Ako pochopiť, či je číslo racionálne alebo nie. čísla. Racionálne čísla

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé čísla a zlomky) a nulou. Viac presný koncept racionálne čísla, znie takto:

Racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené ako spoločný zlomok m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n — prirodzené čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, Kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla), b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

IN skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselných deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo na približný odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. Poriadok a A b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať 1 a iba jeden z 3 vzťahov medzi nimi: “<», «>" alebo "=". Toto je pravidlo - objednávacie pravidlo a formuluj to takto:

2 kladné čísla a=m a /n a A b=mb/nb súvisia rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ n b A m b⋅ n a;
2 záporné čísla a A b súvisia rovnakým pomerom ako 2 kladné čísla |b| A |a|;
Kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje sumačné pravidlo, ktorý ich spája s určitým racionálnym číslom c. Navyše samotné číslo c- Toto súčetčísla a A b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Súhrnné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb + mb⋅ n a)/(n a⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a A b Existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácečísla a A b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

Pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b A c Ak a menej b A b menej c, To a menej c, a ak a rovná sa b A b rovná sa c, To a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Zmena miesta racionálnych členov nezmení súčet.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Adičná asociativita. Poradie, v ktorom sú sčítané 3 racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Q a+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo a keď sa sčítajú, výsledkom je 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmena miesta racionálnych faktorov nezmení produkt.

∀ a,b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia 3 racionálne čísla, nemá na výsledok žiadny vplyv.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Prítomnosť recipročných čísel. Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distributívneho zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Vzťah medzi objednávkovým vzťahom a operáciou sčítania. Do ľavej a pravej časti racionálna nerovnosť pridajte rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Vzťah medzi reláciou objednávky a operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Q c > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Téma racionálnych čísel je pomerne rozsiahla. Môžete o tom hovoriť donekonečna a písať celé diela, zakaždým vás prekvapia nové funkcie.

Aby sme sa v budúcnosti vyhli chybám, v tejto lekcii prenikneme trochu hlbšie do témy racionálnych čísel, pozbierame z nej potrebné informácie a ideme ďalej.

Obsah lekcie

Čo je racionálne číslo

Racionálne číslo je číslo, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a- toto je čitateľ zlomku, b je menovateľ zlomku. Navyše b nesmie byť nula, pretože delenie nulou nie je povolené.

Racionálne čísla zahŕňajú nasledujúce kategórie čísel:

celé čísla (napríklad −2, −1, 0 1, 2 atď.)

desatinné zlomky (napríklad 0,2 atď.)

nekonečné periodické zlomky (napríklad 0, (3) atď.)

Každé číslo v tejto kategórii môže byť vyjadrené ako zlomok.

Príklad 1 Celé číslo 2 môže byť vyjadrené ako zlomok. To znamená, že číslo 2 platí nielen pre celé čísla, ale aj pre racionálne.

Príklad 2 Zmiešané číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Tento zlomok sa získa prevodom zmiešaného čísla na nesprávny zlomok

Prostriedky zmiešané číslo odkazuje na racionálne čísla.

Príklad 3 Desatinné číslo 0,2 môže byť vyjadrené ako zlomok. Táto frakcia bola získaná premenou desatinného zlomku 0,2 na bežný zlomok. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Od r desiatkový 0,2 môže byť vyjadrené ako zlomok, čo znamená, že patrí aj k racionálnym číslam.

Príklad 4. Nekonečný periodický zlomok 0, (3) môže byť reprezentovaný zlomkom. Táto frakcia sa získa premenou čistej periodickej frakcie na bežnú frakciu. Ak máte v tomto bode ťažkosti, zopakujte tému.

Keďže nekonečný periodický zlomok 0, (3) možno znázorniť zlomkom, znamená to, že patrí aj medzi racionálne čísla.

V budúcnosti budeme čoraz častejšie volať všetky čísla, ktoré môžu byť vyjadrené ako zlomok jednou frázou - racionálne čísla.

Racionálne čísla na súradnicovej čiare

Pozreli sme sa na súradnicovú čiaru, keď sme študovali záporné čísla. Pripomeňme, že ide o priamku, na ktorej leží veľa bodov. Vyzerá takto:

Tento obrázok ukazuje malý fragment súradnicovej čiary od -5 do 5.

Označenie celých čísel v tvare 2, 0, −3 na súradnicovej čiare nie je zložité.

Veci sú oveľa zaujímavejšie s inými číslami: s obyčajnými zlomkami, zmiešanými číslami, desatinnými číslami atď. Tieto čísla ležia medzi celými číslami a týchto čísel je nekonečne veľa.

Vyznačme si napríklad racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto číslo sa nachádza presne medzi nulou a jednotkou

Skúsme pochopiť, prečo sa zlomok zrazu nachádza medzi nulou a jednotkou.

Ako bolo uvedené vyššie, medzi celými číslami ležia ďalšie čísla - bežné zlomky, desatinné miesta, zmiešané čísla atď. Napríklad, ak zväčšíte časť súradnicovej čiary z 0 na 1, uvidíte nasledujúci obrázok

Je vidieť, že medzi celými číslami 0 a 1 sú ďalšie racionálne čísla, ktoré sú známymi desatinnými zlomkami. Tu môžete vidieť náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,5. Dôkladné preskúmanie tohto čísla dáva odpoveď na otázku, prečo sa zlomok nachádza práve tam.

Zlomok znamená delenie 1 2. A ak 1 delíme 2, dostaneme 0,5

Desatinný zlomok 0,5 možno zamaskovať ako iné zlomky. Zo základnej vlastnosti zlomku vieme, že ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, potom sa hodnota zlomku nemení.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí ľubovoľným číslom, napríklad číslom 4, dostaneme nový zlomok a tento zlomok sa tiež rovná 0,5

To znamená, že na súradnicovej čiare môže byť zlomok umiestnený na rovnakom mieste, kde sa zlomok nachádzal

Príklad 2 Skúsme na súradnici vyznačiť racionálne číslo. Toto číslo sa nachádza presne medzi číslami 1 a 2

Hodnota zlomku je 1,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 1 na 2, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že medzi celými číslami 1 a 2 sú ďalšie racionálne čísla, ktoré sú známymi desatinnými zlomkami. Tu môžete vidieť náš zlomok, ktorý sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 1,5.

Zväčšili sme určité segmenty na súradnicovej čiare, aby sme videli zostávajúce čísla ležiace na tomto segmente. V dôsledku toho sme objavili desatinné zlomky, ktoré mali jednu číslicu za desatinnou čiarkou.

Neboli to však jediné čísla ležiace na týchto segmentoch. Na súradnicovej čiare leží nekonečne veľa čísel.

Nie je ťažké uhádnuť, že medzi desatinnými zlomkami, ktoré majú jednu číslicu za desatinnou čiarkou, sú ďalšie desatinné zlomky, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice. Inými slovami, stotiny segmentu.

Skúsme napríklad vidieť čísla, ktoré ležia medzi desatinnými zlomkami 0,1 a 0,2

Ďalší príklad. Desatinné zlomky, ktoré majú za desatinnou čiarkou dve číslice a ležia medzi nulou a racionálnym číslom 0,1, vyzerajú takto:

Príklad 3 Označme racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto racionálne číslo bude veľmi blízko nule

Hodnota zlomku je 0,02

Ak zväčšíme segment z 0 na 0,1, uvidíme, kde presne sa nachádza racionálne číslo

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 0,02.

Príklad 4. Označme racionálne číslo 0 na súradnici, (3)

Racionálne číslo 0, (3) je nekonečný periodický zlomok. Jeho zlomková časť nikdy nekončí, je nekonečná

A keďže číslo 0,(3) má nekonečnú zlomkovú časť, znamená to, že nebudeme schopní nájsť presné miesto na súradnicovej čiare, kde sa toto číslo nachádza. Toto miesto môžeme naznačiť len približne.

Racionálne číslo 0,33333... sa bude nachádzať veľmi blízko bežného desatinného zlomku 0,3

Tento obrázok neukazuje presné umiestnenie čísla 0,(3). Toto je len ilustrácia, ktorá ukazuje, ako blízko môže byť periodický zlomok 0.(3) k bežnému desatinnému zlomku 0,3.

Príklad 5. Označme racionálne číslo na súradnicovej čiare. Toto racionálne číslo sa bude nachádzať v strede medzi číslami 2 a 3

Toto sú 2 (dve celé čísla) a (jedna sekunda). Zlomok sa tiež nazýva „polovica“. Preto sme na súradnicovej čiare označili dva celé segmenty a ďalší polovičný segment.

Ak zmiešané číslo prevedieme na nevlastný zlomok, dostaneme obyčajný zlomok. Tento zlomok na súradnicovej čiare bude umiestnený na rovnakom mieste ako zlomok

Hodnota zlomku je 2,5

Ak zväčšíme úsek súradnicovej čiary z 2 na 3, uvidíme nasledujúci obrázok:

Je vidieť, že naše racionálne číslo sa nachádza na rovnakom mieste ako desatinný zlomok 2,5

Mínus pred racionálnym číslom

V predchádzajúcej lekcii, ktorá sa volala, sme sa naučili deliť celé čísla. Kladné aj záporné čísla môžu pôsobiť ako dividenda a deliteľ.

Uvažujme o najjednoduchšom výraze

(−6) : 2 = −3

V tomto výraze je dividenda (-6) záporné číslo.

Teraz zvážte druhý výraz

6: (−2) = −3

Tu je už deliteľ (−2) záporné číslo. Ale v oboch prípadoch dostaneme rovnakú odpoveď -3.

Vzhľadom na to, že každé delenie možno zapísať ako zlomok, môžeme vyššie uvedené príklady napísať aj ako zlomok:

A keďže v oboch prípadoch je hodnota zlomku rovnaká, mínus v čitateli alebo v menovateli možno urobiť spoločným tak, že ho umiestnite pred zlomok.

Preto môžete medzi výrazy a a vložiť znamienko rovnosti, pretože majú rovnaký význam

Ak sa v budúcnosti pri práci so zlomkami stretneme s mínusom v čitateli alebo menovateli, toto mínus spravíme spoločným tak, že ho umiestnime pred zlomok.

Opačné racionálne čísla

Rovnako ako celé číslo, aj racionálne číslo má svoje opačné číslo.

Napríklad pre racionálne číslo je opačné číslo . Nachádza sa na súradnicovej línii symetricky k polohe vzhľadom na počiatok súradníc. Inými slovami, obe tieto čísla sú rovnako vzdialené od pôvodu

Prevod zmiešaných čísel na nesprávne zlomky

Vieme, že na to, aby sme zmiešané číslo previedli na nevlastný zlomok, musíme celú časť vynásobiť menovateľom zlomkovej časti a pripočítať ju k čitateľovi zlomkovej časti. Výsledné číslo bude čitateľom nového zlomku, no menovateľ zostane rovnaký.

Preveďme napríklad zmiešané číslo na nesprávny zlomok

Vynásobte celú časť menovateľom zlomkovej časti a pridajte čitateľa zlomkovej časti:

Vypočítajme tento výraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Výsledné číslo 5 bude čitateľom nového zlomku, ale menovateľ zostane rovnaký:

Úplne tento postup sa píše takto:

Ak chcete vrátiť pôvodné zmiešané číslo, stačí vybrať celú časť v zlomku

Ale táto metóda prevodu zmiešaného čísla na nesprávny zlomok je použiteľná iba vtedy, ak je zmiešané číslo kladné. Táto metóda nebude fungovať pre záporné číslo.

Zoberme si zlomok. Vyberme celú časť tohto zlomku. dostaneme

Ak chcete vrátiť pôvodný zlomok, musíte previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Ak však použijeme staré pravidlo, konkrétne vynásobíme celú časť menovateľom zlomkovej časti a k výslednému číslu pridáme čitateľa zlomkovej časti, dostaneme nasledujúci rozpor:

Dostali sme zlomok, ale zlomok sme mali dostať.

Dospeli sme k záveru, že zmiešané číslo bolo nesprávne prevedené na nesprávny zlomok:

Ak chcete správne previesť záporné zmiešané číslo na nesprávny zlomok, musíte vynásobiť celú časť menovateľom zlomkovej časti a z výsledného čísla odčítaťčitateľ zlomkovej časti. V tomto prípade nám všetko padne na svoje miesto

Záporné zmiešané číslo je opakom zmiešaného čísla. Ak je kladné zmiešané číslo umiestnené na pravej strane a vyzerá takto

V tejto lekcii sa dozvieme o mnohých racionálnych číslach. Poďme analyzovať základné vlastnosti racionálnych čísel, naučiť sa prevádzať desatinné zlomky na obyčajné zlomky a naopak.

O množinách prirodzených a celých čísel sme už hovorili. Množina prirodzených čísel je podmnožinou celých čísel.

Teraz sme sa naučili, čo sú zlomky a naučili sme sa s nimi pracovať. Napríklad zlomok nie je celé číslo. To znamená, že musíme popísať novú množinu čísel, ktorá bude obsahovať všetky zlomky a táto množina potrebuje názov, jasnú definíciu a označenie.

Začnime názvom. Latinské slovo ratio sa do ruštiny prekladá ako pomer, zlomok. Z tohto slova pochádza aj názov nového súboru „racionálne čísla“. To znamená, že „racionálne čísla“ možno preložiť ako „zlomkové čísla“.

Poďme zistiť, z akých čísel sa táto sada skladá. Môžeme predpokladať, že pozostáva zo všetkých zlomkov. Napríklad také - . Takáto definícia by však nebola úplne správna. Zlomok nie je samotné číslo, ale forma zápisu čísla. V nižšie uvedenom príklade dva rôzne frakcie predstavujú rovnaké číslo:

Potom by bolo presnejšie povedať, že racionálne čísla sú tie čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok. A toto je v skutočnosti takmer rovnaká definícia, ktorá sa používa v matematike.

Táto sada je označená písmenom . Ako súvisia množiny prirodzených a celých čísel s novou množinou racionálnych čísel? Prirodzené číslo možno zapísať ako zlomok nekonečným množstvom spôsobov. A keďže to môže byť znázornené ako zlomok, potom je to aj racionálne.

Situácia je podobná so zápornými celými číslami. Akékoľvek záporné celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok . Je možné reprezentovať číslo nula ako zlomok? Samozrejme môžete, tiež nekonečným množstvom spôsobov .

Všetky prirodzené čísla a všetky celé čísla sú teda tiež racionálne čísla. Množiny prirodzených čísel a celých čísel sú podmnožiny množiny racionálnych čísel ().

Uzatvorenosť množín vzhľadom na aritmetické operácie

Potrebu zaviesť nové čísla – celé čísla, potom racionálne – možno vysvetliť nielen problémami z reálneho života. To nám hovoria samotné aritmetické operácie. Pridajme dve prirodzené čísla: . Opäť dostaneme prirodzené číslo.

Hovorí sa, že množina prirodzených čísel je uzavretá operáciou sčítania (uzatvorená pod sčítaním). Sami sa zamyslite, či je množina prirodzených čísel uzavretá pod násobením.

Len čo sa pokúsime od čísla odčítať niečo rovnaké alebo väčšie, ostanú nám prirodzené čísla. Zavedenie nuly a záporných celých čísel opravuje situáciu:

Množina celých čísel je uzavretá pri odčítaní. Môžeme sčítať a odčítať akékoľvek celé číslo bez toho, aby sme sa báli, že nebudeme mať číslo, s ktorým by sme zapísali výsledok (uzavreté k sčítaniu a odčítaniu).

Je množina celých čísel uzavretá pod násobením? Áno, výsledkom súčinu akýchkoľvek dvoch celých čísel je celé číslo (uzavreté pod sčítaním, odčítaním a násobením).

Zostáva ešte jedna akcia – rozdelenie. Je množina celých čísel uzavretá pod delením? Odpoveď je zrejmá: nie. Rozdeľme podľa. Medzi celými číslami nie je také číslo na zapísanie odpovede: .

Ale pomocou zlomku môžeme takmer vždy zapísať výsledok delenia jedného celého čísla druhým. Prečo takmer? Pamätajte, že podľa definície nemôžete deliť nulou.

Množina racionálnych čísel (ktorá vzniká pri zavedení zlomkov) teda tvrdí, že je množinou uzavretou pod všetkými štyrmi aritmetickými operáciami.

Poďme si to overiť.

To znamená, že množina racionálnych čísel je uzavretá pri sčítaní, odčítaní, násobení a delení, s výnimkou delenia nulou. V tomto zmysle môžeme povedať, že množina racionálnych čísel je štruktúrovaná „lepšie“ ako predchádzajúce množiny prirodzených a celých čísel. Znamená to, že racionálne čísla sú poslednou množinou čísel, ktorú študujeme? Nie Následne budeme mať ďalšie čísla, ktoré sa nedajú zapísať ako zlomky, napríklad iracionálne.

Čísla ako nástroj

Čísla sú nástroj, ktorý si človek vytvoril podľa potreby.

Ryža. 1. Používanie prirodzených čísel

Ďalej, keď bolo treba viesť hotovostné vyrovnania, sa pred číslo začali umiestňovať znamienka plus alebo mínus, ktoré označujú, či sa má pôvodná hodnota zvýšiť alebo znížiť. Takto sa objavili negatívne a pozitívne čísla. Nová množina sa volala množina celých čísel ().

Ryža. 2. Používanie zlomkov

Preto sa objaví nový nástroj, nové čísla - zlomky. Píšeme ich rôznymi ekvivalentnými spôsobmi: obyčajnými a desatinnými zlomkami ( ).

Všetky čísla – „staré“ (celé číslo) a „nové“ (zlomkové) – boli spojené do jednej množiny a nazvané množinou racionálnych čísel (- racionálne čísla)

Takže racionálne číslo je číslo, ktoré možno reprezentovať ako spoločný zlomok. Ale táto definícia v matematike je ďalej objasnená. Akékoľvek racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s kladným menovateľom, teda pomerom celého čísla k prirodzenému číslu: .

Potom dostaneme definíciu: číslo sa nazýva racionálne, ak ho možno reprezentovať ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom ( ).

Okrem obyčajných zlomkov používame aj desatinné čísla. Pozrime sa, ako súvisia s množinou racionálnych čísel.

Existujú tri typy desatinných miest: konečné, periodické a neperiodické.

Nekonečné neperiodické zlomky: takéto zlomky majú tiež nekonečný počet desatinných miest, ale bodka neexistuje. Príkladom je desiatkový zápis PI:

Akýkoľvek konečný desatinný zlomok je podľa definície obyčajný zlomok s menovateľom atď.

Prečítajme si nahlas desatinný zlomok a napíšme ho v obyčajnom tvare: , .

Keď sa vrátite od zápisu zlomku k desatinnému miestu, môžete získať konečné desatinné zlomky alebo nekonečné periodické zlomky.

Prevod zo zlomku na desatinné číslo

Najjednoduchší prípad je, keď menovateľom zlomku je mocnina desať: atď. Potom použijeme definíciu desatinného zlomku:

Existujú zlomky, ktorých menovateľ sa dá ľahko zredukovať na tento tvar: . K takémuto zápisu je možné prejsť, ak rozšírenie menovateľa zahŕňa len dvojky a päťky.

Menovateľ pozostáva z troch dvojíc a jednej päťky. Každý tvorí desiatku. To znamená, že nám chýbajú dvaja. Vynásobte čitateľom aj menovateľom:

Dalo sa to urobiť inak. Rozdeľte stĺpcom (pozri obr. 1).

Ryža. 2. Delenie stĺpcov

V prípade with sa menovateľ nemôže zmeniť na iné ciferné číslo, pretože jeho rozšírenie zahŕňa trojku. Zostáva už len jeden spôsob – deliť v stĺpci (pozri obr. 2).

Takéto rozdelenie v každom kroku poskytne zvyšok a kvocient. Tento proces je nekonečný. To znamená, že sme dostali nekonečný periodický zlomok s bodkou

Poďme cvičiť. Preveďme obyčajné zlomky na desatinné miesta.

Vo všetkých týchto príkladoch sme skončili s konečným desatinným zlomkom, pretože rozšírenie menovateľa zahŕňalo iba dvojky a päťky.

(skontrolujme sa rozdelením do tabuľky - viď obr. 3).

Ryža. 3. Dlhé delenie

Ryža. 4. Delenie stĺpcov

(pozri obr. 4)

Rozšírenie menovateľa zahŕňa trojicu, čo znamená uvedenie menovateľa do tvaru atď. nebude to fungovať. Rozdeľte podľa do stĺpca. Situácia sa bude opakovať. Vo výsledkovej listine bude nekonečný počet trojíc. Teda, .

(pozri obr. 5)

Ryža. 5. Delenie stĺpcov

Takže každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako obyčajný zlomok. Toto je jeho definícia.

A každý obyčajný zlomok môže byť reprezentovaný ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Typy zaznamenávania zlomkov:

zápis desatinného zlomku v tvare obyčajného zlomku: ; ;

zápis bežného zlomku ako desatinné číslo: (koncový zlomok); (nekonečné periodické).

To znamená, že každé racionálne číslo možno zapísať ako konečný alebo periodický desatinný zlomok. V tomto prípade môže byť konečný zlomok tiež považovaný za periodický s periódou nula.

Niekedy sa racionálnemu číslu dáva presne táto definícia: racionálne číslo je číslo, ktoré možno zapísať ako periodický desatinný zlomok.

Periodická konverzia zlomkov

Uvažujme najprv zlomok, ktorého perióda pozostáva z jednej číslice a nemá predbodku. Označme toto číslo písmenom . Metóda je získať ďalšie číslo s rovnakou bodkou:

Môžete to urobiť vynásobením pôvodného čísla číslom . Číslo má teda rovnakú bodku. Odpočítajte od samotného čísla:

Aby sme sa uistili, že sme všetko urobili správne, urobme teraz prechod opačným smerom, nám už známym spôsobom - rozdelením do stĺpca podľa (pozri obr. 1).

V skutočnosti získame číslo v jeho pôvodnej podobe s bodkou.

Uvažujme číslo s predobdobím a dlhším obdobím: . Metóda zostáva úplne rovnaká ako v predchádzajúcom príklade. Potrebujeme získať nové číslo s rovnakou bodkou a rovnako dlhou predbodkou. K tomu je potrebné, aby sa čiarka posunula doprava o dĺžku bodky, t.j. dvoma postavami. Vynásobte pôvodné číslo:

Odčítajme pôvodný výraz od výsledného výrazu:

Aký je teda algoritmus prekladu? Periodický zlomok sa musí vynásobiť číslom tvaru atď., ktoré má toľko núl, koľko je číslic v perióde desatinného zlomku. Dostávame nový periodický. Napríklad:

Odčítaním ďalšieho od jedného periodického zlomku dostaneme konečný desatinný zlomok:

Zostáva vyjadriť pôvodný periodický zlomok vo forme obyčajného zlomku.

Na precvičenie si sami napíšte niekoľko periodických zlomkov. Pomocou tohto algoritmu ich zredukujte do podoby obyčajného zlomku. Ak chcete skontrolovať na kalkulačke, vydeľte čitateľa menovateľom. Ak je všetko správne, dostanete pôvodný periodický zlomok

Akýkoľvek konečný alebo nekonečný periodický zlomok teda môžeme zapísať ako obyčajný zlomok, ako podiel prirodzeného čísla a celého čísla. Tie. všetky takéto zlomky sú racionálne čísla.

A čo neperiodické zlomky? Ukazuje sa, že neperiodické zlomky nemožno reprezentovať ako obyčajné zlomky (tento fakt prijmeme bez dôkazu). To znamená, že nejde o racionálne čísla. Nazývajú sa iracionálne.

Nekonečné neperiodické zlomky

Ako sme už povedali, racionálne číslo v desiatkovom zápise je buď konečný alebo periodický zlomok. To znamená, že ak dokážeme zostrojiť nekonečný neperiodický zlomok, tak dostaneme neracionálne, teda iracionálne číslo.

Tu je jeden spôsob, ako to skonštruovať: Zlomková časť tohto čísla pozostáva iba z núl a jednotiek. Počet núl medzi jednotkami sa zvýši o . Tu nie je možné zdôrazniť opakujúcu sa časť. To znamená, že zlomok nie je periodický.

Precvičte si zostavovanie neperiodických desatinných zlomkov, teda iracionálnych čísel, na vlastnej koži

Známym príkladom iracionálneho čísla je pi ( ). V tomto zázname nie je žiadna bodka. Ale okrem pí existuje nekonečne veľa ďalších iracionálnych čísel. O iracionálnych číslach si povieme viac neskôr.

Matematika 5. ročník. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I., 31. vydanie, vymazané. - M: Mnemosyne, 2013.
Matematika 5. ročník. Erina T.M. Pracovný zošit k učebnici od Vilenkina N.Ya., M.: Skúška, 2013.
Matematika 5. ročník. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M.: Ventana - Graf, 2013.

Math-prosto.ru ().
Cleverstudents.ru ().
Mathematics-repetition.com ().

Domáce úlohy

V tomto článku začneme skúmať racionálne čísla. Tu uvedieme definície racionálnych čísel, poskytneme potrebné vysvetlenia a uvedieme príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto časti uvedieme niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formuláciách majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomky, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich protiklady a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel, ktorý je vnímaný najprirodzenejšie.

Z uvedenej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

Akékoľvek prirodzené číslo n. V skutočnosti môžete akékoľvek prirodzené číslo reprezentovať ako obyčajný zlomok, napríklad 3=3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. V skutočnosti môže byť akékoľvek celé číslo zapísané ako kladný zlomok, záporný zlomok alebo nula. Napríklad 26=26/1, .
Akýkoľvek spoločný zlomok (kladný alebo záporný). To priamo potvrdzuje daná definícia racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti môžete vždy reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Napríklad a.
Akýkoľvek konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický zlomok. Dôvodom je skutočnosť, že uvedené desatinné zlomky sú prevedené na bežné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3.

Je tiež jasné, že akýkoľvek nekonečný neperiodický desatinný zlomok NIE JE racionálnym číslom, pretože ho nemožno reprezentovať ako bežný zlomok.

Teraz môžeme ľahko dať príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58, -72, 0, -833,333,333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v stručnejšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že čiaru zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel na delenie celých čísel vyplýva platnosť nasledujúcich rovníc a. To je teda dôkaz.

Uveďme príklady racionálnych čísel na základe túto definíciu. Čísla −5, 0, 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru, resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5, 0, -13 sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 a -7, (18).

Dokončime teóriu tohto bodu nasledujúcimi tvrdeniami:

celé čísla a zlomky (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok predstavuje určité racionálne číslo;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že akékoľvek prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok, ako aj akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla zo súboru zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo uvedené v tvare nejaké , alebo ako , atď., Ako odpovedať na otázku, či je toto číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké odpovedať. Naznačme niektoré smery myslenia.

Ak je číslo zadané ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a aritmetické znamienka (+, −, · a:), potom hodnota tohto výrazu je racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18.

Niekedy po zjednodušení výrazov a ich skomplikovaní je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie, nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre 8. ročník, uvedenej nižšie v zozname literatúry). Aj to bolo dokázané druhá odmocnina prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď koreň obsahuje číslo, ktoré je dokonalou druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81 = 9 2 a 1 024 = 32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké si všimnúť, že toto číslo je preto racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel nie sú z nejakého dôvodu racionálne čísla. Ukážme napríklad, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda povedzme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom dáme nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m. Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nie racionálne číslo.

Na záver je potrebné poznamenať, že pri určovaní racionality alebo iracionality čísel by sme sa mali zdržať náhlych záverov.

Napríklad by ste nemali okamžite tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „zdanlivo zrejmé“, ale nie je to dokázané. To vyvoláva otázku: "Prečo by bol produkt racionálnym číslom?" A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo: .

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, ktorých iracionálna sila je racionálne číslo. Pre ilustráciu uvádzame stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Referencie.

Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé čísla a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

Racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené ako spoločný zlomok m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- prirodzené čísla, napríklad 2/3.