Sily f1 a f2 sú rovnaké. Výsledok dvoch síl. Určenie výslednice dvoch síl

Na zodpovedanie tejto otázky je potrebné vyvodiť niektoré závery z problémových podmienok:

1. Smer týchto síl;
2. Modulárna hodnota síl F1 a F2;
3. Môžu tieto sily vytvoriť takú výslednú silu, ktorá posunie vozík z jeho miesta?

Smer síl

Aby bolo možné určiť hlavné charakteristiky pohybu vozíka pod vplyvom dvoch síl, je potrebné poznať ich smer. Napríklad, ak je vozík ťahaný doprava silou rovnajúcou sa 5 N a tá istá sila ťahá vozík doľava, potom je logické predpokladať, že vozík zostane stáť. Ak sú sily súsmerné, na nájdenie výslednej sily je potrebné nájsť iba ich súčet. Ak nejaká sila smeruje pod uhlom k rovine pohybu vozíka, potom hodnotu tejto sily treba vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom sily a rovinou. Matematicky by to vyzeralo takto:

F = F1 * cosa; Kde

F – sila smerujúca rovnobežne s povrchom pohybu.

Kosínusová veta na nájdenie výsledného vektora síl

Ak majú dve sily svoj počiatok v jednom bode a medzi ich smerom je určitý uhol, potom je potrebné trojuholník doplniť výsledným vektorom (teda tým, ktorý spája konce vektorov F1 a F2). Nájdime výslednú silu pomocou kosínusovej vety, ktorá hovorí, že druhá mocnina ľubovoľnej strany trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín ďalších dvoch strán trojuholníka mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla. medzi nimi. Napíšme to v matematickej forme:

F = F 1 2 + F 2 2 - 2 * F 1 * F 2 * cosa.

Dosadením všetkých známych veličín môžete určiť veľkosť výslednej sily.

Často na telo nepôsobí jedna, ale hneď niekoľko síl súčasne. Uvažujme prípad, keď na teleso pôsobia dve sily ( a ). Napríklad teleso spočívajúce na vodorovnej ploche je ovplyvnené gravitačnou silou () a reakciou podpery povrchu () (obr. 1).

Tieto dve sily možno nahradiť jednou, ktorá sa nazýva výsledná sila (). Nájdite to ako vektorový súčet síl a:

Určenie výslednice dvoch síl

DEFINÍCIA

Výsledkom dvoch síl nazývaná sila, ktorá vyvoláva účinok na teleso podobný pôsobeniu dvoch samostatných síl.

Všimnite si, že pôsobenie každej sily nezávisí od toho, či existujú iné sily alebo nie.

Druhý Newtonov zákon pre výslednicu dvoch síl

Ak na teleso pôsobia dve sily, potom druhý Newtonov zákon zapíšeme ako:

Smer výslednice sa vždy zhoduje so smerom zrýchlenia telesa.

To znamená, že ak na teleso pôsobia dve sily () v rovnakom čase, potom zrýchlenie () tohto telesa bude priamo úmerné vektorovému súčtu týchto síl (alebo úmerné výsledným silám):

M je hmotnosť príslušného telesa. Podstatou druhého Newtonovho zákona je, že sily pôsobiace na teleso určujú, ako sa mení rýchlosť telesa, a nie len veľkosť rýchlosti telesa. Všimnite si, že druhý Newtonov zákon je splnený výlučne v inerciálnych vzťažných sústavách.

Výslednica dvoch síl sa môže rovnať nule, ak sily pôsobiace na teleso smerujú rôznymi smermi a majú rovnakú veľkosť.

Zistenie veľkosti výslednice dvoch síl

Aby ste našli výsledok, mali by ste na výkrese znázorniť všetky sily, ktoré je potrebné vziať do úvahy pri probléme pôsobiacom na telo. Sily by sa mali sčítať podľa pravidiel sčítania vektorov.

Predpokladajme, že na teleso pôsobia dve sily, ktoré smerujú pozdĺž tej istej priamky (obr. 1). Z obrázku je vidieť, že sú nasmerované rôznymi smermi.

Výsledné sily () pôsobiace na teleso sa budú rovnať:

Na zistenie modulu výsledných síl vyberieme os, označíme ju X a nasmerujeme ju v smere pôsobenia síl. Potom premietnutím výrazu (4) na os X dostaneme, že veľkosť (modul) výslednice (F) sa rovná:

kde sú moduly zodpovedajúcich síl.

Predstavme si, že na teleso pôsobia dve sily a smerujúce k sebe pod určitým uhlom (obr. 2). Výslednicu týchto síl nájdeme pomocou paralelogramového pravidla. Veľkosť výslednice sa bude rovnať dĺžke uhlopriečky tohto rovnobežníka.

Príklady riešenia problémov

PRÍKLAD 1

Problém 3.2.1

Určte výslednicu dvoch síl F 1 =50N a F 2 =30N, zvierajúcich medzi sebou uhol 30° (obr. 3.2a).

Obrázok 3.2

Presuňme vektory sily F 1 a F 2 do priesečníka akčných čiar a sčítajme ich podľa pravidla rovnobežníka (obr. 2.2b). Miesto aplikácie a smer výslednice sú znázornené na obrázku. Modul výsledného výsledku je určený vzorcom:

Odpoveď: R=77,44N

Problém 3.2.2

Určte výslednicu sústavy zbiehajúcich sa síl F 1 =10N, F 2 =15N, F 3 =20N, ak sú známe uhly, ktoré zvierajú vektory týchto síl s osou Ox: α 1 =30 °, α 2 = 45° a α3 = 60° (obr.3.3a)

Obrázok 3.3

Premietame sily na osi Ox a Oy:

Výsledný modul

Na základe získaných projekcií určíme smer výslednice (obr. 3.3b)

Odpoveď: R=44,04N

Problém 3.2.3

V mieste spojenia dvoch závitov pôsobí vertikálna sila P = 100 N (obr. 3.4a). Určte sily v závitoch, ak sú v rovnováhe uhly zvierané závitmi s osou OY rovné α=30°, β=75°.

Obrázok 3.4

Ťahové sily závitov budú smerované pozdĺž závitov od miesta pripojenia (obr. 3.4b). Sústava síl T 1, T 2, P je sústava zbiehajúcich sa síl, pretože čiary pôsobenia síl sa pretínajú v mieste spojenia nití. Podmienka rovnováhy pre tento systém:

Zostavíme analytické rovnice rovnováhy pre sústavu konvergujúcich síl a vektorovú rovnicu premietneme na osi.

Riešime sústavu získaných rovníc. Z prvej vyjadrujeme T 2.

Výsledný výraz dosadíme do druhého a určíme T 1 a T 2.

N,

Skontrolujme riešenie z podmienky, že modul P súčtu síl T 1 a T 2 sa musí rovnať P (obr. 3.4c).

Odpoveď: Ti = 100 N, T2 = 51,76 N.

Problém 3.2.4

Určte výslednicu sústavy zbiehajúcich sa síl, ak sú dané ich moduly: F 1 =12N, F 2 =10N, F 3 =15N a uhol α = 60° (obr. 3.5a).

Obrázok 3.5

Určujeme projekcie výslednice

Výsledný modul:

Na základe získaných projekcií určíme smer výslednice (obr. 3.5b)

Odpoveď: R=27,17N

Problém 3.2.6

V bode C sú kĺbovo spojené tri tyče AC, BC, DC. Určte sily v tyčiach, ak je daná sila F=50N, uhol α=60° a uhol β=75°. Sila F je v rovine Oyz. (Obr. 3.6)

Obrázok 3.6

Spočiatku predpokladáme, že všetky tyče sú natiahnuté a podľa toho riadime reakcie v tyčiach z uzla C. Výsledná sústava N 1, N 2, N 3, F je sústavou zbiehajúcich sa síl. Rovnovážny stav pre tento systém.

Výsledný. Už viete, že dve sily sa navzájom vyrovnávajú, keď majú rovnakú veľkosť a sú nasmerované opačnými smermi. Takými sú napríklad sila gravitácie a sila normálnej reakcie pôsobiaca na knihu ležiacu na stole. V tomto prípade sa hovorí, že výslednica týchto dvoch síl je nulová. Vo všeobecnosti je výslednica dvoch alebo viacerých síl sila, ktorá má na teleso rovnaký účinok ako súčasné pôsobenie týchto síl.

Uvažujme experimentálne, ako nájsť výslednicu dvoch síl smerujúcich pozdĺž jednej priamky.

Dajme skúsenosti

Na hladkú vodorovnú plochu stola položíme svetelný blok (aby bolo možné zanedbať trenie medzi blokom a povrchom stola). Blok budeme ťahať doprava pomocou jedného dynamometra a doľava pomocou dvoch dynamometrov, ako je znázornené na obr. 16.3. Upozorňujeme, že dynamometre vľavo sú pripevnené k bloku, takže napínacie sily pružín týchto dynamometrov sú rôzne.

Ryža. 16.3. Ako môžete nájsť výsledok dvoch síl?

Uvidíme, že kváder je v pokoji, ak sa veľkosť sily, ktorá ho ťahá doprava, rovná súčtu veľkostí síl ťahajúcich kváder doľava. Schéma tohto experimentu je znázornená na obr. 16.4.

Ryža. 16.4. Schematické znázornenie síl pôsobiacich na blok

Sila F 3 vyvažuje výslednicu síl F 1 a F 2, to znamená, že je jej rovná veľkosti a opačného smeru. To znamená, že výslednica síl F 1 a F 2 smeruje doľava (ako tieto sily) a jej modul sa rovná F 1 + F 2. Ak teda dve sily smerujú rovnakým spôsobom, ich výslednica smeruje rovnako ako tieto sily a modul výslednice sa rovná súčtu modulov zložiek zložiek.

Zoberme si silu F 1. Vyrovnáva výsledné sily F 2 a F 3, smerujúce v opačných smeroch. To znamená, že výslednica síl F 2 a F 3 smeruje doprava (teda k väčšej z týchto síl) a jej modul sa rovná F 3 - F 2. Ak teda dve sily, ktoré nemajú rovnakú veľkosť, smerujú opačne, ich výslednica smeruje ako väčšia z týchto síl a modul výslednice sa rovná rozdielu medzi modulmi väčšej a menšej sily.

Nájdenie výslednice viacerých síl sa nazýva sčítanie týchto síl.

Dve sily smerujú pozdĺž jednej priamky. Modul jednej sily sa rovná 1 N a modul druhej sily sa rovná 2 N. Môže byť modul výslednice týchto síl rovný: a) nule; b) 1 N; c) 2 N; d) 3 N?

Obsah článku

STATIKA, odbor mechaniky, ktorého predmetom sú hmotné telesá, ktoré sú v pokoji pri pôsobení vonkajších síl. V širšom zmysle slova je statika teória rovnováhy akéhokoľvek telesa - pevného, ​​kvapalného alebo plynného. V užšom zmysle sa pod týmto pojmom rozumie štúdium rovnováhy pevných telies, ako aj nepružných pružných telies – káblov, remeňov a reťazí. V teórii pružnosti sa uvažuje o rovnováhe deformujúcich sa pevných látok a v hydroaeromechanike o rovnováhe kvapalín a plynov.
Cm. HYDROAEROMECHANIKA.

Historické informácie.

Statika je najstaršia časť mechaniky; niektoré jeho princípy poznali už starí Egypťania a Babylončania, čoho dôkazom sú pyramídy a chrámy, ktoré stavali. Medzi prvých tvorcov teoretickej statiky patril Archimedes (asi 287–212 pred Kr.), ktorý rozvinul teóriu páky a sformuloval základný zákon hydrostatiky. Zakladateľom modernej statiky bol Holanďan S. Stevin (1548–1620), ktorý v roku 1586 sformuloval zákon o sčítaní síl alebo pravidlo rovnobežníka a aplikoval ho na riešenie množstva problémov.

Základné zákony.

Zákony statiky vyplývajú zo všeobecných zákonov dynamiky ako špeciálny prípad, keď rýchlosti pevných telies inklinujú k nule, ale z historických dôvodov a pedagogických úvah sa statika často prezentuje nezávisle od dynamiky, pričom ju stavia na nasledujúcich postulovaných zákonoch a princípoch: : a) zákon sčítania síl, b) princíp rovnováhy a c) princíp akcie a reakcie. V prípade pevných telies (presnejšie, ideálne pevných telies, ktoré sa vplyvom síl nedeformujú) sa zavádza ďalší princíp, založený na definícii tuhého telesa. Toto je princíp prenosu sily: stav pevného telesa sa nemení, keď sa miesto pôsobenia sily pohybuje pozdĺž línie jeho pôsobenia.

Sila ako vektor.

V statike možno silu považovať za ťažnú alebo tlačnú silu, ktorá má určitý smer, veľkosť a miesto pôsobenia. Z matematického hľadiska je to vektor, a preto ho možno znázorniť usmerneným úsekom priamky, ktorej dĺžka je úmerná veľkosti sily. (Vektorové veličiny sú na rozdiel od iných veličín, ktoré nemajú smer, označené tučnými písmenami.)

Rovnobežník síl.

Zvážte telo (obr. 1, A), na ktorý pôsobia sily F 1 a F 2 aplikovaný v bode O a znázornený na obrázku smerovanými segmentmi O.A. A O.B.. Ako ukazuje skúsenosť, pôsobenie síl F 1 a F 2 je ekvivalentná jednej sile R, ktorú predstavuje segment O.C.. Veľkosť sily R rovná dĺžke uhlopriečky rovnobežníka postaveného na vektoroch O.A. A O.B. ako jeho strany; jeho smer je znázornený na obr. 1, A. Pevnosť R nazývaná výsledná sila F 1 a F 2. Matematicky je to napísané ako R = F 1 + F 2, pričom sčítanie sa chápe v geometrickom zmysle slova uvedeného vyššie. Toto je prvý zákon statiky, nazývaný pravidlo rovnobežníka síl.

Výsledná sila.

Namiesto konštrukcie rovnobežníka OACB, určiť smer a veľkosť výslednice R môžete vytvoriť trojuholník OAC posunutím vektora F 2 rovnobežne so sebou, kým sa jeho počiatočný bod (predtým bod O) nezhoduje s koncom (bod A) vektora O.A.. Zadná strana trojuholníka OAC bude mať samozrejme rovnakú veľkosť a rovnaký smer ako vektor R(obr. 1, b). Tento spôsob hľadania výslednice možno zovšeobecniť na sústavu mnohých síl F 1 , F 2 ,..., F n aplikovaný v tom istom bode O posudzovaného orgánu. Ak teda systém pozostáva zo štyroch síl (obr. 1, V), potom môžeme nájsť výslednú silu F 1 a F 2, zložte ho silou F 3, potom pridajte novú výslednicu so silou F 4 a ako výsledok získajte úplný výsledok R. Výsledný R, zistený takouto grafickou konštrukciou, je reprezentovaný uzatváracou stranou polygónu síl OABCD (obr. 1, G).

Vyššie uvedená definícia výslednice sa dá zovšeobecniť na sústavu síl F 1 , F 2 ,..., F n aplikovaný v bodoch O 1, O 2,..., O n tuhého telesa. Vyberie sa bod O, nazývaný redukčný bod, a v ňom sa vybuduje systém paralelne prenášaných síl, ktoré majú rovnakú veľkosť a smer ako sily. F 1 , F 2 ,..., F n. Výsledný R týchto paralelne prenesených vektorov, t.j. vektor reprezentovaný uzatváracou stranou silového mnohouholníka sa nazýva výslednica síl pôsobiacich na teleso (obr. 2). Je jasné, že vektor R nezávisí od zvoleného referenčného bodu. Ak je veľkosť vektora R(segment ON) sa nerovná nule, potom teleso nemôže byť v pokoji: podľa Newtonovho zákona sa každé teleso, na ktoré pôsobí sila, musí pohybovať so zrýchlením. Teleso teda môže byť v rovnovážnom stave len vtedy, ak sa výslednica všetkých síl, ktoré naň pôsobia, rovná nule. Túto nevyhnutnú podmienku však nemožno považovať za dostatočnú – teleso sa môže pohybovať, keď sa výslednica všetkých síl, ktoré naň pôsobia, rovná nule.

Ako jednoduchý, ale dôležitý príklad na vysvetlenie si predstavte tenkú pevnú tyč dĺžky l, ktorého hmotnosť je zanedbateľná v porovnaní s veľkosťou síl, ktoré naň pôsobia. Nechajte na tyč pôsobiť dve sily F A -F, aplikovaný na jeho konce, rovnakej veľkosti, ale opačne nasmerovaný, ako je znázornené na obr. 3, A. V tomto prípade výsledok R rovná sa F – F= 0, ale tyč nebude v rovnováhe; samozrejme sa bude otáčať okolo svojho stredu O. Systém dvoch rovnakých, ale opačne smerujúcich síl pôsobiacich vo viac ako jednej priamke je „silový pár“, ktorý možno charakterizovať súčinom veľkosti sily F na "ramene" l. Význam takéhoto produktu môže ukázať nasledujúca úvaha, ktorá ilustruje pravidlo pákového efektu odvodené od Archimeda a vedie k záveru o podmienke rotačnej rovnováhy. Uvažujme ľahkú homogénnu tuhú tyč schopnú otáčať sa okolo osi v bode O, na ktorú pôsobí sila F 1 aplikovaný na diaľku l 1 od osi, ako je znázornené na obr. 3, b. Pod silou F 1 tyč sa bude otáčať okolo bodu O. Ako môžete ľahko vidieť zo skúseností, rotácii takejto tyče sa dá zabrániť vynaložením určitej sily F 2 v tejto vzdialenosti l 2 tak, aby platila rovnosť F 2 l 2 = F 1 l 1 .

Rotácii sa teda dá zabrániť nespočetnými spôsobmi. Dôležité je len zvoliť silu a miesto jej pôsobenia tak, aby sa súčin sily ramena rovnal F 1 l 1. Toto je pravidlo pákového efektu.

Nie je ťažké odvodiť podmienky rovnováhy pre systém. Pôsobenie síl F 1 a F 2 na osi spôsobuje protiakciu vo forme reakčnej sily R, pôsobí v bode O a smeruje opačne k silám F 1 a F 2. Podľa zákona mechaniky o akcii a reakcii je veľkosť reakcie R rovná súčtu síl F 1 + F 2. Preto je výslednica všetkých síl pôsobiacich na systém rovná F 1 + F 2 + R= 0, takže vyššie uvedená podmienka rovnováhy je splnená. Pevnosť F 1 vytvára krútiaci moment pôsobiaci v smere hodinových ručičiek, t.j. moment sily F 1 l 1 vzhľadom na bod O, ktorý je vyvážený krútiacim momentom proti smeru hodinových ručičiek F 2 l 2 právomoci F 2. Je zrejmé, že podmienkou rovnováhy telesa je rovnosť algebraického súčtu momentov k nule, čo vylučuje možnosť rotácie. Ak sila F pôsobí na tyč pod uhlom q, ako je znázornené na obr. 4, A, potom môže byť táto sila reprezentovaná ako súčet dvoch zložiek, z ktorých jedna ( F p), hodnota F cos q, pôsobí paralelne s tyčou a je vyvážený reakciou opory - F p a ďalšie ( F n), veľkosť F hriech q, nasmerovaný v pravom uhle k páke. V tomto prípade sa krútiaci moment rovná Fl hriech q; môže byť vyvážený akoukoľvek silou, ktorá vytvára rovnaký krútiaci moment pôsobiaci proti smeru hodinových ručičiek.

Na uľahčenie zohľadnenia znakov momentov v prípadoch, keď na telo pôsobí veľa síl, moment sily F vzhľadom na akýkoľvek bod O tela (obr. 4, b) možno považovať za vektor L, rovná vektorovému súčinu r ґ F polohový vektor r k sile F. teda L = rґ F. Je ľahké ukázať, že ak na tuhé teleso pôsobí sústava síl pôsobiaca v bodoch O 1, O 2,..., O n (obr. 5), potom túto sústavu možno nahradiť výslednicou R silu F 1 , F 2 ,..., F n aplikovaný v ľubovoľnom bode Oў telesa a dvojica síl L, ktorého moment sa rovná súčtu [ r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. Na overenie toho stačí mentálne aplikovať v bode Oў systém dvojíc rovnakých, ale opačne smerujúcich síl F 1 a - F 1 ; F 2 a - F 2 ;...; F n a - F n, čo samozrejme nezmení stav pevnej látky.

Ale silu F 1 aplikovaný v bode O 1, a sila – F 1 pôsobiace v bode Oў tvoria dvojicu síl, ktorých moment vzhľadom na bod Oў je rovný r 1 ґ F 1. Rovnako aj sila F 2 a - F 2 aplikované v bodoch O2 a Oў tvoria pár s momentom r 2 ґ F 2 atď. Totálny moment L všetkých takýchto párov vzhľadom k bodu Oў je daná vektorovou rovnosťou L = [r 1 ґ F 1 ] + [r 2 ґ F 2 ] +... + [r nґ F n]. Iné sily F 1 , F 2 ,..., F n aplikované v bode Oў, celkovo dávajú výslednicu R. Ale systém nemôže byť v rovnováhe, ak množstvá R A L sa líšia od nuly. V dôsledku toho je podmienka, aby sa hodnoty súčasne rovnali nule R A L je nevyhnutnou podmienkou pre rovnováhu. Dá sa ukázať, že stačí aj to, ak je telo spočiatku v pokoji. Problém rovnováhy sa teda redukuje na dve analytické podmienky: R= 0 a L= 0. Tieto dve rovnice predstavujú matematické znázornenie princípu rovnováhy.

Teoretické princípy statiky sa široko využívajú pri analýze síl pôsobiacich na konštrukcie a konštrukcie. V prípade spojitého rozloženia síl súčty, ktoré dávajú výsledný moment L a výsledný R, sú nahradené integrálmi a v súlade s bežnými metódami integrálneho počtu.