Unghiuri adiacente și verticale. Ce unghiuri se numesc adiacente? Care este suma a două unghiuri adiacente? Unghiurile mixte sunt egale

În procesul de studiere a unui curs de geometrie, conceptele de „unghi”, „unghiuri verticale”, „unghiuri adiacente” apar destul de des. Înțelegerea fiecăruia dintre termeni vă va ajuta să înțelegeți problema și să o rezolvați corect. Ce sunt unghiurile adiacente și cum să le determinăm?

Unghiuri adiacente - definirea conceptului

Termenul „unghiuri adiacente” caracterizează două unghiuri formate dintr-o rază comună și două semilinii suplimentare situate pe aceeași linie dreaptă. Toate cele trei raze ies din același punct. O semilinie comună este simultan o latură a unuia și a celuilalt unghi.

Unghiuri adiacente - proprietăți de bază

1. Pe baza formulării unghiurilor adiacente, este ușor de observat că suma acestor unghiuri formează întotdeauna un unghi invers, a cărui măsură este de 180°:

• Dacă μ și η sunt unghiuri adiacente, atunci μ + η = 180°.
• Cunoscând mărimea unuia dintre unghiurile adiacente (de exemplu, μ), puteți calcula cu ușurință măsura gradului celui de-al doilea unghi (η) folosind expresia η = 180° – μ.

2. Această proprietate a unghiurilor ne permite să tragem următoarea concluzie: un unghi care este adiacent unui unghi drept va fi și el drept.

3. Considerând funcțiile trigonometrice (sin, cos, tg, ctg), pe baza formulelor de reducere pentru unghiurile adiacente μ și η, este adevărat:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη ​​​​= ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Unghiuri adiacente - exemple

Exemplul 1

Dat un triunghi cu vârfurile M, P, Q – ΔMPQ. Găsiți unghiurile adiacente unghiurilor ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Să extindem fiecare parte a triunghiului cu o linie dreaptă.
• Știind că unghiurile adiacente se completează până la un unghi inversat, aflăm că:

adiacent unghiului ∠QMP este ∠LMP,

adiacent unghiului ∠MPQ este ∠SPQ,

adiacent unghiului ∠PQM este ∠HQP.

Exemplul 2

Valoarea unui unghi adiacent este de 35°. Care este măsura gradului celui de-al doilea unghi adiacent?

• Două unghiuri adiacente se adaugă până la 180°.
• Dacă ∠μ = 35°, atunci adiacent acestuia ∠η = 180° – 35° = 145°.

Exemplul 3

Determinați valorile unghiurilor adiacente dacă se știe că gradul de măsură a unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât gradul de măsurare a celuilalt unghi.

• Să notăm mărimea unui unghi (mai mic) cu – ∠μ = λ.
• Apoi, conform condițiilor problemei, valoarea celui de-al doilea unghi va fi egală cu ∠η = 3λ.
• Pe baza proprietății de bază a unghiurilor adiacente, urmează μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Aceasta înseamnă că primul unghi este ∠μ = λ = 45°, iar al doilea unghi este ∠η = 3λ = 135°.

Abilitatea de a folosi terminologia, precum și cunoașterea proprietăților de bază ale unghiurilor adiacente, vă vor ajuta să rezolvați multe probleme geometrice.

1. Unghiuri adiacente.

Dacă extindem latura oricărui unghi dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): ∠ABC și ∠CBD, în care o latură BC este comună, iar celelalte două, AB și BD, formează o linie dreaptă.

Două unghiuri în care o latură este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc unghiuri adiacente.

Unghiurile adiacente se pot obține și în acest fel: dacă desenăm o rază dintr-un punct de pe o dreaptă (nu se află pe o dreaptă dată), vom obține unghiuri adiacente.

De exemplu, ∠ADF și ∠FDB sunt unghiuri adiacente (Fig. 73).

Unghiurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi drept, deci suma a două unghiuri adiacente este de 180°

Prin urmare, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând dimensiunea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi dimensiunea celuilalt unghi adiacent acestuia.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este de 54°, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

180° - 54° = l26°.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile unghiului dincolo de vârful său, obținem unghiuri verticale. În Figura 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt de asemenea verticale.

Două unghiuri se numesc verticale dacă laturile unui unghi sunt continuarea laturilor celuilalt unghi.

Fie ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(Fig. 76). ∠2 adiacent acestuia va fi egal cu 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, adică 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

În același mod, puteți calcula cu ce sunt egale ∠3 și ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Fig. 77).

Vedem că ∠1 = ∠3 și ∠2 = ∠4.

Puteți rezolva mai multe probleme din aceeași, și de fiecare dată veți obține același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a vă asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luați în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din anumite exemple pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietăților unghiurilor verticale prin demonstrație.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

∠un +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180°).

∠un +∠c = ∠b+∠c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 180°, iar partea dreaptă este, de asemenea, egală cu 180°).

Această egalitate include același unghi Cu.

Dacă scădem cantități egale din cantități egale, atunci vor rămâne cantități egale. Rezultatul va fi: ∠A = ∠b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

În desenul 79, ∠1, ∠2, ∠3 și ∠4 sunt situate pe o parte a unei linii și au un vârf comun pe această linie. În concluzie, aceste unghiuri formează un unghi drept, adică.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

În Figura 80, ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 și ∠5 au un vârf comun. Aceste unghiuri se adună până la un unghi complet, adică ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Fiecare unghi, în funcție de dimensiunea sa, are propriul său nume:

Tip unghi	Dimensiunea în grade	Exemplu
Picant	Sub 90°
Drept	Egal cu 90°. Într-un desen, un unghi drept este de obicei notat printr-un simbol desenat dintr-o parte a unghiului pe cealaltă.
Bont	Mai mult de 90°, dar mai puțin de 180°
Extins	Egal cu 180° Un unghi drept este egal cu suma a două unghiuri drepte, iar un unghi drept este jumătate dintr-un unghi drept.
Convex	Mai mult de 180°, dar mai puțin de 360°
Deplin	Egal cu 360°

Cele două unghiuri se numesc adiacent, dacă au o latură în comun, iar celelalte două laturi formează o linie dreaptă:

Unghiuri MOPȘi PON adiacent, din moment ce grinda OP- partea comună și celelalte două părți - OMȘi PE alcătuiește o linie dreaptă.

Latura comună a unghiurilor adiacente se numește oblic spre drept, pe care se află celelalte două laturi, numai în cazul în care unghiurile adiacente nu sunt egale între ele. Dacă unghiurile adiacente sunt egale, atunci latura lor comună va fi perpendicular.

Suma unghiurilor adiacente este de 180°.

Cele două unghiuri se numesc vertical, dacă laturile unui unghi completează laturile celuilalt unghi cu linii drepte:

Unghiurile 1 și 3, precum și unghiurile 2 și 4, sunt verticale.

Unghiurile verticale sunt egale.

Să demonstrăm că unghiurile verticale sunt egale:

Suma lui ∠1 și ∠2 este un unghi drept. Și suma lui ∠3 și ∠2 este un unghi drept. Deci aceste două sume sunt egale:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

În această egalitate, există un termen identic la stânga și la dreapta - ∠2. Egalitatea nu va fi încălcată dacă acest termen din stânga și dreapta este omis. Atunci o primim.

Două unghiuri plasate pe aceeași linie dreaptă și având același vârf sunt numite adiacente.

În caz contrar, dacă suma a două unghiuri de pe o linie dreaptă este egală cu 180 de grade și au o latură în comun, atunci acestea sunt unghiuri adiacente.

1 unghi adiacent + 1 unghi adiacent = 180 de grade.

Unghiurile adiacente sunt două unghiuri în care o latură este comună, iar celelalte două laturi formează în general o linie dreaptă.

Suma a două unghiuri adiacente este întotdeauna de 180 de grade. De exemplu, dacă un unghi este de 60 de grade, atunci al doilea va fi neapărat egal cu 120 de grade (180-60).

Unghiurile AOC și BOC sunt unghiuri adiacente deoarece sunt îndeplinite toate condițiile pentru caracteristicile unghiurilor adiacente:

1.OS - partea comună a două colțuri

2.AO - partea colțului AOS, OB - partea colțului BOS. Împreună, aceste laturi formează o linie dreaptă AOB.

3. Sunt două unghiuri și suma lor este de 180 de grade.

Amintindu-ne de cursul de geometrie școlară, putem spune următoarele despre unghiurile adiacente:

unghiurile adiacente au o latură în comun, iar celelalte două laturi aparțin aceleiași drepte, adică sunt pe aceeași linie dreaptă. Dacă conform figurii, atunci unghiurile SOB și BOA sunt unghiuri adiacente, a căror sumă este întotdeauna egală cu 180, deoarece împart un unghi drept, iar un unghi drept este întotdeauna egal cu 180.



Unghiurile adiacente sunt un concept ușor în geometrie. Unghiurile adiacente, un unghi plus un unghi, se adaugă până la 180 de grade.

Două unghiuri adiacente vor fi un unghi desfășurat.

Mai sunt câteva proprietăți. Cu unghiuri adiacente, problemele sunt ușor de rezolvat și teoremele de demonstrat.

Unghiurile adiacente sunt formate prin trasarea unei raze dintr-un punct arbitrar pe o linie dreaptă. Apoi, acest punct arbitrar se dovedește a fi vârful unghiului, raza se dovedește a fi latura comună a unghiurilor adiacente și linia dreaptă din care este trasă raza se dovedește a fi cele două laturi rămase ale unghiurilor adiacente. Unghiurile adiacente pot fi aceleași în cazul unei perpendiculare, sau diferite în cazul unui fascicul înclinat. Este ușor de înțeles că suma unghiurilor adiacente este egală cu 180 de grade sau pur și simplu o linie dreaptă. Într-un alt fel, acest unghi poate fi explicat printr-un exemplu simplu - ați mers mai întâi într-o direcție într-o linie dreaptă, apoi v-ați răzgândit, ați decis să vă întoarceți și, întorcându-vă cu 180 de grade, ați pornit de-a lungul aceleiași linii drepte în sens opus. direcţie.



Deci, ce este un unghi adiacent? Definiție:

Două unghiuri cu un vârf comun și o latură comună sunt numite adiacente, iar celelalte două laturi ale acestor unghiuri se află pe aceeași linie dreaptă.



Și o scurtă lecție video care arată în mod sensibil despre unghiurile adiacente, unghiurile verticale, plus despre liniile perpendiculare, care sunt un caz special de unghiuri adiacente și verticale

Unghiurile adiacente sunt unghiuri în care o parte este comună, iar cealaltă este o singură linie.

Unghiurile adiacente sunt unghiuri care depind unul de celălalt. Adică, dacă latura comună este ușor rotită, atunci un unghi va scădea cu câteva grade și automat al doilea unghi va crește cu același număr de grade. Această proprietate a unghiurilor adiacente permite rezolvarea diferitelor probleme de geometrie și efectuarea demonstrațiilor diferitelor teoreme.

Suma totală a unghiurilor adiacente este întotdeauna de 180 de grade.



Din cursul de geometrie, (din câte îmi amintesc în clasa a VI-a), două unghiuri se numesc adiacente, în care o latură este comună, iar celelalte laturi sunt raze suplimentare, suma unghiurilor adiacente este 180. Fiecare dintre cele două unghiurile adiacente se completează pe celălalt la un unghi extins. Exemplu de unghiuri adiacente:



Unghiurile adiacente sunt două unghiuri cu un vârf comun, una dintre laturile cărora este comună, iar laturile rămase se află pe aceeași linie dreaptă (nu coincide). Suma unghiurilor adiacente este de o sută optzeci de grade. În general, toate acestea sunt foarte ușor de găsit în Google sau într-un manual de geometrie.

Două unghiuri se numesc adiacente dacă au un vârf comun și o latură, iar celelalte două laturi formează o linie dreaptă. Suma unghiurilor adiacente este de 180 de grade.



În figură, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.



Unghiurile adiacente sunt cele care au un vârf comun, o latură comună, iar celelalte laturi sunt continuări unele ale altora și formează un unghi extins. O proprietate remarcabilă a unghiurilor adiacente este că suma acestor unghiuri este întotdeauna egală cu 180 de grade.

Unghiurile cu un vârf comun și o latură comună în geometrie sunt numite adiacente

Suma unghiurilor adiacente este 180 de grade

Trebuie remarcat faptul că unghiurile adiacente au sinusuri egale

Pentru a afla mai multe despre unghiurile adiacente, citiți aici

Unghiuri în care o parte este comună, iar celelalte laturi se află pe aceeași linie dreaptă (în figură, unghiurile 1 și 2 sunt adiacente). Orez. la art. Colțuri adiacente... Marea Enciclopedie Sovietică

COLTURI ADJACENTE- unghiuri care au un vârf comun și o latură comună, iar celelalte două laturi ale lor se află pe aceeași linie dreaptă... Marea Enciclopedie Politehnică

Vezi unghiul... Dicţionar enciclopedic mare

UNGHIURI ADJACENTE, două unghiuri a căror sumă este 180°. Fiecare dintre aceste unghiuri se completează pe celălalt la unghiul complet... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

Vezi Unghi. * * * COLTURI ADJACENTE COLTURI ADJACENTE, vezi Unghi (vezi UNGHI) ... Dicţionar enciclopedic

- (Unghiuri adiacente) cele care au un vârf comun și o latură comună. În cea mai mare parte, acest nume se referă la astfel de unghiuri C, ale căror celelalte două laturi se află în direcții opuse ale unei linii drepte trasate prin vârf... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Vezi unghiul... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Două linii drepte se intersectează pentru a crea o pereche de unghiuri verticale. O pereche este formată din unghiuri A și B, cealaltă din C și D. În geometrie, două unghiuri se numesc verticale dacă sunt create prin intersecția a două ... Wikipedia

O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade. Unghiurile complementare sunt o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri complementare sunt adiacente (adică au un vârf comun și sunt separate doar... ... Wikipedia

O pereche de unghiuri complementare care se completează până la 90 de grade Unghiurile complementare sunt o pereche de unghiuri care se completează până la 90 de grade. Dacă două unghiuri complementare sunt cu... Wikipedia

Cărți

• Despre dovada în geometrie, A.I Fetisov, o dată, chiar la începutul anului școlar, a trebuit să aud o conversație între două fete. Cel mai mare dintre ei s-a mutat în clasa a șasea, cel mai mic în a cincea. Fetele și-au împărtășit impresiile despre lecții...
• Geometrie. clasa a 7-a. Caiet cuprinzător pentru controlul cunoștințelor, I. S. Markova, S. P. Babenko. Manualul prezintă materiale de control și măsurare (CMM) în geometrie pentru efectuarea controlului calitativ curent, tematic și final al cunoștințelor elevilor de clasa a VII-a. Conținutul manualului...