Rezolvarea ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior prin metoda lagrangiană. ODU. Metoda de variație a unei constante arbitrare Rezolvarea unei ecuații diferențiale prin metoda de variație a unei constante

Metoda de variație a constantelor arbitrare

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea unei soluții la o ecuație diferențială liniară neomogenă

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = f(t)

constă în înlocuirea constantelor arbitrare c kîn soluţia generală

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

ecuația omogenă corespunzătoare

A n (t)z (n) (t) + A n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + A 1 (t)z"(t) + A 0 (t)z(t) = 0

pentru funcții auxiliare c k (t) , ale căror derivate satisfac sistemul algebric liniar

Determinantul sistemului (1) este Wronskianul funcțiilor z 1 ,z 2 ,...,z n , care îi asigură solvabilitatea unică în raport cu .

Dacă sunt antiderivate pentru , luate la valori fixe ale constantelor de integrare, atunci funcția

este o soluție la ecuația diferențială neomogenă liniară inițială. Integrarea unei ecuații neomogene în prezența unei soluții generale la ecuația omogenă corespunzătoare este astfel redusă la pătraturi.

Metoda de variație a constantelor arbitrare pentru construirea de soluții la un sistem de ecuații diferențiale liniare în formă normală vectorială

constă în construirea unei anumite soluţii (1) sub forma

Unde Z(t) stă la baza soluțiilor ecuației omogene corespunzătoare, scrisă sub formă de matrice, iar funcția vectorială , care a înlocuit vectorul constantelor arbitrare, este definită de relația . Soluția particulară necesară (cu valori inițiale zero la t = t 0 arata ca

Pentru un sistem cu coeficienți constanți, ultima expresie este simplificată:

Matrice Z(t)Z− 1 (τ) numit Matricea Cauchy operator L = A(t) .

Să considerăm acum ecuația liniară neomogenă
. (2)
Fie y 1 ,y 2 ,.., y n un sistem fundamental de soluții și - decizie comună ecuația omogenă corespunzătoare L(y)=0. Similar cu cazul ecuațiilor de ordinul întâi, vom căuta o soluție pentru ecuația (2) sub forma
. (3)
Să ne asigurăm că există o soluție în această formă. Pentru a face acest lucru, înlocuim funcția în ecuație. Pentru a înlocui această funcție în ecuație, găsim derivatele ei. Prima derivată este egală cu
. (4)
La calcularea derivatei a doua, vor apărea patru termeni în partea dreaptă a (4), la calcularea derivatei a treia, vor apărea opt termeni și așa mai departe. Prin urmare, pentru comoditatea calculelor ulterioare, primul termen din (4) este setat egal cu zero. Ținând cont de acest lucru, derivata a doua este egală cu
. (5)
Din aceleași motive ca și înainte, în (5) se stabilește și primul termen egal cu zero. În cele din urmă, derivata a n-a este
. (6)
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în ecuația originală, avem
. (7)
Al doilea termen din (7) este egal cu zero, deoarece funcțiile y j , j=1,2,..,n, sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0. Combinând cu cel precedent, obținem un sistem de ecuații algebrice pentru găsirea funcțiilor C" j (x)
(8)
Determinantul acestui sistem este determinantul Wronski al sistemului fundamental de soluții y 1 ,y 2 ,..,y n al ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0 și deci nu este egal cu zero. În consecință, există o soluție unică pentru sistem (8). După ce o găsim, obținem funcțiile C" j (x), j=1,2,…,n și, în consecință, C j (x), j=1,2,…,n Înlocuind aceste valori în (3), obținem o soluție la o ecuație liniară neomogenă.
Metoda prezentată se numește metoda de variație a unei constante arbitrare sau metoda Lagrange.

Exemplul nr. 1. Să găsim soluția generală a ecuației y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Se consideră ecuația omogenă corespunzătoare y"" + 4y" + 3y = 0. Rădăcinile ecuației sale caracteristice r 2 + 4r + 3 = 0 sunt egale cu -1 și -3. Prin urmare, sistemul fundamental de soluții la o ecuație omogenă este format din funcțiile y 1 = e - x și y 2 = e -3 x. Căutăm o soluție la ecuația neomogenă sub forma y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Pentru a găsi derivatele C" 1 , C" 2 compunem un sistem de ecuații (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
rezolvând care, găsim , Integrând funcţiile obţinute, avem
În sfârșit, obținem

Exemplul nr. 2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți folosind metoda variației constantelor arbitrare:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Soluţie:
Această ecuație diferențială se referă la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Vom căuta o soluție a ecuației sub forma y = e rx. Pentru a face acest lucru, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rădăcinile ecuației caracteristice: r 1 = 4, r 2 = 2
În consecință, sistemul fundamental de soluții este format din funcțiile: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Rezolvarea generală a ecuației omogene are forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Căutați o anumită soluție prin metoda varierii unei constante arbitrare.
Pentru a găsi derivatele lui C" i alcătuim un sistem de ecuații:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Să exprimăm C" 1 din prima ecuație:
C" 1 = -c 2 e -2x
și înlocuiți-l în al doilea. Ca rezultat obținem:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integram functiile obtinute C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Deoarece y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, scriem expresiile rezultate sub forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
sau
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Să găsim o soluție specială în condiția:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Înlocuind x = 0 în ecuația găsită, obținem:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Găsim prima derivată a soluției generale obținute:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Înlocuind x = 0, obținem:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Obținem un sistem de două ecuații:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
sau
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
sau
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Din: C 1 = 0, C * 2 = 2
Soluția privată va fi scrisă astfel:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Se are în vedere o metodă de rezolvare a ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de ordin superior cu coeficienți constanți prin metoda variației constantelor Lagrange. Metoda Lagrange este de asemenea aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții pentru ecuația omogenă.

Vezi si:

Metoda Lagrange (variația constantelor)

Considerăm o ecuație diferențială liniară neomogenă cu coeficienți constanți de ordinul al n-lea arbitrar:
(1) .
Metoda de variație a unei constante, pe care am considerat-o pentru o ecuație de ordinul întâi, este aplicabilă și pentru ecuațiile de ordin superior.

Soluția se realizează în două etape. În primul pas, aruncăm partea dreaptă și rezolvăm ecuația omogenă. Ca rezultat, obținem o soluție care conține n constante arbitrare. În a doua etapă variam constantele. Adică, credem că aceste constante sunt funcții ale variabilei independente x și găsim forma acestor funcții.

Deși aici luăm în considerare ecuații cu coeficienți constanți, dar Metoda lui Lagrange este de asemenea aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene. Pentru a face acest lucru, trebuie cunoscut însă sistemul fundamental de soluții la ecuația omogenă.

Pasul 1. Rezolvarea ecuației omogene

Ca și în cazul ecuațiilor de ordinul întâi, căutăm mai întâi soluția generală a ecuației omogene, echivalând latura neomogenă din dreapta cu zero:
(2) .
Soluția generală a acestei ecuații este:
(3) .
Aici sunt constante arbitrare; - n soluții liniar independente ale ecuației omogene (2), care formează un sistem fundamental de soluții ale acestei ecuații.

Pasul 2. Variația constantelor - înlocuirea constantelor cu funcții

În a doua etapă ne vom ocupa de variația constantelor. Cu alte cuvinte, vom înlocui constantele cu funcții ale variabilei independente x:
.
Adică, căutăm o soluție la ecuația inițială (1) în următoarea formă:
(4) .

Dacă înlocuim (4) în (1), obținem o ecuație diferențială pentru n funcții. În acest caz, putem conecta aceste funcții cu ecuații suplimentare. Apoi obțineți n ecuații din care se pot determina n funcții. Se pot scrie ecuații suplimentare căi diferite. Dar vom face acest lucru pentru ca soluția să aibă cea mai simplă formă. Pentru a face acest lucru, la diferențiere, trebuie să egalați cu zero termenii care conțin derivate ale funcțiilor. Să demonstrăm asta.

Pentru a înlocui soluția propusă (4) în ecuația inițială (1), trebuie să găsim derivatele primelor n ordine ale funcției scrise în forma (4). Diferențiem (4) folosind regulile de diferențiere a sumei și a produsului:
.
Să grupăm membrii. În primul rând, notăm termenii cu derivate ale lui , iar apoi termenii cu derivate ale lui:

.
Să impunem prima condiție funcțiilor:
(5.1) .
Atunci expresia pentru prima derivată cu privire la va avea o formă mai simplă:
(6.1) .

Folosind aceeași metodă, găsim derivata a doua:

.
Să impunem oa doua condiție funcțiilor:
(5.2) .
Apoi
(6.2) .
Și așa mai departe. În condiții suplimentare, echivalăm termenii care conțin derivate ale funcțiilor cu zero.

Astfel, dacă alegem următoarele ecuații suplimentare pentru funcții:
(5.k) ,
atunci primele derivate cu privire la vor avea cea mai simplă formă:
(6.k) .
Aici .

Găsiți derivata a n-a:
(6.n)
.

Înlocuiți în ecuația inițială (1):
(1) ;






.
Să luăm în considerare că toate funcțiile satisfac ecuația (2):
.
Atunci suma termenilor care îi conțin dă zero. Ca rezultat obținem:
(7) .

Ca rezultat, am primit un sistem de ecuații liniare pentru derivate:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rezolvând acest sistem, găsim expresii pentru derivate în funcție de x. Integrând, obținem:
.
Iată constante care nu mai depind de x. Înlocuind în (4), obținem o soluție generală a ecuației inițiale.

Rețineți că pentru a determina valorile derivatelor, nu am folosit niciodată faptul că coeficienții a i sunt constanți. De aceea Metoda lui Lagrange este aplicabilă pentru rezolvarea oricăror ecuații liniare neomogene, dacă este cunoscut sistemul fundamental de soluții la ecuația omogenă (2).

Exemple

Rezolvați ecuații folosind metoda variației constantelor (Lagrange).


Rezolvarea exemplelor >> >>

Metoda de variație a unei constante arbitrare, sau metoda Lagrange, este o altă modalitate de a rezolva ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi și ecuația Bernoulli.

Ecuațiile diferențiale liniare de ordinul întâi sunt ecuații de forma y’+p(x)y=q(x). Dacă există un zero pe partea dreaptă: y’+p(x)y=0, atunci acesta este un liniar omogen Ecuația de ordinul 1. În consecință, o ecuație cu o parte dreaptă diferită de zero, y’+p(x)y=q(x), este eterogen Ecuație liniară de ordinul I.

Metoda de variație a unei constante arbitrare (metoda Lagrange) este după cum urmează:

1) Căutăm o soluție generală a ecuației omogene y’+p(x)y=0: y=y*.

2) În soluția generală, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C = C (x). Găsim derivata soluției generale (y*)’ și înlocuim expresia rezultată pentru y* și (y*)’ în condiția inițială. Din ecuația rezultată găsim funcția C(x).

3) În soluția generală a ecuației omogene, în loc de C, înlocuim expresia găsită C(x).

Să ne uităm la exemple de metodă de variare a unei constante arbitrare. Să luăm aceleași sarcini ca în, să comparăm progresul soluției și să ne asigurăm că răspunsurile obținute coincid.

1) y’=3x-y/x

Să rescriem ecuația în formă standard (spre deosebire de metoda lui Bernoulli, unde aveam nevoie de forma de notație doar pentru a vedea că ecuația este liniară).

y’+y/x=3x (I). Acum procedăm conform planului.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. Aceasta este o ecuație cu variabile separabile. Imaginați-vă y’=dy/dx, înlocuiți: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu xy≠0: dy/y=-dx/x. Să integrăm:

2) În soluția generală rezultată a ecuației omogene, vom considera C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). De aici

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (I):

Să integrăm ambele părți ale ecuației:

aici C este deja o constantă nouă.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C/x, unde am presupus C=C(x), adică y=C(x)/x, în loc de C(x) înlocuim expresia găsită x³ +C: y=(x³ +C)/x sau y=x²+C/x. Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Răspuns: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Aici ecuația este deja scrisă în formă standard, nu este nevoie să o transformăm.

1) Rezolvați ecuația liniară omogenă y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Să integrăm:

Pentru a obține o formă mai convenabilă de notație, luăm exponentul la puterea lui C ca noul C:

Această transformare a fost efectuată pentru a face mai convenabilă găsirea derivatei.

2) În soluția generală rezultată a ecuației liniare omogene, considerăm C nu o constantă, ci o funcție a lui x: C=C(x). În această condiție

Înlocuim expresiile rezultate y și y’ în condiția:

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

Integram ambele părți ale ecuației folosind formula de integrare prin părți, obținem:

Aici C nu mai este o funcție, ci o constantă obișnuită.

3) În soluția generală a ecuației omogene

înlocuiți funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când am rezolvat prin metoda lui Bernoulli.

Metoda de variație a unei constante arbitrare este de asemenea aplicabilă soluției.

y'x+y=-xy².

Aducem ecuația la forma standard: y’+y/x=-y² (II).

1) Rezolvați ecuația omogenă y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Înmulțim ambele părți ale ecuației cu dx și împărțim cu y: dy/y=-dx/x. Acum să integrăm:

Înlocuim expresiile rezultate în condiția (II):

Să simplificăm:

Am obținut o ecuație cu variabile separabile pentru C și x:

Aici C este deja o constantă obișnuită. În timpul procesului de integrare, am scris simplu C în loc de C(x), pentru a nu supraîncărca notația. Și la final am revenit la C(x), pentru a nu confunda C(x) cu noul C.

3) În soluția generală a ecuației omogene y=C(x)/x înlocuim funcția găsită C(x):

Am primit același răspuns ca atunci când l-am rezolvat folosind metoda Bernoulli.

Exemple de autotestare:

1. Să rescriem ecuația în formă standard: y’-2y=x.

1) Rezolvați ecuația omogenă y’-2y=0. y’=dy/dx, prin urmare dy/dx=2y, înmulțiți ambele părți ale ecuației cu dx, împărțiți cu y și integrați:

De aici găsim y:

Înlocuim expresiile pentru y și y’ în condiția (pentru concizie vom folosi C în loc de C(x) și C’ în loc de C"(x)):

Pentru a găsi integrala din partea dreaptă, folosim formula de integrare prin părți:

Acum înlocuim u, du și v în formula:

Aici C =const.

3) Acum înlocuim omogen în soluție

Curs 44. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. (partea dreapta speciala).

Transformări sociale. Statul și biserica.

Politica socială a bolșevicilor a fost dictată în mare măsură de abordarea lor de clasă. Prin decretul din 10 noiembrie 1917, sistemul de clasă a fost distrus, au fost desființate gradele, titlurile și premiile prerevoluționare. S-a stabilit alegerea judecătorilor; s-a realizat secularizarea statelor civile. S-au instituit învăţământul şi îngrijirile medicale gratuite (decretul din 31 octombrie 1918). Femeilor li s-au acordat drepturi egale cu bărbații (decrete din 16 și 18 decembrie 1917). Decretul de căsătorie a introdus instituția căsătoriei civile.

Prin decretul Consiliului Comisarilor Poporului din 20 ianuarie 1918, biserica a fost separată de stat și de sistemul de învățământ. Majoritatea bunurilor bisericii au fost confiscate. Patriarhul Moscovei și al Rusiei Tihon (ales la 5 noiembrie 1917) anatemizat la 19 ianuarie 1918 puterea sovieticăși a cerut o luptă împotriva bolșevicilor.

Considerăm o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi

Structura soluției generale a unei astfel de ecuații este determinată de următoarea teoremă:

Teorema 1. Soluția generală a ecuației neomogene (1) este reprezentată ca suma unei soluții particulare a acestei ecuații și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

Dovada. Este necesar să se dovedească că suma

este o soluție generală a ecuației (1). Să demonstrăm mai întâi că funcția (3) este o soluție a ecuației (1).

Înlocuind suma în ecuația (1) în loc de la, vom avea

Deoarece există o soluție pentru ecuația (2), expresia din primele paranteze este identic egală cu zero. Deoarece există o soluție pentru ecuația (1), expresia din a doua paranteză este egală cu f(x). Prin urmare, egalitatea (4) este o identitate. Astfel, prima parte a teoremei este demonstrată.

Să demonstrăm a doua afirmație: expresia (3) este general soluția ecuației (1). Trebuie să demonstrăm că constantele arbitrare incluse în această expresie pot fi selectate astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale:

oricare ar fi numerele x 0, y 0și (dacă numai x 0 a fost preluat din zona unde funcționează a 1, a 2Și f(x) continuu).

Observând că poate fi reprezentat sub forma . Apoi, pe baza condițiilor (5), vom avea

Să rezolvăm acest sistem și să stabilim C 1Și C 2. Să rescriem sistemul sub forma:

Rețineți că determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru funcții la 1Și la 2 la punct x=x 0. Deoarece aceste funcții sunt liniar independente de condiție, determinantul Wronski nu este egal cu zero; prin urmare sistemul (6) are o soluție certă C 1Și C 2, adică există astfel de sensuri C 1Și C 2, sub care formula (3) determină soluția ecuației (1) care satisface condițiile inițiale date. Q.E.D.

Să trecem la metoda generală de găsire a soluțiilor parțiale la o ecuație neomogenă.

Să scriem soluția generală a ecuației omogene (2)

Vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene (1) în forma (7), având în vedere C 1Și C 2 ca unele funcții încă necunoscute din X.

Să diferențiem egalitatea (7):

Să selectăm funcțiile pe care le căutați C 1Și C 2 astfel încât egalitatea să se mențină

Dacă luăm în considerare această condiție suplimentară, atunci prima derivată va lua forma

Diferențiând acum această expresie, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem

Expresiile din primele două paranteze devin zero, deoarece y 1Și y 2– soluții ale unei ecuații omogene. Prin urmare, ultima egalitate ia forma

Astfel, funcția (7) va fi o soluție a ecuației neomogene (1) dacă funcțiile C 1Și C 2 satisface ecuațiile (8) și (9). Să creăm un sistem de ecuații din ecuațiile (8) și (9).

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente y 1Și y 2 ecuația (2), atunci nu este egală cu zero. Prin urmare, rezolvând sistemul, vom găsi atât anumite funcții ale X:

Rezolvând acest sistem, găsim , de unde, ca urmare a integrării, obținem . Apoi, înlocuim funcțiile găsite în formulă, obținem o soluție generală a ecuației neomogene, unde sunt constante arbitrare.