C 5 reducerea fracţiilor. Calculator online fracții reducătoare (neregulate, mixte)

Divizia iar numărătorul și numitorul fracției de pe lor divizor comun, diferit de unul, se numește reducerea unei fracții.

Pentru a reduce o fracție comună, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul ei la același număr natural.

Acest număr este cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului fracției date.

Următoarele sunt posibile formulare de înregistrare a deciziilor Exemple pentru reducerea fracțiilor comune.

Studentul are dreptul de a alege orice formă de înregistrare.

Exemple. Simplificați fracțiile.

Reduceți fracția cu 3 (împărțiți numărătorul la 3;

împărțiți numitorul la 3).

Reduceți fracția cu 7.

Efectuăm acțiunile indicate în numărătorul și numitorul fracției.

Fracția rezultată se reduce cu 5.

Să reducem această fracție 4) pe 5,7³- cel mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului, care constă din factorii comuni ai numărătorului și numitorului, luați la puterea cu cel mai mic exponent.

Să factorizăm numărătorul și numitorul acestei fracții în factori primi.

Primim: 756=2²·3³·7Și 1176=2³·3·7².

Determinați MCD (cel mai mare divizor comun) al numărătorului și numitorului fracției 5) .

Acesta este produsul factorilor comuni luați cu cei mai mici exponenți.

mcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții la mcd-ul lor, adică cu 2²·3·7 obținem o fracție ireductibilă 9/14 .

Sau a fost posibil să scrieți descompunerea numărătorului și numitorului sub forma unui produs al factorilor primi, fără a utiliza conceptul de putere, și apoi să reduceți fracția prin tăierea acelorași factori la numărător și numitor. Când nu mai sunt factori identici, înmulțim factorii rămași separat la numărător și separat la numitor și scriem fracția rezultată 9/14 .

Și, în sfârșit, a fost posibil să se reducă această fracție 5) treptat, aplicând semne de împărțire a numerelor atât numărătorului cât și numitorului fracției. Să gândim așa: numere 756 Și 1176 se termină cu un număr par, ceea ce înseamnă că ambele sunt divizibile cu 2 . Reducem fracția cu 2 . Numătorul și numitorul noii fracții sunt numere 378 Și 588 de asemenea împărțit în 2 . Reducem fracția cu 2 . Observăm că numărul 294 - chiar și 189 este impar, iar reducerea cu 2 nu mai este posibilă. Să verificăm divizibilitatea numerelor 189 Și 294 pe 3 .

(1+8+9)=18 este divizibil cu 3 și (2+9+4)=15 este divizibil cu 3, prin urmare numerele în sine 189 Și 294 sunt împărțite în 3 . Reducem fracția cu 3 . Mai departe, 63 este divizibil cu 3 și 98 - Nu. Să ne uităm la alți factori primi. Ambele numere sunt divizibile cu 7 . Reducem fracția cu 7 și obținem fracția ireductibilă 9/14 .

Fără să știe cum să reducă o fracție și să aibă abilități consistente în rezolvare exemple similare Este foarte greu să studiezi algebra la școală. Cu cât mergi mai departe, cu atât mai multe informații noi sunt suprapuse cunoștințelor de bază despre reducerea fracțiilor obișnuite. Mai întâi apar puteri, apoi factori, care mai târziu devin polinoame.

Cum poți evita să te încurci aici? Consolidați temeinic abilitățile în subiectele anterioare și pregătiți-vă treptat pentru cunoștințele despre cum să reduceți o fracție, care devine mai complexă de la an la an.

Cunostinte de baza

Fără ele, nu vei putea face față sarcinilor de orice nivel. Pentru a înțelege, trebuie să înțelegeți două puncte simple. În primul rând: puteți reduce doar factorii. Această nuanță se dovedește a fi foarte importantă atunci când polinoamele apar la numărător sau numitor. Apoi, trebuie să distingeți clar unde este multiplicatorul și unde este adunatul.

Al doilea punct spune că orice număr poate fi reprezentat sub formă de factori. Mai mult, rezultatul reducerii este o fracție al cărei numărător și numitor nu mai pot fi reduse.

Reguli pentru reducerea fracțiilor comune

În primul rând, ar trebui să verificați dacă numărătorul este divizibil cu numitor sau invers. Atunci tocmai acest număr trebuie redus. Aceasta este cea mai simplă opțiune.

A doua este analiza aspect numere. Dacă ambele se termină cu unul sau mai multe zerouri, acestea pot fi scurtate cu 10, 100 sau o mie. Aici puteți observa dacă numerele sunt pare. Dacă da, atunci îl puteți tăia în siguranță cu două.

A treia regulă pentru reducerea unei fracții este factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi. În acest moment, trebuie să vă folosiți în mod activ toate cunoștințele despre semnele de divizibilitate a numerelor. După această descompunere, nu mai rămâne decât să le găsiți pe toate cele care se repetă, să le înmulțiți și să le reduceți cu numărul rezultat.

Ce se întâmplă dacă într-o fracție există o expresie algebrică?

Aici apar primele dificultăți. Pentru că aici apar termeni care pot fi identici cu factori. Chiar vreau să le reduc, dar nu pot. Înainte de a putea reduce o fracție algebrică, aceasta trebuie convertită astfel încât să aibă factori.

Pentru a face acest lucru, va trebui să efectuați mai mulți pași. Este posibil să fie nevoie să le parcurgeți pe toate sau poate că primul vă va oferi o opțiune potrivită.

Verificați dacă numărătorul și numitorul sau orice expresie din ele diferă prin semn. În acest caz, trebuie doar să puneți minus unu din paranteze. Acest lucru produce factori egali care pot fi redusi.

Vedeți dacă este posibil să eliminați factorul comun din polinom din paranteze. Poate că acest lucru va avea ca rezultat o paranteză, care poate fi, de asemenea, scurtată, sau va fi un monom eliminat.

Încercați să grupați monomiile pentru a le adăuga apoi un factor comun. După aceasta, se poate dovedi că vor exista factori care pot fi reduceți sau din nou se va repeta bracketingul elementelor comune.

Încercați să luați în considerare formulele de înmulțire prescurtate în scris. Cu ajutorul lor, puteți converti cu ușurință polinoamele în factori.

Secvența de operații cu fracții cu puteri

Pentru a înțelege cu ușurință întrebarea cum să reduceți o fracție cu puteri, trebuie să vă amintiți cu fermitate operațiunile de bază cu acestea. Prima dintre acestea este legată de multiplicarea puterilor. În acest caz, dacă bazele sunt aceleași, indicatorii trebuie adăugați.

A doua este diviziunea. Din nou, pentru cei care au aceleași motive, indicatorii vor trebui să fie scăzuți. Mai mult, trebuie să scazi din numărul care se află în dividend, și nu invers.

Al treilea este exponentiația. În această situație, indicatorii sunt înmulțiți.

Reducerea cu succes va necesita, de asemenea, capacitatea de a reduce puterile la baze egale. Adică să vezi că patru este doi pătrat. Sau 27 - cubul de trei. Pentru că reducerea a 9 pătrate și 3 cuburi este dificilă. Dar dacă transformăm prima expresie ca (3 2) 2, atunci reducerea va avea succes.

Se bazează pe proprietatea lor de bază: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt împărțite la același polinom diferit de zero, atunci se va obține o fracție egală.

Puteți reduce doar multiplicatorii!

Membrii polinoamelor nu pot fi prescurtați!

Pentru a reduce o fracție algebrică, polinoamele din numărător și numitor trebuie mai întâi factorizate.

Să ne uităm la exemple de fracții reducătoare.

Numătorul și numitorul fracției conțin monomii. Ei reprezintă muncă(numerele, variabilele și puterile acestora), multiplicatori putem reduce.

Reducem numerele cu cel mai mare divizor comun al lor, adică cu cel mai mare număr cu care se împarte fiecare dintre aceste numere. Pentru 24 și 36 acesta este 12. După reducere, 2 rămâne din 24 și 3 din 36.

Reducem gradele cu gradul cu cel mai mic indice. A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același divizor și scăderea exponenților.

a² și a⁷ sunt reduse la a². În acest caz, unul rămâne la numărătorul lui a² (scriem 1 doar în cazul în care, după reducere, nu au mai rămas alți factori. Din 24, rămâne 2, deci nu scriem 1 rămas din a²). Din a⁷, după reducere, a⁵ rămâne.

b și b sunt reduse cu b; unitățile rezultate nu sunt scrise.

c³º și c⁵ sunt scurtate la c⁵. Ce rămâne din c³º este c²⁵, din c⁵ este unul (nu îl scriem). Prin urmare,

Numătorul și numitorul acestei fracții algebrice sunt polinoame. Nu puteți anula termenii polinoamelor! (nu puteți reduce, de exemplu, 8x² și 2x!). Pentru a reduce această fracție, aveți nevoie de . Numătorul are un factor comun de 4x. Să-l scoatem din paranteze:

Atât numărătorul, cât și numitorul au același factor (2x-3). Reducem fracția cu acest factor. La numărător avem 4x, la numitor - 1. Pentru 1 proprietate fracții algebrice, fracția este 4x.

Puteți reduce doar factorii (nu puteți reduce această fracție cu 25x²!). Prin urmare, polinoamele din numărătorul și numitorul fracției trebuie factorizate.

Numătorul este pătratul complet al sumei, numitorul este diferența de pătrate. După descompunere folosind formule de înmulțire abreviate, obținem:

Reducem fracția cu (5x+1) (pentru a face acest lucru, tăiați cele două din numărător ca exponent, lăsând (5x+1)² (5x+1)):

Numătorul are un factor comun de 2, să-l scoatem din paranteze. Numitorul este formula pentru diferența de cuburi:

Ca urmare a expansiunii, numărătorul și numitorul au primit același factor (9+3a+a²). Reducem fracția cu ea:

Polinomul din numărător este format din 4 termeni. primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea și eliminați factorul comun x² din primele paranteze. Descompunem numitorul folosind formula sumei cuburilor:

La numărător, să luăm factorul comun (x+2) din paranteze:

Reduceți fracția cu (x+2):

Calculatorul online funcționează reducerea fracțiilor algebriceîn conformitate cu regula fracțiilor reducătoare: înlocuirea fracției inițiale cu o fracție egală, dar cu un numărător și un numitor mai mici, i.e. Împărțirea simultană a numărătorului și numitorului unei fracții la cel mai mare factor comun al acestora (GCD). Se afișează și calculatorul soluție detaliată, care vă va ajuta să înțelegeți succesiunea reducerii.

Dat:

Soluţie:

Efectuarea reducerii fracțiilor

verificând posibilitatea efectuării reducerii fracţiilor algebrice

1) Determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții

determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice

2) Reducerea numărătorului și numitorului unei fracții

reducerea numărătorului și numitorului unei fracții algebrice

3) Selectarea întregii părți a unei fracții

separând întreaga parte a unei fracții algebrice

4) Conversia unei fracții algebrice într-o fracție zecimală

conversia unei fracții algebrice în zecimal

Ajutor pentru dezvoltarea site-ului proiectului

Stimate vizitator al site-ului.
Dacă nu ați reușit să găsiți ceea ce căutați, asigurați-vă că scrieți despre asta în comentarii, ceea ce lipsește în prezent pe site. Acest lucru ne va ajuta să înțelegem în ce direcție trebuie să ne îndreptăm mai departe, iar alți vizitatori vor putea primi în curând materialul necesar.
Dacă site-ul s-a dovedit a fi util pentru dvs., donați site-ul proiectului doar 2 ₽și vom ști că ne mișcăm în direcția bună.

Vă mulțumim că ați trecut!

I. Procedura de reducere a unei fracții algebrice folosind un calculator online:

1. Pentru a reduce o fracție algebrică, introduceți valorile numărătorului și numitorului fracției în câmpurile corespunzătoare. Dacă fracția este amestecată, atunci completați și câmpul corespunzător întregii părți a fracției. Dacă fracția este simplă, atunci lăsați necompletat întregul câmp al părții.
2. Pentru a specifica o fracție negativă, plasați un semn minus pe întreaga parte a fracției.
3. În funcție de fracția algebrică specificată, următoarea secvență de acțiuni este efectuată automat:

• determinarea celui mai mare divizor comun (MCD) al numărătorului și numitorului unei fracții;
• reducerea numărătorului și numitorului unei fracții cu mcd;
• evidenţierea întregii părţi a unei fracţii, dacă numărătorul fracției finale este mai mare decât numitorul.
• conversia fracției algebrice finale într-o fracție zecimală rotunjit la cea mai apropiată sutime.

II. Pentru trimitere:

O fracție este un număr format din una sau mai multe părți (fracții) ale unei unități. Fracție comună(fracția simplă) se scrie ca două numere (numărătorul fracției și numitorul fracției) separate de o bară orizontală (bara fracției) care indică semnul diviziunii. Numătorul unei fracții este numărul de deasupra liniei fracțiilor. Numărătorul arată câte acțiuni au fost luate din total. Numitorul unei fracții este numărul de sub linia fracției. Numitorul arată în câte părți egale este împărțit întregul. O fracție simplă este o fracție care nu are o parte întreagă. O fracție simplă poate fi corectă sau improprie. O fracție proprie este o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei, deci o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu. Exemplu de fracții proprii: 8/7, 11/19, 16/17. O fracție improprie este o fracție în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, deci o fracție improprie este întotdeauna mai mare sau egală cu unu. Exemplu fracții improprii: 7/6, 8/7, 13/13. fracția mixtă este un număr care conține un număr întreg și o fracție proprie și denotă suma acelui număr întreg și fracția proprie. Orice fracție mixtă poate fi convertită într-o fracție improprie. Exemplu de fracții mixte: 1¼, 2½, 4¾.

III. Notă:

1. Bloc de date sursă evidențiat galben , bloc intermediar de calcul alocat albastru , blocul soluție este evidențiat în verde.
2. Pentru a adăuga, scădea, înmulți și împărți fracții comune sau mixte, utilizați calculatorul de fracții online cu soluții detaliate.

Pentru a înțelege cum să reduceți fracțiile, să ne uităm mai întâi la un exemplu.

A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același lucru. Atât 360, cât și 420 se termină într-o cifră, deci putem reduce această fracție cu 2. În noua fracție, atât 180, cât și 210 sunt de asemenea divizibile cu 2, așa că reducem această fracție cu 2. În numerele 90 și 105, suma dintre cifre este divizibil cu 3, deci ambele numere sunt divizibile cu 3, reducem fracția cu 3. În noua fracție, 30 și 35 se termină în 0 și 5, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt divizibile cu 5, deci reducem fracția cu 5. Fracția rezultată de șase șaptimi este ireductibilă. Acesta este răspunsul final.

Putem ajunge la același răspuns într-un mod diferit.

Atât 360, cât și 420 se termină cu zero, ceea ce înseamnă că sunt divizibili cu 10. Reducem fracția cu 10. În noua fracție, atât numărătorul 36, cât și numitorul 42 sunt împărțiți la 2. Reducem fracția cu 2. În următoarea fracție, atât numărătorul 18, cât și numitorul 21 sunt împărțite la 3, ceea ce înseamnă că reducem fracția cu 3. Am ajuns la rezultat - șase șaptimi.

Și încă o soluție.

Data viitoare ne vom uita la exemple de fracții reducătoare.