Rezolvarea inegalităților logaritmice complexe cu baze diferite. Lucrarea lui Manov „inegalitățile logaritmice în examenul de stat unificat”

O lecție despre o singură inegalitate dezvoltă abilitățile de cercetare, trezește gândurile elevilor, dezvoltă inteligența și crește interesul studenților pentru muncă. Cel mai bine este să o conduceți atunci când elevii au stăpânit conceptele necesare și au analizat o serie de tehnici speciale pentru rezolvarea inegalităților logaritmice. În această lecție, elevii sunt participanți activi în găsirea unei soluții.

• educational
: să dezvolte abilități și abilități de rezolvare a inegalităților logaritmice de tipul specificat căi diferite; predați să obțineți în mod independent cunoștințe (activitățile proprii ale elevilor pentru a studia și a stăpâni conținutul material educațional);
• în curs de dezvoltare
: lucrul la dezvoltarea vorbirii; învață să analizezi, să evidențiezi principalul lucru, să demonstrezi și să infirmi concluziile logice;
• educational
: formarea calităților morale, relații umane, acuratețe, disciplină, stima de sine, atitudine responsabilă față de atingerea scopului.

Lucrări orale.

Notați următoarele propoziții în limbaj matematic: „Numerele a și b sunt de aceeași parte a unuia”, „Numerele a și b sunt pe părțile opuse ale unității” și demonstrați inegalitățile rezultate. (Unul dintre elevi a pregătit în prealabil o soluție pe tablă).

Analizând opțiunile pentru examenele de admitere la matematică, se poate observa că din teoria logaritmilor în examene se întâlnesc adesea inegalități logaritmice care conțin o variabilă sub logaritm și în baza logaritmului.

Lecția noastră este lecția unei singure inegalități, care conține o variabilă sub logaritm și la baza logaritmului, rezolvate în moduri diferite. Ei spun că este mai bine să rezolvi o singură inegalitate, dar în moduri diferite, decât mai multe inegalități în același mod. Într-adevăr, ar trebui să vă puteți verifica deciziile. Nu există un test mai bun decât rezolvarea unei probleme într-un mod diferit și obținerea aceluiași răspuns (puteți ajunge la aceleași sisteme, aceleași inegalități, ecuații în moduri diferite). Dar nu numai acest scop este urmărit atunci când rezolvi sarcinile în moduri diferite. Căutarea diferitelor soluții, luând în considerare toate cazurile posibile, evaluarea critică a acestora pentru a le evidenția pe cele mai raționale, frumoase, este factor important dezvoltarea gândirii matematice, conduce departe de șablon. Prin urmare, astăzi vom rezolva o singură inegalitate, dar vom încerca să găsim mai multe modalități de a o rezolva.

Iată soluția la această inegalitate, luată dintr-o lucrare de examen. Privește-l cu atenție și încearcă să analizezi soluția. (Soluția inegalității este înscrisă în prealabil pe tablă)

log x (x 2 – 2x – 3)< log x 1;

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) x 2 – 2x – 3< 1;

x 2 – 2x – 3 = 0; x 2 – 2x – 4< 0;

x 1 = - 1, x 2 = 3; x 2 – 2x – 4 = 0;

c) rezolvarea sistemului

Posibile explicații ale elevilor:

Aceasta nu este o ecuație, ci o inegalitate, prin urmare, la trecerea de la o inegalitate logaritmică la una rațională, semnul inegalității va depinde de baza logaritmului și de monotonitatea funcției logaritmice.

Cu o astfel de decizie, este posibil să dobândești soluții străine, sau să pierzi soluții și este posibil ca printr-o decizie incorectă să se obțină răspunsul corect.

Deci, cum a fost necesar să se rezolve această inegalitate, în care variabila se află sub semnul logaritmului și în baza logaritmului?!

Această inegalitate este echivalentă cu o combinație a două sisteme de inegalități.

Primul sistem de inegalități nu are soluții.

Soluția sistemului de inegalități va fi

În soluția propusă la inegalitatea din foaia de examen, răspunsul a fost corect. De ce?

Posibile răspunsuri ale elevilor:

Deoarece domeniul de definire al funcției din partea stângă a inegalității este format din numere mai mari de 3, prin urmare, funcția y = log x t este în creștere. Prin urmare, răspunsul s-a dovedit a fi corect.

Cum a fost posibil să notăm o soluție corectă din punct de vedere matematic într-o lucrare de examen?

Să găsim domeniul de definire al funcției în partea stângă a inegalității și apoi, ținând cont de domeniul de definiție, luăm în considerare un singur caz

Cum altfel poate fi rezolvată această inegalitate? Ce formule pot fi folosite?

Formula pentru trecerea la o nouă bază a > 0, a 1

Este posibil să se aplice inegalității în sine faptul că logaritmul este mai mic decât zero?

Da. Expresia de sub logaritm și baza logaritmului sunt pe părțile opuse ale unuia, dar sunt pozitive!

Adică, obținem din nou același set de două sisteme de inegalități:

Toate metodele luate în considerare conduc la o combinație a două sisteme de inegalități. În toate cazurile se obține același răspuns. Toate metodele sunt justificate teoretic.

Întrebare către elevi: de ce credeți că s-a pus o întrebare la teme care nu avea legătură cu materialul studiat în clasa a 11-a?

Cunoscând proprietăţile logaritmului care log a b< 0 , Dacă AȘi b pe laturile opuse ale lui 1,

log a b > 0 dacă AȘi b pe o parte a 1, puteți obține un foarte interesant și mod neașteptat soluții la inegalități. Despre această metodă este scrisă în articolul „Unele relații logaritmice utile” din revista „Quantum” nr. 10 pentru 1990.

log g(x) f(x) > 0 dacă

log g(x) f(x)< 0, если

(De ce condiție g(x) 1 nu este necesar pentru a scrie?)

Soluție la inegalitate log x (x 2 – 2x – 3)< 0 arata asa:

A) x 2 – 2x – 3 > 0; b) (x – 1)(x 2 – 2x – 4)< 0;

c) rezolvarea sistemului de inegalitate

Metoda intervalului. („Rezolvarea inegalităților logaritmice folosind metoda intervalului” este subiectul lecției următoare).

1. În ce moduri a fost rezolvată inegalitatea? Câte moduri de a rezolva asta

Am găsit inegalități?

2. Care este cel mai rațional? Frumoasa?

3. Pe ce a fost soluția la inegalitatea bazată în fiecare caz?

4. De ce este interesantă această inegalitate?

Caracteristicile calitative ale muncii profesorului la clasă.

Este posibil să considerăm această inegalitate ca un caz special al unei probleme mai generale?

Inegalitatea formei log g(x) f(x)<(>) log g(x) h(x) poate fi redusă la inegalitate log g(x) p(x)<(>) 0 folosind proprietățile logaritmilor și proprietățile inegalităților.

Rezolvați inegalitatea

log x (x 2 + 3x – 3) > 1

prin oricare dintre metodele luate în considerare.

1. Rezolvați inegalitățile (din opțiunile pentru examenele de admitere la matematică):

2. În lecția următoare vom lua în considerare inegalitățile logaritmice care se rezolvă prin metoda intervalului. Repetați algoritmul de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului.

3. Aranjați numerele în ordine crescătoare (explicați de ce acest aranjament):

log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (repetați pentru lecția următoare).

Crezi că mai este timp până la Examenul Unificat de Stat și vei avea timp să te pregătești? Poate că așa este. Dar, în orice caz, cu cât un student începe mai devreme pregătirea, cu atât trece cu mai mult succes examenele. Astăzi am decis să dedicăm un articol inegalităților logaritmice. Aceasta este una dintre sarcini, ceea ce înseamnă o oportunitate de a obține credit suplimentar.

Știți deja ce este un logaritm? Chiar sperăm că da. Dar chiar dacă nu ai un răspuns la această întrebare, nu este o problemă. Înțelegerea a ceea ce este un logaritm este foarte simplă.

De ce 4? Trebuie să ridicați numărul 3 la această putere pentru a obține 81. Odată ce înțelegeți principiul, puteți trece la calcule mai complexe.

Ai trecut prin inegalități în urmă cu câțiva ani. Și de atunci le-ai întâlnit constant la matematică. Dacă aveți probleme în rezolvarea inegalităților, consultați secțiunea corespunzătoare.
Acum că ne-am familiarizat cu conceptele în mod individual, să trecem la luarea în considerare a acestora în general.

Cea mai simplă inegalitate logaritmică.

Cele mai simple inegalități logaritmice nu se limitează la acest exemplu, există încă trei, doar cu semne diferite. De ce este necesar acest lucru? Pentru a înțelege mai bine cum se rezolvă inegalitățile cu logaritmi. Acum să dăm un exemplu mai aplicabil, încă destul de simplu, vom lăsa inegalitățile logaritmice complexe pentru mai târziu.

Cum să rezolvi asta? Totul începe cu ODZ. Merită să știți mai multe despre asta dacă doriți să rezolvați întotdeauna cu ușurință orice inegalitate.

Ce este ODZ? ODZ pentru inegalitățile logaritmice

Abrevierea reprezintă intervalul de valori acceptabile. Această formulare apare adesea în sarcinile pentru examenul de stat unificat. ODZ vă va fi de folos nu numai în cazul inegalităților logaritmice.

Privește din nou exemplul de mai sus. Vom lua în considerare ODZ pe baza acestuia, astfel încât să înțelegeți principiul, iar rezolvarea inegalităților logaritmice nu ridică întrebări. Din definiția unui logaritm rezultă că 2x+4 trebuie să fie mai mare decât zero. În cazul nostru, aceasta înseamnă următoarele.

Acest număr, prin definiție, trebuie să fie pozitiv. Rezolvați inegalitatea prezentată mai sus. Acest lucru se poate face chiar și oral, aici este clar că X nu poate fi mai mic de 2. Soluția inegalității va fi definirea intervalului de valori acceptabile.
Acum să trecem la rezolvarea celei mai simple inegalități logaritmice.

Aruncăm logaritmii înșiși din ambele părți ale inegalității. Cu ce ​​ne lasă asta? Inegalitate simplă.

Nu este greu de rezolvat. X trebuie să fie mai mare de -0,5. Acum combinăm cele două valori obținute într-un sistem. Prin urmare,

Acesta va fi intervalul de valori acceptabile pentru inegalitatea logaritmică luată în considerare.

De ce avem nevoie de ODZ? Aceasta este o oportunitate de a elimina răspunsurile incorecte și imposibile. Dacă răspunsul nu se află în intervalul de valori acceptabile, atunci răspunsul pur și simplu nu are sens. Acest lucru merită amintit mult timp, deoarece în examenul de stat unificat este adesea nevoie de căutarea ODZ și nu se referă numai la inegalitățile logaritmice.

Algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice

Soluția constă din mai multe etape. În primul rând, trebuie să găsiți intervalul de valori acceptabile. Vor fi două semnificații în ODZ, despre care am discutat mai sus. Apoi, trebuie să rezolvați inegalitatea în sine. Metodele de rezolvare sunt următoarele:

• metoda de înlocuire a multiplicatorului;
• descompunere;
• metoda de raționalizare.

În funcție de situație, merită să utilizați una dintre metodele de mai sus. Să trecem direct la soluție. Să dezvăluim cea mai populară metodă, care este potrivită pentru rezolvarea sarcinilor de examinare unificată de stat în aproape toate cazurile. În continuare ne vom uita la metoda de descompunere. Vă poate ajuta dacă întâlniți o inegalitate deosebit de complicată. Deci, un algoritm pentru rezolvarea inegalității logaritmice.

Exemple de soluții :

Nu degeaba am luat exact această inegalitate! Atenție la bază. Amintiți-vă: dacă este mai mare decât unu, semnul rămâne același atunci când găsiți intervalul de valori acceptabile; în caz contrar, trebuie să schimbați semnul inegalității.

Ca rezultat, obținem inegalitatea:

Acum vă prezentăm partea stanga la forma ecuației egală cu zero. În loc de semnul „mai puțin decât” punem „egal” și rezolvăm ecuația. Astfel, vom găsi ODZ. Sperăm că cu o soluție la asta ecuație simplă nu vei avea probleme. Răspunsurile sunt -4 și -2. Asta nu e tot. Trebuie să afișați aceste puncte pe grafic, plasând „+” și „-”. Ce trebuie făcut pentru asta? Înlocuiți numerele din intervale în expresie. Acolo unde valorile sunt pozitive, punem „+” acolo.

Răspuns: x nu poate fi mai mare de -4 și mai mic de -2.

Am găsit intervalul de valori acceptabile doar pentru partea stângă; acum trebuie să găsim intervalul de valori acceptabile pentru partea dreaptă. Acest lucru este mult mai ușor. Raspuns: -2. Intersectăm ambele zone rezultate.

Și abia acum începem să abordăm inegalitatea în sine.

Să simplificăm cât mai mult posibil pentru a fi mai ușor de rezolvat.

Folosim din nou metoda intervalului în soluție. Să sărim peste calcule; totul este deja clar din exemplul anterior. Răspuns.

Dar această metodă este potrivită dacă inegalitatea logaritmică are aceleași baze.

Soluţie ecuații logaritmice iar inegalităţile cu baze diferite presupun o reducere iniţială la o bază. Apoi, utilizați metoda descrisă mai sus. Dar există mai mult caz dificil. Să luăm în considerare unul dintre cele mai complexe tipuri de inegalități logaritmice.

Inegalități logaritmice cu bază variabilă

Cum se rezolvă inegalitățile cu astfel de caracteristici? Da, și astfel de persoane pot fi găsite în examenul de stat unificat. Rezolvarea inegalităților în felul următor vă va aduce, de asemenea, beneficii proces educațional. Să înțelegem problema detaliat. Să renunțăm la teoria și să trecem direct la practică. Pentru a rezolva inegalitățile logaritmice, este suficient să vă familiarizați o dată cu exemplul.

Pentru a rezolva o inegalitate logaritmică a formei prezentate, este necesar să se reducă partea dreaptă la un logaritm cu aceeași bază. Principiul seamănă cu tranzițiile echivalente. Ca urmare, inegalitatea va arăta astfel.

De fapt, tot ce rămâne este să creăm un sistem de inegalități fără logaritmi. Folosind metoda raționalizării, trecem la un sistem echivalent de inegalități. Veți înțelege regula în sine atunci când înlocuiți valorile corespunzătoare și urmăriți modificările acestora. Sistemul va avea următoarele inegalități.

Când utilizați metoda raționalizării la rezolvarea inegalităților, trebuie să vă amintiți următoarele: unul trebuie să fie scăzut din bază, x, prin definiția logaritmului, este scăzut din ambele părți ale inegalității (dreapta de la stânga), două expresii sunt înmulțite și pus sub semnul original în raport cu zero.

Soluția ulterioară se realizează folosind metoda intervalului, totul este simplu aici. Este important să înțelegeți diferențele dintre metodele de soluție, apoi totul va începe să funcționeze ușor.

ÎN inegalități logaritmice multe nuanțe. Cele mai simple dintre ele sunt destul de ușor de rezolvat. Cum le poți rezolva pe fiecare fără probleme? Ați primit deja toate răspunsurile din acest articol. Acum ai un antrenament lung în față. Exersați în mod constant rezolvarea unei varietăți de probleme în cadrul examenului și veți putea obține cel mai mare scor. Mult succes în sarcina ta grea!

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Ele sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rar predată la școală. Prezentarea prezintă soluții la sarcinile C3 ale Examenului Unificat de Stat - 2014 la matematică.

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Rezolvarea inegalităților logaritmice care conțin o variabilă în baza logaritmului: metode, tehnici, tranziții echivalente, profesor de matematică, Școala Gimnazială Nr. 143 Knyazkina T.V.

Dintre întreaga varietate de inegalități logaritmice, inegalitățile cu bază variabilă sunt studiate separat. Acestea sunt rezolvate folosind o formulă specială, care din anumite motive este rar predată în școală: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 În locul casetei de selectare „∨”, puteți pune orice semn de inegalitate: mai mult sau mai puțin. Principalul lucru este că în ambele inegalități semnele sunt aceleași. Astfel scăpăm de logaritmi și reducem problema la o inegalitate rațională. Acesta din urmă este mult mai ușor de rezolvat, dar atunci când se aruncă logaritmi, pot apărea rădăcini suplimentare. Pentru a le tăia, este suficient să găsiți intervalul de valori acceptabile. Nu uitați de ODZ al logaritmului! Tot ceea ce are legătură cu intervalul de valori acceptabile trebuie scris și rezolvat separat: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Aceste patru inegalități constituie un sistem și trebuie satisfăcute simultan. Când se găsește intervalul de valori acceptabile, tot ce rămâne este să îl intersectezi cu soluția inegalitatea raţională- și răspunsul este gata.

Rezolvați inegalitatea: Soluție Mai întâi, să scriem OD al logaritmului. Primele două inegalități sunt satisfăcute automat, dar ultima va trebui să fie scrisă. Deoarece pătratul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă numărul însuși este egal cu zero, avem: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0. Rezultă că ODZ a unui logaritm sunt toate numerele cu excepția zero: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Acum rezolvăm inegalitatea principală: Facem trecerea de la inegalitatea logaritmică la cea rațională. Inegalitatea originală are un semn „mai puțin decât”, ceea ce înseamnă că inegalitatea rezultată trebuie să aibă și un semn „mai puțin decât”.

Avem: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformarea inegalităților logaritmice Adesea inegalitatea originală este diferită de cea de mai sus. Acest lucru este ușor de reparat reguli standard lucrul cu logaritmi. Și anume: Orice număr poate fi reprezentat ca un logaritm cu o bază dată; Suma și diferența logaritmilor cu aceleași baze pot fi înlocuite cu un logaritm. Separat, aș dori să vă reamintesc intervalul de valori acceptabile. Deoarece pot exista mai mulți logaritmi în inegalitatea originală, este necesar să se găsească VA a fiecăruia dintre ei. Prin urmare, schema generala soluțiile la inegalitățile logaritmice sunt următoarele: Aflați ODZ a fiecărui logaritm inclus în inegalitate; Reduceți inegalitatea la una standard folosind formulele de adunare și scădere a logaritmilor; Rezolvați inegalitatea rezultată folosind schema dată mai sus.

Rezolvați inegalitatea: Soluție Să găsim domeniul de definiție (DO) al primului logaritm: Rezolvați prin metoda intervalelor. Aflați zerourile numărătorului: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Atunci - zerourile numitorului: x − 1 = 0; x = 1. Marcați zerouri și semne pe linia de coordonate:

Se obține x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Al doilea logaritm va avea același VA. Dacă nu crezi, poți să verifici. Acum să transformăm al doilea logaritm, astfel încât să existe un doi la bază: După cum puteți vedea, cei trei de la bază și din fața logaritmului au fost anulați. Avem doi logaritmi cu aceeași bază. Adună-le: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Suntem interesați de intersecția mulțimilor, așa că selectăm intervale care sunt umbrite pe ambele săgeți. Se obține: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - toate punctele sunt perforate. Răspuns: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Rezolvarea sarcinilor USE-2014 tip C3

Rezolvarea sistemului de inegalități. ODZ:  1) 2)

Rezolvați sistemul de inegalități 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (continuare)

Rezolvarea sistemului de inegalități 4) Decizie comună: și -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (continuare)

Rezolvați inegalitatea (continuare) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Rezolvați soluția inegalității. ODZ: 

Rezolvați inegalitatea (continuare)

Rezolvați soluția inegalității. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.