Logaritmy rovnice. Logaritmická jednotka a logaritmická nula

V tejto lekcii si zopakujeme základné teoretické fakty o logaritmoch a zvážime ich najjednoduchšie riešenie logaritmické rovnice.

Dovoľte nám pripomenúť centrálna definícia- definícia logaritmu. Súvisí to s rozhodnutím exponenciálna rovnica. Táto rovnica má jeden koreň, nazýva sa logaritmus b na základ a:

Definícia:

Logaritmus b na základ a je exponent, na ktorý sa musí základ a zvýšiť, aby sa dostalo b.

Dovoľte nám pripomenúť základná logaritmická identita.

Výraz (výraz 1) je koreňom rovnice (výraz 2). Dosaďte hodnotu x z výrazu 1 namiesto x do výrazu 2 a získajte hlavnú logaritmickú identitu:

Vidíme teda, že každá hodnota je spojená s hodnotou. Označíme b x(), c y, a tak získame logaritmickú funkciu:

Napríklad:

Pripomeňme si základné vlastnosti logaritmickej funkcie.

Venujme pozornosť ešte raz, pretože pod logaritmom môže byť striktne kladný výraz ako základ logaritmu.

Ryža. 1. Graf logaritmickej funkcie s rôznymi bázami

Graf funkcie at je znázornený čiernou farbou. Ryža. 1. Ak sa argument zväčší z nuly do nekonečna, funkcia sa zvýši z mínus do plus nekonečna.

Graf funkcie at je znázornený červenou farbou. Ryža. 1.

Vlastnosti tejto funkcie:

Rozsah: ;

Rozsah hodnôt: ;

Funkcia je monotónna v celej svojej doméne definície. Keď sa monotónne (striktne) zvyšuje, väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Keď monotónne (striktne) klesá, väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

Vlastnosti logaritmickej funkcie sú kľúčom k riešeniu rôznych logaritmických rovníc.

Zoberme si najjednoduchšiu logaritmickú rovnicu, všetky ostatné logaritmické rovnice sú spravidla redukované na túto formu.

Keďže základy logaritmu a samotné logaritmy sú rovnaké, funkcie pod logaritmom sú tiež rovnaké, ale nesmieme vynechať oblasť definície. Pod logaritmom sa môže objaviť iba kladné číslo, máme:

Zistili sme, že funkcie f a g sú rovnaké, takže stačí vybrať ľubovoľnú nerovnosť, aby vyhovovala ODZ.

Tak sme dostali zmiešaný systém, v ktorom je rovnica a nerovnosť:

Spravidla nie je potrebné riešiť nerovnicu, stačí vyriešiť rovnicu a dosadiť nájdené korene do nerovnice, čím sa vykoná kontrola.

Sformulujme metódu riešenia najjednoduchších logaritmických rovníc:

Vyrovnajte základy logaritmov;

Rovnocenné sublogaritmické funkcie;

Vykonajte kontrolu.

Pozrime sa na konkrétne príklady.

Príklad 1 - vyriešte rovnicu:

Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké, máme právo porovnávať sublogaritmické výrazy, nezabudnite na ODZ, na vytvorenie nerovnosti si vyberieme prvý logaritmus:

Príklad 2 - vyriešte rovnicu:

Táto rovnica sa líši od predchádzajúcej v tom, že základy logaritmov sú menšie ako jedna, ale to žiadnym spôsobom neovplyvňuje riešenie:

Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:

Dostali sme nesprávnu nerovnosť, čo znamená, že nájdený koreň nevyhovuje ODZ.

Príklad 3 - vyriešte rovnicu:

Základy logaritmov sú na začiatku rovnaké, máme právo porovnávať sublogaritmické výrazy, nezabudnite na ODZ, na vytvorenie nerovnosti si vyberieme druhý logaritmus:

Nájdite koreň a dosaďte ho do nerovnosti:

Je zrejmé, že iba prvý koreň spĺňa DD.

Pozrime sa na niektoré typy logaritmických rovníc, o ktorých sa na hodinách matematiky v škole tak často nehovorí, ale sú široko používané pri príprave súťažných úloh vrátane jednotnej štátnej skúšky.

1. Rovnice riešené logaritmickou metódou

Pri riešení rovníc obsahujúcich premennú v základe aj v exponente sa používa logaritmická metóda. Ak zároveň exponent obsahuje logaritmus, potom musia byť obe strany rovnice logaritmované so základom tohto logaritmu.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: x log 2 x+2 = 8.

Riešenie.

Zoberme logaritmus ľavej a pravej strany rovnice na základ 2. Dostaneme

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Nech log 2 x = t.

Potom (t + 2) t = 3.

t2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. ti = 1; t2 = -3.

Takže log 2 x = 1 a x 1 = 2 alebo log 2 x = -3 a x 2 = 1/8

Odpoveď: 1/8; 2.

2. Homogénne logaritmické rovnice.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Riešenie.

Oblasť rovnice

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log3 (x + 5) = 0 pri x = -4. Kontrolou to určíme daná hodnota x nie je koreň pôvodnej rovnice. Preto môžeme obe strany rovnice vydeliť log 2 3 (x + 5).

Získame log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Nech log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Potom t 2 – 3 t + 2 = 0. Korene tejto rovnice sú 1; 2. Ak sa vrátime k pôvodnej premennej, dostaneme súbor dvoch rovníc

Ak však vezmeme do úvahy existenciu logaritmu, musíme zvážiť iba hodnoty (0; 9). To znamená, že výraz na ľavej strane najvyššia hodnota 2 pre x = 1. Uvažujme teraz funkciu y = 2 x-1 + 2 1-x. Ak vezmeme t = 2 x -1, potom bude mať tvar y = t + 1/t, kde t > 0. Za takýchto podmienok má jeden kritický bod t = 1. Toto je minimálny bod. Y vin = 2. A dosiahne sa pri x = 1.

Teraz je zrejmé, že grafy uvažovaných funkcií sa môžu pretínať iba raz v bode (1; 2). Ukazuje sa, že x = 1 je jediným koreňom rovnice, ktorá sa rieši.

Odpoveď: x = 1.

Príklad 5. Riešte rovnicu log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Riešenie.

Vyriešme túto rovnicu pre log 2 x. Nech log 2 x = t. Potom t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4 (2x – 6) = (x – 5) 2. ti = -2; t2 = 3 – x.

Dostaneme rovnicu log 2 x = -2 alebo log 2 x = 3 – x.

Koreň prvej rovnice je x 1 = 1/4.

Výberom nájdeme koreň rovnice log 2 x = 3 – x. Toto je číslo 2. Tento koreň je jedinečný, pretože funkcia y = log 2 x rastie v celom definičnom obore a funkcia y = 3 – x je klesajúca.

Je ľahké skontrolovať, či obe čísla sú koreňmi rovnice

Odpoveď:1/4; 2.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy e-mailom atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Nami zozbierané osobné údaje nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym konaním, súdnym konaním a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne orgány na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Príprava na záverečný test z matematiky obsahuje dôležitú časť - „Logaritmy“. Úlohy z tejto témy sú nevyhnutne obsiahnuté v Jednotnej štátnej skúške. Skúsenosti z minulých rokov ukazujú, že logaritmické rovnice spôsobujú mnohým školákom ťažkosti. Preto študenti s rôznymi úrovňami výcviku musia pochopiť, ako nájsť správnu odpoveď a rýchlo sa s nimi vyrovnať.

Absolvujte úspešne certifikačný test pomocou vzdelávacieho portálu Shkolkovo!

V príprave na jednotnú štátna skúška Absolventi stredných škôl vyžadujú spoľahlivý zdroj, ktorý poskytuje najúplnejšie a najpresnejšie informácie na úspešné vyriešenie testových problémov. Učebnica však nie je vždy po ruke a hľadanie potrebných pravidiel a vzorcov na internete si často vyžaduje čas.

Vzdelávací portál Shkolkovo vám umožňuje pripraviť sa na Jednotnú štátnu skúšku kdekoľvek a kedykoľvek. Naša webová stránka ponúka najpohodlnejší prístup k opakovaniu a asimilácii veľkého množstva informácií o logaritmoch, ako aj o jednej a niekoľkých neznámych. Začnite jednoduchými rovnicami. Ak sa s nimi vyrovnáte bez problémov, prejdite na zložitejšie. Ak máte problém vyriešiť konkrétnu nerovnosť, môžete si ju pridať do obľúbených, aby ste sa k nej mohli vrátiť neskôr.

Vzorce potrebné na dokončenie úlohy, zopakovanie špeciálnych prípadov a metód na výpočet koreňa štandardnej logaritmickej rovnice nájdete v časti „Teoretická pomoc“. Učitelia Shkolkovo zhromaždili, systematizovali a prezentovali všetky materiály potrebné na úspešné absolvovanie v najjednoduchšej a najzrozumiteľnejšej forme.

Aby ste mohli ľahko zvládnuť úlohy akejkoľvek zložitosti, na našom portáli sa môžete zoznámiť s riešením niektorých štandardných logaritmických rovníc. Ak to chcete urobiť, prejdite do časti „Katalógy“. Predstavujeme veľké množstvo príklady vrátane rovníc profilovej úrovne Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Študenti zo škôl z celého Ruska môžu využívať náš portál. Ak chcete začať vyučovanie, jednoducho sa zaregistrujte v systéme a začnite riešiť rovnice. Na konsolidáciu výsledkov vám odporúčame, aby ste sa denne vracali na webovú stránku Shkolkovo.

Algebra 11. ročník

Téma: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“

Ciele lekcie:

vzdelávacie: budovanie vedomostí o rôznymi spôsobmi riešenie logaritmických rovníc, schopnosť ich aplikovať v každej konkrétnej situácii a zvoliť si akúkoľvek metódu riešenia;

vyvíja: rozvoj zručností pozorovať, porovnávať, aplikovať poznatky v novej situácii, identifikovať vzory, zovšeobecňovať; rozvíjanie zručností vzájomnej kontroly a sebakontroly;

vzdelávacie: podporovať zodpovedný prístup k vzdelávacej práci, pozorné vnímanie učiva na hodine a starostlivé písanie poznámok.

Typ lekcie : lekcia o predstavovaní nového materiálu.

"Vynález logaritmov, zatiaľ čo znížil prácu astronóma, predĺžil jeho život."
Francúzsky matematik a astronóm P.S. Laplace

Pokrok v lekcii

I. Stanovenie cieľa lekcie

Naštudovaná definícia logaritmu, vlastnosti logaritmov a logaritmická funkcia nám umožnia riešiť logaritmické rovnice. Všetky logaritmické rovnice, bez ohľadu na to, aké zložité sú, sa riešia pomocou jednotných algoritmov. Na tieto algoritmy sa pozrieme v dnešnej lekcii. Nie je ich veľa. Ak ich zvládnete, každá rovnica s logaritmami bude realizovateľná pre každého z vás.

Zapíšte si tému lekcie do zošita: „Metódy riešenia logaritmických rovníc“. Pozývam všetkých k spolupráci.

II. Aktualizácia referenčných znalostí

Pripravme sa na štúdium témy lekcie. Vyriešte každú úlohu a zapíšte si odpoveď, nemusíte písať podmienku. Pracujte vo dvojiciach.

1) Pre aké hodnoty x má funkcia zmysel:

(Odpovede sú skontrolované pre každú snímku a chyby sú vytriedené)

2) Zhodujú sa grafy funkcií?

a) y = x a

b)A

3) Prepíšte rovnosti ako logaritmické rovnosti:

4) Zapíšte čísla ako logaritmy so základom 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Vypočítajte :

6) Pokúste sa obnoviť alebo doplniť chýbajúce prvky v týchto rovnosti.

III. Úvod do nového materiálu

Na obrazovke sa zobrazí nasledujúce vyhlásenie:

"Rovnica je zlatý kľúč, ktorý otvára všetky matematické sezamy."
Moderný poľský matematik S. Kowal

Pokúste sa sformulovať definíciu logaritmickej rovnice. (Rovnica obsahujúca neznámu pod znamienkom logaritmu ).

UvažujmeNajjednoduchšia logaritmická rovnica: log A x = b (kde a>0, a ≠ 1). Keďže logaritmická funkcia rastie (alebo klesá) na množine kladných čísel a nadobúda všetky reálne hodnoty, potom z koreňovej vety vyplýva, že pre každé b má táto rovnica len jedno riešenie a to kladné.

Pamätajte na definíciu logaritmu. (Logaritmus čísla x k základu a je ukazovateľom mocniny, na ktorú musí byť základ a umocnený, aby sa získalo číslo x ). Z definície logaritmu to hneď vyplývaA V je takéto riešenie.

Napíšte názov:Metódy riešenia logaritmických rovníc

1. Podľa definície logaritmu .

Takto sa riešia najjednoduchšie rovnice formulára.

Uvažujmeč. 514(a) ): Vyriešte rovnicu

Ako to navrhujete riešiť? (Podľa definície logaritmu )

Riešenie . , teda 2x – 4 = 4; x = 4.

odpoveď: 4.

V tejto úlohe 2x – 4 > 0, keďže> 0, takže sa nemôžu objaviť žiadne cudzie korene anetreba kontrolovať . V tejto úlohe nie je potrebné vypisovať podmienku 2x – 4 > 0.

2. Potencovanie (prechod od logaritmu daného výrazu k tomuto výrazu samotnému).

Uvažujmeč. 519(g): log 5 ( x 2 +8)- log 5 ( x+1)=3 log 5 2

Akú vlastnosť ste si všimli?(Základy sú rovnaké a logaritmy týchto dvoch výrazov sú rovnaké) . Čo sa dá robiť?(Potencovať).

Malo by sa vziať do úvahy, že akékoľvek riešenie je obsiahnuté medzi všetkými x, pre ktoré sú logaritmické výrazy kladné.

Riešenie: ODZ:

X 2 +8>0 zbytočná nerovnosť

log 5 ( x 2 +8) = log 5 2 3 + log 5 ( x+1)

log 5 ( x 2 +8)= log 5 (8 x+8)

Zosilnime pôvodnú rovnicu

x 2 +8= 8 x+8

dostaneme rovnicux 2 +8= 8 x+8

Poďme to vyriešiť:x 2 -8 x=0

x = 0, x = 8

Odpoveď: 0; 8

Vo všeobecnostiprechod na ekvivalentný systém :

Rovnica

(Systém obsahuje nadbytočnú podmienku – jednu z nerovností netreba brať do úvahy).

Otázka pre triedu : Ktoré z týchto troch riešení sa vám páčilo najviac? (Diskusia o metódach).

Máte právo rozhodnúť sa akýmkoľvek spôsobom.

3. Zavedenie novej premennej .

Uvažujmeč. 520(g) . .

čo si si všimol? (Toto kvadratická rovnica relatívne k log3x) Aké sú vaše návrhy? (Zadajte novú premennú)

Riešenie . ODZ: x > 0.

Nechaj, potom bude mať rovnica tvar:. Diskriminant D > 0. Korene podľa Vietovej vety:.

Vráťme sa k náhrade:alebo.

Po vyriešení najjednoduchších logaritmických rovníc dostaneme:

; .

Odpoveď : 27;

4. Logaritmujte obe strany rovnice.

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie : ODZ: x>0, zoberme logaritmus oboch strán rovnice v základe 10:

. Použime vlastnosť logaritmu mocniny:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Nech logx = y, potom (y + 3)y = 4

, (D > 0) korene podľa Vietovej vety: y1 = -4 a y2 = 1.

Vráťme sa k náhrade, dostaneme: lgx = -4,; logx = 1,. . Je to nasledovné: ak jedna z funkcií y = f(x) zvyšuje, a ďalšie y = g(x) klesá na intervale X, potom rovnica f(x)= g(x) má najviac jeden koreň na intervale X .