Pyramída. Vzorce a vlastnosti pyramídy. Plocha bočného a celkového povrchu kužeľa

Akú postavu nazývame pyramída? Po prvé, je to mnohosten. Po druhé, na základni tohto mnohostenu je ľubovoľný mnohouholník a strany pyramídy (bočné strany) majú nevyhnutne tvar trojuholníkov zbiehajúcich sa v jednom spoločnom vrchole. Teraz, keď sme pochopili termín, poďme zistiť, ako nájsť povrch pyramídy.

Je zrejmé, že povrchová plocha takéhoto geometrického telesa je tvorená súčtom plôch základne a celého jej bočného povrchu.

Výpočet plochy základne pyramídy

Výber výpočtového vzorca závisí od tvaru mnohouholníka, ktorý je základom našej pyramídy. Môže byť pravidelný, to znamená so stranami rovnakej dĺžky, alebo nepravidelný. Zvážme obe možnosti.

Na základni je pravidelný mnohouholník

Od školský kurz známy:

• plocha štvorca sa bude rovnať dĺžke jeho strany na druhú;
• Plocha rovnostranného trojuholníka sa rovná štvorcu jeho strany delenej 4 a vynásobenej druhou odmocninou troch.

Existuje však aj všeobecný vzorec na výpočet plochy akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka (Sn): musíte vynásobiť obvod tohto mnohouholníka (P) polomerom kruhu, ktorý je v ňom vpísaný (r), a potom rozdeliť výsledok o dva: Sn=1/2P*r .

Na základni je nepravidelný mnohouholník

Schéma na nájdenie jeho oblasti je najprv rozdeliť celý mnohouholník na trojuholníky, vypočítať plochu každého z nich pomocou vzorca: 1/2a*h (kde a je základňa trojuholníka, h je výška znížená na tento základ), spočítajte všetky výsledky.

Bočný povrch pyramídy

Teraz vypočítajme plochu bočného povrchu pyramídy, t.j. súčet plôch všetkých jeho bočných strán. Tu sú tiež 2 možnosti.

1. Majme ľubovoľnú pyramídu, t.j. jeden s nepravidelným mnohouholníkom na jeho základni. Potom by ste mali vypočítať plochu každej tváre samostatne a pridať výsledky. Keďže strany pyramídy môžu byť podľa definície iba trojuholníky, výpočet sa vykonáva pomocou vyššie uvedeného vzorca: S=1/2a*h.
2. Nech je naša pyramída správna, t.j. na jeho základni leží pravidelný mnohouholník a priemet vrcholu pyramídy je v jeho strede. Potom na výpočet plochy bočnej plochy (Sb) stačí nájsť polovicu súčinu obvodu základného mnohouholníka (P) a výšky (h) bočnej strany (rovnakú pre všetky plochy). ): Sb = 1/2 P*h. Obvod mnohouholníka sa určí sčítaním dĺžok všetkých jeho strán.

Celková plocha pravidelnej pyramídy sa zistí súčtom plochy jej základne s plochou celého bočného povrchu.

Príklady

Napríklad algebraicky vypočítajme povrchy niekoľkých pyramíd.

Povrchová plocha trojuholníkovej pyramídy

Na základni takejto pyramídy je trojuholník. Pomocou vzorca So=1/2a*h nájdeme plochu základne. Rovnaký vzorec používame na nájdenie plochy každej strany pyramídy, ktorá má tiež trojuholníkový tvar, a získame 3 oblasti: S1, S2 a S3. Plocha bočného povrchu pyramídy je súčtom všetkých plôch: Sb = S1+ S2+ S3. Sčítaním plôch strán a základne získame celkový povrch požadovanej pyramídy: Sp= So+ Sb.

Povrchová plocha štvorhrannej pyramídy

Plocha bočného povrchu je súčtom 4 členov: Sb = S1 + S2 + S3 + S4, z ktorých každý sa vypočíta pomocou vzorca pre plochu trojuholníka. A oblasť základne bude potrebné hľadať v závislosti od tvaru štvoruholníka - pravidelného alebo nepravidelného. Celková plocha pyramídy sa opäť získa sčítaním plochy základne a celkovej plochy danej pyramídy.

• Úloha 1. Nájdite celkovú plochu pyramídy
• Úloha 2. Nájdite bočnú plochu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Problém 1. Nájdite celkovú plochu pravidelnej pyramídy

Riešenie.

Na základni pravidelnej trojuholníkovej pyramídy leží rovnostranný trojuholník.
Preto na vyriešenie problému použijeme vlastnosti pravidelného trojuholníka:

Poznáme výšku trojuholníka, odkiaľ môžeme zistiť jeho obsah.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Odkiaľ sa plocha základne bude rovnať:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Aby sme našli plochu bočnej plochy, vypočítame výšku KM. Podľa problému je uhol OKM 45 stupňov.
Takto:
OK / MK = cos 45
Použime tabuľku hodnôt goniometrických funkcií a nahraďte známe hodnoty.

OK / MK = √2/2

Zoberme si, že OK sa rovná polomeru vpísanej kružnice. Potom
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Potom
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Plocha bočnej plochy sa potom rovná polovici súčinu výšky a základne trojuholníka.
Strana strany = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Celková plocha pyramídy sa teda bude rovnať
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odpoveď: 3√3 + 18/√6

Problém 2. Nájdite bočnú plochu pravidelnej pyramídy

Riešenie.

Keďže základňa pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je rovnostranný trojuholník, AO je polomer kružnice opísanej okolo základne.
(Vyplýva to z)

Polomer kružnice opísanej okolo rovnostranného trojuholníka zistíme z jej vlastností

Odkiaľ sa dĺžka hrán pravidelnej trojuholníkovej pyramídy bude rovnať:
AM2 = M02 + AO2
výška pyramídy je známa podmienkou (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Každá strana pyramídy je rovnoramenný trojuholník. Nájdeme oblasť rovnoramenného trojuholníka z prvého vzorca uvedeného nižšie

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) – 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Pretože všetky tri strany pravidelnej pyramídy sú rovnaké, plocha bočného povrchu bude rovnaká
3S = 48 √ (91/3)

odpoveď: 48 √(91/3)

Úloha 3. Nájdite celkovú plochu pravidelnej pyramídy

Strana pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je 3 cm a uhol medzi bočnou stenou a základňou pyramídy je 45 stupňov. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

Riešenie.
Keďže pyramída je pravidelná, na jej základni je rovnostranný trojuholník. Preto je plocha základne


Takže = 9 * √3/4

Aby sme našli plochu bočnej plochy, vypočítame výšku KM. Podľa problému je uhol OKM 45 stupňov.
Takto:
OK / MK = cos 45
Využime to

Pyramída- jedna z odrôd mnohostenu tvoreného z mnohouholníkov a trojuholníkov, ktoré ležia na základni a sú jeho plochami.

Navyše na vrchole pyramídy (t. j. v jednom bode) sú všetky tváre zjednotené.

Aby bolo možné vypočítať plochu pyramídy, stojí za to určiť jej bočný povrch pozostáva z niekoľkých trojuholníkov. A môžeme ľahko nájsť ich oblasti pomocou

rôzne vzorce. Podľa toho, aké údaje o trojuholníkoch vieme, hľadáme ich plochu.

Uvádzame niekoľko vzorcov, ktoré možno použiť na nájdenie oblasti trojuholníkov:

1. S = (a*h)/2 . V tomto prípade poznáme výšku trojuholníka h , ktorý je spustený nabok a .
2. S = a*b*sinp . Tu sú strany trojuholníka a , b a uhol medzi nimi je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Tu sú strany trojuholníka a, b, c . Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do trojuholníka je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka je R .
5. S = (a*b)/2 = r2 + 2*r*R . Tento vzorec by sa malo používať iba vtedy, keď je trojuholník pravouhlý.
6. S = (a²*√3)/4 . Tento vzorec aplikujeme na rovnostranný trojuholník.

Až potom, čo vypočítame plochy všetkých trojuholníkov, ktoré sú stranami našej pyramídy, môžeme vypočítať plochu jej bočného povrchu. Na tento účel použijeme vyššie uvedené vzorce.

Na výpočet plochy bočného povrchu pyramídy nevznikajú žiadne ťažkosti: musíte zistiť súčet plôch všetkých trojuholníkov. Vyjadrime to vzorcom:

Sp = ΣSi

Tu Si je plocha prvého trojuholníka a S P - plocha bočného povrchu pyramídy.

Pozrime sa na príklad. Pri pravidelnej pyramíde sú jej bočné steny tvorené niekoľkými rovnostrannými trojuholníkmi,

« Geometria je najmocnejší nástroj na vycibrenie našich mentálnych schopností».

Galileo Galilei.

a štvorec je základom pyramídy. Okrem toho má okraj pyramídy dĺžku 17 cm.

Uvažujeme takto: vieme, že steny pyramídy sú trojuholníky, sú rovnostranné. Tiež vieme, aká je dĺžka hrany tejto pyramídy. Z toho vyplýva, že všetky trojuholníky majú rovnaké strany a ich dĺžka je 17 cm.

Na výpočet plochy každého z týchto trojuholníkov môžete použiť nasledujúci vzorec:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Takže, keďže vieme, že štvorec leží na základni pyramídy, ukázalo sa, že máme štyri rovnostranné trojuholníky. To znamená, že bočný povrch pyramídy možno ľahko vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naša odpoveď je nasledovná: 500,548 cm² - to je plocha bočného povrchu tejto pyramídy.

je mnohostranný obrazec, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné plochy sú znázornené trojuholníkmi so spoločným vrcholom.

Ak je základňa štvorec, potom sa pyramída nazýva štvoruholníkový, ak trojuholník – tak trojuholníkový. Výška pyramídy je nakreslená z jej vrcholu kolmo na základňu. Používa sa aj na výpočet plochy apotéma– výška bočného čela znížená od jeho vrcholu.
Vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy je súčtom plôch jej bočných plôch, ktoré sú si navzájom rovné. Tento spôsob výpočtu sa však používa veľmi zriedkavo. V podstate sa plocha pyramídy počíta cez obvod základne a apotému:

Uvažujme o príklade výpočtu plochy bočného povrchu pyramídy.

Nech je daná pyramída so základňou ABCDE a vrcholom F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm a = 5 cm.
Nájdeme obvod. Pretože všetky okraje základne sú rovnaké, obvod päťuholníka sa bude rovnať:
Teraz môžete nájsť bočnú oblasť pyramídy:

Plocha pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo základne, v ktorej leží pravidelný trojuholník a troch bočných plôch, ktoré majú rovnakú plochu.
Je možné vypočítať vzorec pre bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy rôzne cesty. Môžete použiť obvyklý vzorec výpočtu pomocou obvodu a apotému, alebo môžete nájsť oblasť jednej tváre a vynásobiť ju tromi. Pretože tvár pyramídy je trojuholník, použijeme vzorec pre oblasť trojuholníka. Bude to vyžadovať apotém a dĺžku základne. Zoberme si príklad výpočtu plochy bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy.

Daná pyramída s apotémou a = 4 cm a základnou plochou b = 2 cm Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy.
Najprv nájdite oblasť jednej z bočných plôch. V tomto prípade to bude:
Dosaďte hodnoty do vzorca:
Pretože v bežnej pyramíde sú všetky strany rovnaké, plocha bočného povrchu pyramídy sa bude rovnať súčtu plôch troch plôch. Respektíve:

Oblasť zrezanej pyramídy

Skrátené Pyramída je mnohosten, ktorý je tvorený ihlanom a jeho prierez je rovnobežný so základňou.
Vzorec pre oblasť bočného povrchu zrezanej pyramídy je veľmi jednoduchý. Plocha sa rovná súčinu polovice súčtu obvodov základní a apotému:

Pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky si študenti musia systematizovať svoje vedomosti z algebry a geometrie. Chcel by som skombinovať všetky známe informácie, napríklad o tom, ako vypočítať plochu pyramídy. Navyše, počnúc od základne a bočných hrán až po celú plochu. Ak je situácia s bočnými plochami jasná, keďže ide o trojuholníky, základňa je vždy iná.

Ako nájsť oblasť základne pyramídy?

Môže to byť úplne akýkoľvek obrázok: od ľubovoľného trojuholníka po n-uholník. A táto základňa, okrem rozdielu v počte uhlov, môže byť pravidelná alebo nepravidelná. V úlohách Jednotnej štátnej skúšky, ktoré školákov zaujímajú, sú na základni len úlohy so správnymi číslami. Preto budeme hovoriť len o nich.

Pravidelný trojuholník

Teda rovnostranné. Ten, v ktorom sú všetky strany rovnaké a sú označené písmenom „a“. V tomto prípade sa plocha základne pyramídy vypočíta podľa vzorca:

S = (a 2 * √3) / 4.

Námestie

Vzorec na výpočet jeho plochy je najjednoduchší, tu je „a“ opäť strana:

Ľubovoľný pravidelný n-uholník

Strana mnohouholníka má rovnaké označenie. Pre počet uhlov sa používa latinské písmeno n.

S = (n*a2)/(4*tg (180°/n)).

Čo robiť pri výpočte bočného a celkového povrchu?

Keďže základňa je pravidelná postava, všetky strany pyramídy sú rovnaké. Okrem toho je každý z nich rovnoramenný trojuholník, pretože bočné okraje sú rovnaké. Potom, aby ste mohli vypočítať bočnú plochu pyramídy, budete potrebovať vzorec pozostávajúci zo súčtu identických monomilov. Počet členov je určený počtom strán základne.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa vypočíta podľa vzorca, v ktorom sa polovica súčinu základne vynásobí výškou. Táto výška v pyramíde sa nazýva apotém. Jeho označenie je „A“. Všeobecný vzorec pre oblasť bočného povrchu to vyzerá takto:

S = ½ P*A, kde P je obvod základne pyramídy.

Existujú situácie, keď nie sú známe strany základne, ale bočné rebrá (c) a plochý uhol v jeho vrchole (α). Potom musíte na výpočet bočnej plochy pyramídy použiť nasledujúci vzorec:

S = n/2 * v 2 sin α .

Úloha č.1

Podmienka. Nájdite celkovú plochu pyramídy, ak jej základňa má stranu 4 cm a apotém má hodnotu √3 cm.

Riešenie. Musíte začať výpočtom obvodu základne. Pretože ide o pravidelný trojuholník, potom P = 3 * 4 = 12 cm, pretože apotém je známy, môžeme okamžite vypočítať plochu celého bočného povrchu: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm 2.

Pre trojuholník na základni získate nasledujúcu hodnotu plochy: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Ak chcete určiť celú plochu, budete musieť pridať dve výsledné hodnoty: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Odpoveď. 10√3 cm 2.

Problém č.2

Podmienka. Je tu pravidelná štvoruholníková pyramída. Dĺžka základnej strany je 7 mm, bočná hrana je 16 mm. Je potrebné zistiť jeho povrch.

Riešenie. Keďže mnohosten je štvorhranný a pravidelný, jeho základňa je štvorec. Keď poznáte plochu základne a bočných plôch, budete môcť vypočítať plochu pyramídy. Vzorec pre štvorec je uvedený vyššie. A pre bočné plochy sú známe všetky strany trojuholníka. Preto môžete použiť Heronov vzorec na výpočet ich plôch.

Prvé výpočty sú jednoduché a vedú k nasledujúcemu číslu: 49 mm 2. Pre druhú hodnotu budete musieť vypočítať polobvod: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Teraz môžete vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existujú iba štyri takéto trojuholníky, takže pri výpočte konečného čísla ho budete musieť vynásobiť 4.

Ukazuje sa: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Odpoveď. Požadovaná hodnota je 267,576 mm2.

Úloha č.3

Podmienka. Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu musíte vypočítať plochu. Strana štvorca je známa ako 6 cm a výška je 4 cm.

Riešenie. Najjednoduchším spôsobom je použiť vzorec so súčinom obvodu a apotému. Prvú hodnotu je ľahké nájsť. Druhý je trochu komplikovanejší.

Budeme si musieť zapamätať Pytagorovu vetu a zvážiť Tvorí ju výška pyramídy a apotém, čo je prepona. Druhá vetva sa rovná polovici strany štvorca, pretože výška mnohostenu padá do jeho stredu.

Hľadaná apotéma (hypotenúza správny trojuholník) sa rovná √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Teraz môžete vypočítať požadovanú hodnotu: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Odpoveď. 96 cm2.

Problém č.4

Podmienka. Správna strana je daná 22 mm, bočné hrany 61 mm. Aký je bočný povrch tohto mnohostenu?

Riešenie. Zdôvodnenie v ňom je rovnaké ako v úlohe č.2. Iba tam bola daná pyramída so štvorcom na základni a teraz je to šesťuholník.

Najprv sa základná plocha vypočíta pomocou vyššie uvedeného vzorca: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm2.

Teraz musíte zistiť polobvod rovnoramenného trojuholníka, čo je bočná strana. (22+61*2):2 = 72 cm Zostáva len použiť Heronov vzorec na výpočet plochy každého takéhoto trojuholníka a potom ho vynásobiť šiestimi a pripočítať k tomu, ktorý sa získa pre základňu.

Výpočty pomocou Heronovho vzorca: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Výpočty, ktoré poskytnú plochu bočného povrchu: 660 * 6 = 3960 cm2. Zostáva ich spočítať, aby ste zistili celý povrch: 5217,47≈5217 cm 2.

Odpoveď. Základňa je 726√3 cm2, bočná plocha je 3960 cm2, celá plocha je 5217 cm2.