Accelerația centripetă prin formula vitezei unghiulare. Mișcare de rotație

Când se deplasează într-un cerc cu o viteză liniară constantă υ, corpul are o accelerație centripetă constantă îndreptată spre centrul cercului

a c = υ 2 /R, (18)

unde R este raza cercului.

Derivarea formulei pentru accelerația centripetă

A-prioriu.

Figura 6 Derivarea formulei pentru accelerația centripetă

În figură, triunghiurile formate de vectorii deplasare și viteză sunt similare. Având în vedere că == R și == υ, din asemănarea triunghiurilor găsim:

(20)

(21)

Să plasăm originea coordonatelor în centrul cercului și să alegem planul în care se află cercul ca plan (x, y). Poziția unui punct pe un cerc în orice moment este determinată în mod unic de unghiul polar φ, măsurat în radiani (rad) și

x = R cos(φ + φ 0), y = R sin(φ + φ 0), (22)

unde φ 0 determină faza inițială (poziția inițială a unui punct pe cerc la momentul zero).

În cazul rotației uniforme, unghiul φ, măsurat în radiani, crește liniar cu timpul:

φ = ωt, (23)

unde ω se numește frecvență ciclică (circulară). Dimensiunea frecvenței ciclice: [ω] = c –1 = Hz.

Frecvența ciclică este egală cu cantitatea de unghi de rotație (măsurată în rad) pe unitatea de timp, deci este numită și viteză unghiulară.

Dependența coordonatelor unui punct de pe un cerc în timp în cazul rotației uniforme cu o frecvență dată poate fi scrisă ca:

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0).

Timpul necesar pentru a finaliza o revoluție se numește perioada T.

Frecvența ν = 1/T. (25)

Dimensiunea frecvenței: [ν] = s –1 = Hz.

Relația dintre frecvența ciclică și perioada și frecvența: 2π = ωT, de unde

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Relația dintre viteza liniară și viteza unghiulară se găsește din egalitatea:

2πR = υT, de unde

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Expresia pentru accelerația centripetă poate fi scrisă căi diferite, folosind conexiunile dintre viteza, frecventa si perioada:

A q = υ 2 /R = ω 2 R = 4π 2 ν 2 R = 4π 2 R/T 2 . (28)

4.6 Relația dintre mișcările de translație și de rotație

Caracteristicile cinematice de bază ale mișcării în linie dreaptă cu accelerație constantă: deplasarea s, viteza υ și accelerația A. Caracteristicile corespunzătoare la deplasarea într-un cerc cu raza R: deplasarea unghiulară φ, viteza unghiulară ω și accelerația unghiulară ε (în cazul în care corpul se rotește cu viteză variabilă).

Din considerente geometrice, rezultă următoarele conexiuni între aceste caracteristici:

deplasarea s → deplasarea unghiulară φ = s/R;

viteza υ → viteza unghiulara ω = υ /R;

accelerare A→ accelerația unghiulară ε = A/R.

Toate formulele pentru cinematica mișcării uniform accelerate în linie dreaptă pot fi convertite în formule pentru cinematica rotației într-un cerc dacă se fac substituțiile indicate. De exemplu:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + A t → ω = ω 0 + ε t. (29a)

Relația dintre vitezele liniare și unghiulare ale unui punct atunci când se rotește într-un cerc poate fi scrisă sub formă vectorială. Într-adevăr, să fie situat cercul cu centrul său la origine în planul (x, y). În orice moment vectorul trasat de la origine până la punctul de pe cerc în care se află corpul este perpendicular pe vectorul viteză al corpului , îndreptată tangentă la cerc în acest punct. Să definim vectorul , care este egală în valoare absolută cu viteza unghiulară ω și este îndreptată de-a lungul axei de rotație în direcția determinată de regula șurubului drept: dacă înșurubați șurubul astfel încât sensul de rotație al acestuia să coincidă cu sensul de rotație a punctului de-a lungul cercului, apoi direcția de mișcare a șurubului arată direcția vectorului . Apoi legătura dintre trei vectori reciproc perpendiculari ,Și poate fi scris folosind produsul încrucișat al vectorilor.

Anterior, caracteristicile mișcării rectilinie au fost luate în considerare: mișcare, viteză, accelerație. Analogii lor în mișcarea de rotație sunt: deplasare unghiulară, viteză unghiulară, accelerație unghiulară.

Rolul deplasării în mișcarea de rotație îl joacă colţ;
Mărimea unghiului de rotație pe unitatea de timp este viteză unghiulară;
Modificarea vitezei unghiulare pe unitatea de timp este accelerație unghiulară.

În timpul mișcării uniforme de rotație, un corp se mișcă într-un cerc cu aceeași viteză, dar cu o direcție schimbătoare. De exemplu, această mișcare este realizată de acționările unui ceas pe un cadran.

Să presupunem că mingea se rotește uniform pe un fir de 1 metru lungime. În același timp, va descrie un cerc cu o rază de 1 metru. Lungimea acestui cerc este: C = 2πR = 6,28 m

Se numește timpul necesar pentru ca mingea să completeze o revoluție completă în jurul cercului perioada de rotație - T.

Pentru a calcula viteza liniară a mingii, este necesar să se împartă deplasarea în timp, adică. circumferinta pe perioada de rotatie:

V = C/T = 2πR/T

Perioada de rotație:

T = 2πR/V

Dacă mingea noastră face o rotație în 1 secundă (perioada de rotație = 1s), atunci viteza sa liniară este:
V = 6,28/1 = 6,28 m/s

2. Accelerația centrifugă

În orice punct al mișcării de rotație a mingii, vectorul său de viteză liniară este direcționat perpendicular pe rază. Nu este greu de ghicit că, cu o astfel de rotație circulară, vectorul viteză liniară al mingii își schimbă în mod constant direcția. Se numește accelerația care caracterizează o astfel de modificare a vitezei accelerație centrifugă (centripetă)..

În timpul mișcării uniforme de rotație, se schimbă doar direcția vectorului viteză, dar nu și mărimea! Prin urmare accelerația liniară = 0 . Modificarea vitezei liniare este susținută de accelerația centrifugă, care este îndreptată spre centrul cercului de rotație perpendicular pe vectorul viteză - a c.

Accelerația centrifugă poate fi calculată folosind formula: a c = V2/R

Cu cât viteza liniară a corpului este mai mare și cu cât raza de rotație este mai mică, cu atât accelerația centrifugă este mai mare.

3. Forța centrifugă

Din mișcarea rectilinie știm că forța este egală cu produsul dintre masa unui corp și accelerația acestuia.

Cu mișcare de rotație uniformă, o forță centrifugă acționează asupra unui corp în rotație:

F c = ma c = mV 2 /R

Dacă mingea noastră cântărește 1 kg, apoi pentru a-l menține pe cerc veți avea nevoie de forță centrifugă:

F c = 1 6,28 2 /1 = 39,4 N

Întâlnim forță centrifugă în Viata de zi cu zi la orice cotitură.

Forța de frecare trebuie să echilibreze forța centrifugă:

Fc = mV2/R; F tr = μmg

F c = F tr; mV2/R = μmg

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9 9,8 30 = 16,3 m/s = 58,5 km/h

Răspuns: 58,5 km/h

Vă rugăm să rețineți că viteza de întoarcere nu depinde de greutatea corpului!

Cu siguranță ați observat că unele viraje de pe autostradă au o ușoară înclinare spre interiorul virajului. Astfel de viraj sunt „mai ușor” de făcut sau, mai degrabă, puteți face viraj cu viteză mai mare. Să luăm în considerare ce forțe acționează asupra mașinii într-o viraj atât de înclinat. În acest caz, nu vom lua în considerare forța de frecare, iar accelerația centrifugă va fi compensată doar de componenta orizontală a gravitației:

F c = mV 2 /R sau F c = F n sinα

În direcția verticală, forța gravitației acționează asupra corpului F g = mg, care este echilibrat de componenta verticală a forței normale F n cosα:

Fn cosα = mg, deci: Fn = mg/cosα

Înlocuim valoarea forței normale în formula originală:

F c = F n sinα = (mg/cosα)sinα = mg sinα/cosα = mg tgα

Astfel, unghiul de înclinare al carosabilului:

α = arctg(F c /mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

Din nou, rețineți că greutatea corporală nu este inclusă în calcule!

Sarcina #2: Pe o anumită porțiune de autostradă există un viraj cu o rază de 100 de metri. Viteza medie a mașinilor care trec pe această porțiune de drum este de 108 km/h (30 m/s). Care ar trebui să fie unghiul sigur de înclinare a suprafeței drumului în această secțiune, astfel încât mașina să nu „zboare” (neglijarea frecării)?

α = arctan(V 2 /gR) = arctan(30 2 /9,8 100) = 0,91 = 42° Răspuns: 42°. Unghi destul de decent. Dar, nu uitați că în calculele noastre nu luăm în considerare forța de frecare a suprafeței drumului.

4. Grade și radiani

Mulți oameni sunt confuzi în înțelegerea valorilor unghiulare.

În mișcarea de rotație, unitatea de măsură de bază pentru mișcarea unghiulară este radian.

2π radiani = 360° - cerc complet
π radian = 180° - jumătate de cerc
π/2 radiani = 90° - sfert de cerc

Pentru a converti grade în radiani, împărțiți unghiul cu 360° și înmulțiți cu 2π. De exemplu:

45° = (45°/360°) 2π = π/4 radiani
30° = (30°/360°) 2π = π/6 radiani

Tabelul de mai jos prezintă formulele de bază pentru mișcarea liniară și de rotație.

Două raze care emană din el formează un unghi. Valoarea sa poate fi definită atât în radiani, cât și în grade. Acum, la o anumită distanță de punctul central, să desenăm mental un cerc. Măsura unghiului, exprimată în radiani, este atunci raportul matematic dintre lungimea arcului L, separat de două raze, și valoarea distanței dintre punctul central și linia cercului (R), adică:

Dacă acum ne imaginăm sistemul descris ca material, atunci îi putem aplica nu numai conceptul de unghi și rază, ci și accelerație centripetă, rotație etc. Majoritatea descriu comportamentul unui punct situat pe un cerc rotativ. Apropo, un disc solid poate fi reprezentat și printr-un set de cercuri, a căror diferență este doar la distanța de la centru.

Una dintre caracteristicile unui astfel de sistem rotativ este perioada sa orbitală. Indică valoarea timpului în care un punct dintr-un cerc arbitrar se va întoarce la poziția inițială sau, ceea ce este și adevărat, se va întoarce la 360 de grade. La o viteză de rotație constantă, corespondența T = (2*3,1416) / Ug este satisfăcută (în continuare Ug este unghiul).

Viteza de rotație indică numărul de rotații complete efectuate într-o secundă. La o viteză constantă obținem v = 1 / T.

Depinde de timp și de așa-numitul unghi de rotație. Adică, dacă luăm ca origine un punct arbitrar A de pe cerc, atunci când sistemul se rotește, acest punct se va muta în A1 în timpul t, formând un unghi între razele A-centrul și A1-centrul. Cunoscând timpul și unghiul, puteți calcula viteza unghiulară.

Și din moment ce există un cerc, mișcare și viteză, înseamnă că este prezentă și accelerația centripetă. Reprezintă una dintre componentele care descriu mișcarea în cazul mișcării curbilinii. Termenii „normal” și „accelerare centripetă” sunt identici. Diferența este că al doilea este folosit pentru a descrie mișcarea într-un cerc atunci când vectorul de accelerație este îndreptat spre centrul sistemului. Prin urmare, este întotdeauna necesar să știm exact cum se mișcă corpul (punctul) și accelerația sa centripetă. Definiția sa este următoarea: este rata de schimbare a vitezei, al cărei vector este îndreptat perpendicular pe direcția vectorului și schimbă direcția acestuia din urmă. Enciclopedia afirmă că Huygens a studiat această problemă. Formula pentru accelerația centripetă propusă de el arată astfel:

Acs = (v*v) / r,

unde r este raza de curbură a traseului parcurs; v - viteza de deplasare.

Formula folosită pentru a calcula accelerația centripetă provoacă încă dezbateri aprinse printre entuziaști. De exemplu, recent a fost exprimată o teorie interesantă.

Huygens, avand in vedere sistemul, a pornit de la faptul ca corpul se misca intr-un cerc de raza R cu viteza v masurata in punctul initial A. Deoarece vectorul de inertie este indreptat de-a lungul, se obtine o traiectorie sub forma unei linii drepte. AB. Cu toate acestea, forța centripetă ține corpul pe cerc în punctul C. Dacă marchem centrul ca O și trasăm linii AB, BO (suma BS și CO), precum și AO, obținem un triunghi. Conform legii pitagoreice:

BS=(a*(t*t)) / 2, unde a este accelerația; t - timp (a*t*t este viteza).

Dacă acum folosim formula lui Pitagora, atunci:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, unde R este raza, iar grafia alfanumerica fara semnul inmultirii este gradul.

Huygens a recunoscut că, deoarece timpul t este mic, acesta poate fi ignorat în calcule. După ce a transformat formula anterioară, ea a ajuns la binecunoscutul Acs = (v*v) / r.

Cu toate acestea, deoarece timpul este luat la pătrat, apare o progresie: cu cât t este mai mare, cu atât eroarea este mai mare. De exemplu, pentru 0,9 aproape valoarea totală de 20% nu este contabilizată.

Conceptul de accelerație centripetă este important pentru știința modernă, dar, evident, este prea devreme pentru a pune capăt acestei probleme.

Un obiect care se mișcă pe o orbită circulară de rază r cu viteza tangentiala uniforma u este vectorul viteză v, a cărei amploare este constantă, dar a cărei direcție este în continuă schimbare. Rezultă că un obiect trebuie să aibă accelerație, deoarece (vector) este rata de schimbare a vitezei (vectorului), iar viteza (vectorului) sunt într-adevăr diferite în timp.

Să presupunem că un obiect se mișcă dintr-un punct P până la punctul Q intre timp tȘi, t + δ t asa cum se vede in poza de mai sus. Să presupunem în continuare că obiectul este rotit de δθ radiani în această perioadă de timp. Vector, așa cum se arată în diagramă, este identic cu vector. În plus, unghiul dintre vectori și acesta δθ . Vectorul reprezintă modificarea vectorului viteză, δ v, intre timp tȘi t + δ t. Din aceasta este clar că acest vector este îndreptat spre centrul cercului. Din trigonometria standard, lungimea unui vector este:

Cu toate acestea, la unghiuri mici păcat θ ≃ θ , cu conditia ca θ măsurată în radiani. Prin urmare,

δv ≃ v δθ.

Unde este viteza unghiulară a obiectului în radiani pe secundă. Astfel, un obiect care se deplasează pe o orbită circulară cu o rază r, la viteza tangentiala uniforma v, și viteza unghiulară uniformă, are o accelerație îndreptată spre centrul cercului - adică, accelerație centripetă- mărimea:

Să presupunem că un corp cu masă m, atașat la capătul unui cablu, lungime r, și se rotește în așa fel încât corpul descrie un cerc orizontal cu rază r, cu viteza tangentiala uniforma v. După cum tocmai am învățat, un corp are o accelerație centripetă de mărime. Prin urmare, corpul experimentează o forță centripetă

Ce dă această putere? Bine, pe în acest exemplu, forta este asigurata de tensiunea cablului. Prin urmare, .

Să presupunem că cablul este de așa natură încât se rupe atunci când tensiunea din el depășește un anumit valoare critica. Rezultă că există viteza maxima, cu care corpul se poate mișca și anume:

Dacă v depaseste v max, cablul se va rupe. Odată ce cablul se rupe, corpul nu va mai experimenta forța centripetă, așa că se va mișca cu viteză v max de-a lungul unei linii drepte care este tangentă la orbita circulară preexistentă.

Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, mișcarea circulară nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.

Viteză unghiulară

Să alegem un punct de pe cerc 1 . Să construim o rază. Într-o unitate de timp, punctul se va muta în punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.

Perioada și frecvența

Perioada de rotație T- acesta este timpul în care corpul face o singură revoluție.

Frecvența de rotație este numărul de rotații pe secundă.

Frecvența și perioada sunt interdependente de relație

Relația cu viteza unghiulară

Viteza liniară

Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o mașină de șlefuit se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.

Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut este perioada T. Calea pe care o parcurge un punct este circumferința.

Accelerație centripetă

Când se deplasează într-un cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat spre centrul cercului.

Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații

Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea ar putea fi puncte care se află pe spițele unei roți) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât un punct este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.

Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcarea de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.

Pământul participă la două mișcări principale de rotație: diurnă (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este forța. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forță care acționează este forța elastică.

Dacă un corp situat pe un disc se rotește cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța își oprește acțiunea, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă

Luați în considerare mutarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară egal cu v AȘi v B respectiv. Accelerația este modificarea vitezei pe unitatea de timp. Să găsim diferența dintre vectori.