsob jej riešenia a priraďte čísla rovníc k typu, ku ktorému patria.

Študenti. Vyplňte tabuľku.

Problematizácia.

Pri vypĺňaní tabuľky sa žiaci stretávajú s problémom. Nevedia určiť typ a spôsob riešenia troch rovníc: č.8,9,10.

učiteľ. Podarilo sa vám roztriediť všetky rovnice podľa ich tvaru a spôsobu riešenia?

Odpoveď študentov. Nie, do tabuľky nebolo možné umiestniť tri rovnice.

učiteľ. prečo?

Odpoveď študentov. Nie sú podobné známym druhom. Spôsob riešenia je nejasný.

Stanovenie cieľov.

učiteľ. Ako potom sformulujeme účel našej lekcie?

Odpovedzte študentom. Určte objavený nový typ rovníc a nájdite spôsob ich riešenia.

učiteľ. Je možné sformulovať tému hodiny, ak nepoznáme typ objavených rovníc a spôsob ich riešenia?

Odpoveď študentov. Nie, ale môžeme to urobiť neskôr, keď prídeme na to, s čím máme do činenia.

Plánovanie činnosti.

učiteľ. Naplánujme si aktivity. Zvyčajne určíme typ a potom hľadáme metódu riešenia goniometrických rovníc. Je možné v našej súčasnej situácii uviesť konkrétny názov objaveného typu rovníc? A vo všeobecnosti, patria k rovnakému druhu?

Odpoveď študentov. Je ťažké to urobiť.

učiteľ. Potom premýšľajte, možno majú niečo spoločné, alebo sú podobné nejakému typu?

Odpoveď študentov.Ľavá strana týchto rovníc je rovnaká ako strana homogénnych rovníc, ale ich pravá strana sa nerovná nule. To znamená, že delenie kosínusom riešenie len skomplikuje.

učiteľ. Možno začneme nájdením metódy riešenia a potom určíme typ rovnice? Ktorá z 3 rovníc sa vám zdá najjednoduchšia?

Študenti odpovedajú, ale neexistuje konsenzus. Možno niekto uhádne, že koeficienty v rovnici č.8 by mali byť vyjadrené ako sínus a kosínus uhla tabuľky. A potom trieda určí rovnicu, ktorú možno vyriešiť ako prvú. Ak nie, učiteľ navrhuje zvážiť ďalšiu rovnicu (pozri rovnicu č. 11 v Prílohe - na konci súhrnu v PDF forme). V ňom sú koeficienty rovné sínusu a kosínusu známeho uhla a žiaci by si to mali všimnúť.

Učiteľ navrhne postupnosť bodov aktivity. ( Pozri rovnice v prílohe - vo forme PDF na konci súhrnu).

1. Vyriešte prvú rovnicu (№11), nahradenie koeficientov hodnotami sínusu a kosínusu známeho uhla a použitím sínusu súčtového vzorca.
2. Pokúste sa previesť ďalšie rovnice do tvaru prvej a použiť rovnakú metódu. ( pozri rovnicu č.8,9,12)
3. Zovšeobecnite a rozšírte metódu na ľubovoľné koeficienty a vytvorte všeobecný algoritmus akcií (pozri rovnicu č. 10).
4. Použite metódu na riešenie iných rovníc rovnakého typu. (pozri rovnice č. 12, 13, 14).

Realizácia plánu.

učiteľ. No, urobili sme plán. Začnime to implementovať.

Pri tabuli žiak rieši rovnicu č.11.

Druhý žiak rieši nasledujúcu rovnicu č. 8 tak, že ju najprv vydelí konštantným číslom a tým zredukuje situáciu na už nájdené riešenie.

Učiteľ navrhuje riešiť rovnice č. 9 a 12 samostatne. Kontroluje správnosť transformácií a viacnásobných riešení.

učiteľ. Chlapci, ako môžeme nazvať uhol, ktorý sa objaví namiesto koeficientov rovnice a pomôže nám dosiahnuť riešenie?

Odpoveď študentov. Dodatočné. (Možnosť: pomocná).

učiteľ. Zvoliť takýto pomocný uhol nie je vždy jednoduché. Dá sa to nájsť, ak koeficienty nie sú sínus a kosínus známych uhlov? Akú identitu musia spĺňať takéto koeficienty, ak ich chceme reprezentovať ako sínus a kosínus pomocného uhla?

Odpoveď. Základná trigonometrická identita.

učiteľ. Výborne! Správny! To znamená, že našou úlohou je získať také koeficienty, aby súčet ich štvorcov bol rovný jednej! Skúste vymyslieť číslo, ktorým vydelíte rovnicu tak, aby bola splnená nami zadaná podmienka.

Študenti si myslia a možno navrhnú, aby sa všetko vydelilo druhou odmocninou súčtu druhých mocnín koeficientov rovnice. Ak nie, potom ich k tejto myšlienke vedie učiteľ.

učiteľ. Musíme si len vybrať, ktorý z nových koeficientov označíme sínusom pomocného uhla a ktorý kosínusom. Sú dve možnosti. Výber závisí od prechodu na najjednoduchšiu rovnicu so sínusom alebo kosínusom.

Študenti Ponúkajú riešenie a učiteľ ho dotvára, pričom dbá na formu zaznamenania zdôvodnenia a odpovede. Vyriešte rovnicu číslo 10.

učiteľ. Objavili sme metódu riešenia nového typu rovnice? Ako by sme mali nazvať tento typ?

Odpoveď. Pracovali sme tak, že sme hľadali pomocný uhol. Možno by sa rovnice mali nazývať rovnicami, ktoré možno vyriešiť pomocou pomocných uhlov?

učiteľ. Samozrejme môžete. Viete vymyslieť vzorec pre ich typ? Toto bude kratšie.

Odpoveď.Áno. Rovnice s koeficientmi A, B a C.

učiteľ. Zovšeobecnme metódu pre ľubovoľné koeficienty.

Učiteľ prediskutuje a napíše na tabuľu pomocné uhlové sínusové a kosínusové vzorce pre zovšeobecnené koeficienty. Potom s ich pomocou vyrieši rovnice č.13 a 14.

učiteľ. Zvládli sme metódu dostatočne dobre?

Odpoveď. Nie Je potrebné vyriešiť takéto rovnice a upevniť schopnosť používať metódu pomocného uhla.

učiteľ. Ako pochopíme, že sme metódu zvládli?

Odpoveď. Ak sami vyriešime niekoľko rovníc.

učiteľ. Stanovme si kvalitatívnu škálu na zvládnutie metódy.

Spoznajte charakteristiky úrovní a umiestnite ich na stupnici, ktorá odráža úroveň odbornosti v tejto zručnosti. Porovnajte charakteristiku úrovne a skóre (od 0 do 3)

• Dokážem riešiť rovnice s rôznymi koeficientmi
• Neviem riešiť rovnice
• Viem riešiť zložité rovnice
• Dokážem riešiť rovnice pomocou tabuľkových koeficientov

učiteľ.(Po odpovedi študentov) Takže naša hodnotiaca stupnica je nasledovná:

Rovnakým princípom budeme hodnotiť samostatná práca k téme v ďalšej lekcii.

Teraz, prosím, vyriešte rovnice č. 1148 g, 1149 g, 1150 g a určite úroveň zvládnutia danej témy.

Nezabudnite doplniť položky v tabuľke a pomenovať tému: „Zavedenie pomocného uhla pri riešení goniometrických rovníc“.

Reflexia na ceste k dosiahnutiu cieľa.

učiteľ. Chlapci, dosiahli sme cieľ lekcie?

Študent odpovedá. Áno, naučili sme sa rozpoznávať nový typ rovnice.

Našli sme spôsob ich riešenia pomocou pomocného uhla.

Naučili sme sa metódu aplikovať v praxi.

učiteľ. Ako sme konali? Ako sme pochopili, čo musíme urobiť?

Odpoveď. Preskúmali sme niekoľko špeciálnych prípadov rovníc s „rozpoznateľnými“ koeficientmi a rozšírili túto logiku na ľubovoľné hodnoty A, B a C.

učiteľ. Ide o induktívny spôsob myslenia: na základe niekoľkých prípadov sme odvodili metódu a použili ju v podobných prípadoch.

Perspektíva. Kde môžeme uplatniť tento druh myslenia? (odpovede študentov)

Dnes ste v triede odviedli dobrú prácu. Doma si prečítajte v učebnici popis metódy pomocného uhla a vyriešte čísla 1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Dúfam, že sa v ďalšej lekcii všetci dobre zabavíte pomocou tejto metódy na riešenie goniometrických rovníc.

Ďakujeme za vašu prácu v triede!

Na hodinách algebry nám učitelia hovoria, že existuje malá (v skutočnosti veľmi veľká) trieda goniometrických rovníc, ktoré sa nedajú vyriešiť štandardnými metódami – ani faktorizáciou, ani zmenou premennej, dokonca ani homogénnymi členmi. V tomto prípade prichádza na rad zásadne odlišný prístup – metóda pomocného uhla.

Čo je táto metóda a ako ju aplikovať? Najprv si spomeňme na vzorce pre sínus súčtu/rozdielu a kosínus súčtu/rozdielu:

\[\begin(align)& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end(align)\]

Myslím, že tieto vzorce sú vám dobre známe – z nich sú odvodené vzorce s dvojitým argumentom, bez ktorých nie je v trigonometrii absolútne nič. Teraz sa však pozrime na jednoduchú rovnicu:

Vydeľte obe strany 5:

Všimnite si, že $((\left(\frac(3)(5) \right))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \right))^(2))= 1 $, čo znamená, že určite existuje uhol $\alpha $, pre ktorý sú tieto čísla kosínus a sínus. Preto bude naša rovnica prepísaná takto:

\[\začiatok(zarovnanie)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\koniec (zarovnanie)\]

A to sa už dá jednoducho vyriešiť, po čom ostáva už len zistiť, čomu sa rovná uhol $\alpha $. Ako to zistiť a tiež ako vybrať správne číslo na rozdelenie oboch strán rovnice (v tomto jednoduchý príklad delili sme 5) - o tom v dnešnej video lekcii:

Dnes budeme analyzovať riešenie goniometrických rovníc, alebo presnejšie, jedinú techniku ​​nazývanú „metóda pomocných uhlov“. Prečo práve táto metóda? Jednoducho preto, že počas posledných dvoch-troch dní, keď som učil študentov, ktorým som hovoril o riešení goniometrických rovníc a skúmali sme okrem iného aj metódu pomocného uhla, a všetci študenti ako jeden urobili rovnakú chybu . Metóda je však vo všeobecnosti jednoduchá a navyše je jednou z hlavných techník trigonometrie. Preto mnohé goniometrické úlohy nemožno vyriešiť vôbec, s výnimkou metódy pomocného uhla.

Preto sa teraz najprv pozrieme na niekoľko jednoduchých úloh a potom prejdeme k vážnejším úlohám. To všetko si však tak či onak bude vyžadovať použitie metódy pomocného uhla, ktorej podstatu poviem v prvom návrhu.

Riešenie jednoduchých goniometrických úloh

Príklad č.1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Poďme trochu zmeniť náš výraz:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \vľavo(-1 \vpravo) \vpravo.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Ako to vyriešime? Štandardným trikom je vyriešiť $\sin 2x$ a $\cos 2x$ pomocou vzorcov dvojitého uhla a potom prepísať jednotku ako $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, získajte homogénnu rovnicu, zredukujte ju na dotyčnice a vyriešte. Je to však dlhá a únavná cesta, ktorá si vyžaduje veľké množstvo výpočtov.

Navrhujem, aby ste sa nad tým zamysleli. Máme $\sin$ a $\cos$. Pripomeňme si vzorec pre kosínus a sínus súčtu a rozdielu:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Vráťme sa k nášmu príkladu. Znížime všetko na sínus rozdielu. Najprv však treba rovnicu trochu pretransformovať. Nájdeme koeficient:

$\sqrt(l)$ je rovnaký koeficient, ktorým je potrebné rozdeliť obe strany rovnice tak, aby pred sínusom a kosínusom boli čísla, ktoré sú samy osebe sínusom a kosínusom. Poďme sa rozdeliť:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Pozrime sa na to, čo sme dostali vľavo: existuje $\sin $ a $\cos $ také, že $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ a $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Očividne existuje: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Preto môžeme náš výraz prepísať takto:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Teraz máme vzorec pre sínus rozdielu. Môžeme písať takto:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6) \right)=\frac(1)(2) \]

Tu máme najjednoduchšiu klasickú trigonometrickú konštrukciu. Dovoľte mi pripomenúť vám:

Pre náš konkrétny výraz si to zapíšeme:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(zarovnať) \vpravo.\ ]

\[\left[ \begin(align)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Nuansy riešenia

Čo by ste teda mali robiť, ak narazíte na podobný príklad:

1. V prípade potreby upravte dizajn.
2. Nájdite korekčný faktor, vezmite z neho koreň a vydeľte ním obe strany príkladu.
3. Pozrime sa, aké hodnoty sínus a kosínus získajú čísla.
4. Rovnicu rozširujeme pomocou sínusových alebo kosínusových rozdielových alebo súčtových vzorcov.
5. Riešime najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

V tejto súvislosti budú mať pozorní študenti pravdepodobne dve otázky.

Čo nám bráni zapísať $\sin $ a $\cos $ vo fáze hľadania korekčného faktora? - Základná trigonometrická identita nám bráni. Faktom je, že výsledné $\sin $ a $\cos $, rovnako ako všetky ostatné s rovnakým argumentom, by mali po druhej mocnine dávať celkovo presne „jedna“. Počas rozhodovacieho procesu musíte byť veľmi opatrní a nestratiť „2“ pred „X“.

Metóda pomocného uhla je nástroj, ktorý pomáha redukovať „škaredú“ rovnicu na úplne adekvátnu a „krásnu“.

Príklad č.2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Vidíme, že máme $((\sin )^(2))x$, takže použijeme výpočty zníženia výkonu. Kým ich však použijeme, vyberme ich. Ak to chcete urobiť, nezabudnite, ako nájsť kosínus dvojitého uhla:

\[\cos 2x=((\cos )^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos )^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Ak do tretej možnosti napíšeme $\cos 2x$, dostaneme:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos )^(2))x)(x)\]

Napíšem to samostatne:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

To isté možno urobiť pre $((\cos )^(2))x$:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Potrebujeme len prvé výpočty. Začnime pracovať na úlohe:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Teraz použijeme výpočty kosínusu rozdielu. Najprv však vypočítajme korekciu $ l $:

Prepíšme to s ohľadom na túto skutočnosť:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

V tomto prípade môžeme napísať, že $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$ a $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Poďme prepísať:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos x\]

Pridajme „mínus“ do zátvorky šikovným spôsobom. Za týmto účelom si všimnite nasledovné:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \vpravo)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \right)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Vráťme sa k nášmu výrazu a zapamätajme si, že v úlohe $\varphi $ máme výraz $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Preto si napíšme:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \right) \right)=\cos X\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \right)=\cos x\]

Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte si zapamätať toto:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin(align)& \alpha =\beta +2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \alpha =-\beta +2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end (zarovnať) \vpravo.\]

Pozrime sa na náš príklad:

\[\left[ \begin(align)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end (zarovnať) \vpravo.\]

Vypočítajme každú z týchto rovníc:

A druhý:

Napíšme si konečnú odpoveď:

\[\left[ \begin(align)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )n)(3) \\\end(zarovnať) \vpravo.\]

Nuansy riešenia

V skutočnosti sa tento výraz dá vyriešiť množinou rôznymi spôsobmi optimálna je však v tomto prípade metóda pomocného uhla. Okrem toho, ak použijem tento dizajn ako príklad, rád by som upriamil vašu pozornosť na niekoľko ďalších zaujímavé techniky a fakty:

• Vzorce na zníženie stupňov. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť, ale musíte ich vedieť odvodiť, o čom som vám dnes hovoril.
• Riešenie rovníc v tvare $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Pridanie "nuly".

To však nie je všetko. Doteraz sme verili, že $\sin $ a $\cos $, ktoré sme odvodili ako dodatočný argument, musia byť kladné. Preto teraz budeme riešiť zložitejšie problémy.

Analýza zložitejších problémov

Príklad č.1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Transformujme prvý výraz:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

Teraz toto všetko nahraďme do našej pôvodnej konštrukcie:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Predstavme si náš pozmeňujúci návrh:

Zapisujeme si:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

Neexistujú žiadne $\alpha $, pre ktoré by sa $\sin $ alebo $\cos $ rovnalo $\frac(3)(5)$ a $\frac(4)(5)$ v trigonometrickej tabuľke. Takže to napíšme takto a zredukujeme výraz na sínus súčtu:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Toto je špeciálny prípad, najjednoduchšia trigonometrická konštrukcia:

Zostáva zistiť, čomu sa $\varphi $ rovná. Tu robí veľa študentov chybu. Faktom je, že $\varphi $ podlieha dvom požiadavkám:

\[\left\( \begin(align)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\end(align) \right .\]

Nakreslíme radar a uvidíme, kde sa takéto hodnoty vyskytujú:

Keď sa vrátime k nášmu výrazu, napíšeme nasledovné:

Tento záznam sa však dá trochu optimalizovať. Pretože vieme nasledovné:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

potom to v našom prípade môžeme napísať takto:

Príklad č.2

To si bude vyžadovať ešte hlbšie pochopenie techník na riešenie štandardných problémov bez trigonometrie. Na vyriešenie tohto príkladu však používame aj metódu pomocného uhla.\[\]

Prvá vec, ktorá vás upúta je, že neexistujú vyššie stupne ako prvý a teda nič nemožno rozširovať podľa vzorcov na rozklad stupňov. Použite spätné výpočty:

Prečo som dal 5 $. Pozri sa sem:

Jednotku pomocou základnej goniometrickej identity môžeme zapísať ako $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

Čo nám takýto rekord dáva? Faktom je, že prvá zátvorka obsahuje presný štvorec. Poďme to zbaliť a dostaneme:

Navrhujem zaviesť novú premennú:

\[\sin x+\cos x=t\]

V tomto prípade dostaneme výraz:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Celkovo dostaneme:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Samozrejme, znalí študenti teraz povedia, že takéto konštrukcie sa dajú ľahko vyriešiť ich zmenšením na homogénnu štruktúru. Každú rovnicu však budeme riešiť pomocou metódy pomocného uhla. Aby sme to urobili, najprv vypočítame korekciu $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Vydeľme všetko $\sqrt(2)$:

\[\left[ \begin(align)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Znížime všetko na $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\left[ \begin(align)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \right) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \ vpravo)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Pozrime sa na každý z týchto výrazov.

Prvá rovnica nemá korene a na dôkaz tejto skutočnosti nám pomôže iracionalita v menovateli. Všimnime si nasledovné:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1,5)=\frac(3)(3)=1\]

Celkovo sme jasne dokázali, že sa vyžaduje, aby $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ bol rovná sa číslu, ktorá je väčšia ako „jedna“, a preto táto konštrukcia nemá korene.

Poďme sa zaoberať tým druhým:

Poďme vyriešiť túto konštrukciu:

V zásade môžete odpoveď nechať takto, alebo si ju môžete zapísať:

Dôležité body

Na záver by som Vás chcel ešte raz upozorniť na prácu so “škaredými” argumentmi, t.j. keď $\sin $ a $\cos $ nie sú tabuľkové hodnoty. Problém je v tom, že ak povieme, že v našej rovnici $\frac(3)(5)$ je $\cos $ a $\frac(4)(5)$ je $\sin $, tak nakoniec, keď sme rozhodnúť o dizajne, musíme brať do úvahy obe tieto požiadavky. Dostaneme systém dvoch rovníc. Ak to neberieme do úvahy, dostaneme nasledujúca situácia. V tomto prípade dostaneme dva body a namiesto $\varphi $ budeme mať dve čísla: $\arcsin \frac(4)(5)$ a $-\arcsin \frac(4)(5)$, ale to druhé nás nijako neuspokojuje. To isté sa stane s bodom $\frac(3)(5)$.

Tento problém nastáva len vtedy, keď hovoríme o o „škaredých“ argumentoch. Keď máme tabuľkové hodnoty, nič také neexistuje.

Dúfam, že vám dnešná lekcia pomohla pochopiť, čo je metóda pomocného uhla a ako ju aplikovať na príklady rôznych úrovní zložitosti. Toto však nie je jediná lekcia venovaná riešeniu problémov pomocou metódy pomocného uhla. Zostaňte naladení!

Lemma. Ak sa súčet druhých mocnín dvoch reálnych čísel rovná jednej, potom jedno z týchto čísel možno považovať za kosínus a druhé za sínus nejakého uhla.

Inými slovami, ak A 2 + b 2 = 1 , potom je tu uhol φ , také že

A = cosφ; b= hriechφ.

Pred dôkazom tejto lemy si ju ilustrujme na nasledujúcom príklade:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

Preto existuje uhol φ , takže \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = hriech φ .

Ako φ v tomto prípade si môžete zvoliť ktorýkoľvek z uhlov 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° atď.

Dôkaz lemy:

Zvážte vektor \(\vec(0A)\) so súradnicami ( a, b ). Pretože A 2 + b 2 = 1 , dĺžka tohto vektora je 1. Ale v tomto prípade sa jeho súradnice musia rovnať cos φ A sinφ, Kde φ - uhol, ktorý zviera daný vektor s osou x.

takže, A = cosφ; b= sinφ, čo bolo potrebné dokázať.

Osvedčená lemma nám umožňuje transformovať výraz a hriech x + b cos x vo forme vhodnejšej na štúdium.

Najprv vyberme výraz \(\sqrt(a^2 + b^2)\) z hranatých zátvoriek

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a ^2 + b^2))cosx) $$

Pretože

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $

prvé z čísel \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) a \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) možno považovať za kosínus nejakého uhla φ , a druhý - ako sínus rovnakého uhla φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$

Ale v tom prípade

a hriech x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )

a hriech x + b cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), kde uhol φ je určený z podmienok

$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

Príklady.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

Výsledný vzorec hriech X+ cos X= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\) užitočné zapamätať si.

2) Ak je jedno z čísel A A b pozitívny a druhý negatívny, potom výraz
a hriech x + b cos x Výhodnejšie je previesť nie na sínus súčtu, ale na sínus rozdielu dvoch uhlov. takže,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

kde pod φ môžeme znamenať akýkoľvek uhol, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:

cos φ = 3/5, hriech φ = 4 / 5

Najmä jeden môže dať φ = arktan 4/3 . Potom dostaneme:

3 sin x - 4 cos x = 5 sin (x - arctan 4 / 3).

Riešenie goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz: transformácia rovnice aby to bolo čo najjednoduchšie typu (pozri vyššie) a Riešenievýsledný najjednoduchší goniometrická rovnica. Je ich sedem základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

1. Algebraická metóda.

(variabilná náhrada a substitučná metóda).

2. Faktorizácia.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu: hriech X+ cos X = 1 .

Riešenie Presuňme všetky členy rovnice doľava:

Sin X+ cos X – 1 = 0 ,

Transformujme a faktorizujme výraz v

Ľavá strana rovnice:

Príklad 2. Vyriešte rovnicu: cos 2 X+ hriech X cos X = 1.

Riešenie: pretože 2 X+ hriech X cos X– hriech 2 X– pretože 2 X = 0 ,

Sin X cos X– hriech 2 X = 0 ,

Sin X· (cos X– hriech X ) = 0 ,

Príklad 3. Vyriešte rovnicu: pretože 2 X– pretože 8 X+ pretože 6 X = 1.

Riešenie: pretože 2 X+ pretože 6 X= 1 + cos 8 X,

2 ako 4 X pretože 2 X= 2 cos² 4 X ,

Pretože 4 X · (pretože 2 X– pretože 4 X) = 0 ,

Pretože 4 X · 2 hriech 3 X hriech X = 0 ,

1). pretože 4 X= 0,2). hriech 3 X= 0,3). hriech X = 0 ,

4. Prechod do polovičného uhla.

Pozrime sa na túto metódu ako príklad:

PRÍKLAD Riešte rovnicu: 3 hriech X– 5 kos X = 7.

Riešenie: 6 hriechov ( X/ 2) cos ( X/ 2) – 5 cos² ( X/ 2) + 5 sin² ( X/ 2) =

7 sin² ( X/ 2) + 7 cos² ( X/ 2) ,

2 sin² ( X/ 2) – 6 hriechov ( X/ 2) cos ( X/ 2) + 12 cos² ( X/ 2) = 0 ,

tan²( X/ 2) – 3 opálenie ( X/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Zavedenie pomocného uhla.

Zvážte rovnicu tvaru:

a hriech X + b cos X = c ,

Kde a, b, c– koeficienty;X– neznámy.

Teraz majú koeficienty rovnice vlastnosti sínus a kosínus, menovite: modul (absolútna hodnota) každého z toho nie viac ako 1, a súčet ich štvorcov je 1. Potom môžeme označiť ich podľa toho Ako cos a hriech (tu - tzv pomocný uhol), Azober našu rovnicu