Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre derivate. Această lecție constă din mai multe părți.

În primul rând, vă voi spune ce sunt derivatele în general și cum să le număr, dar nu într-un limbaj academic sofisticat, ci felul în care le înțeleg eu însumi și cum le explic studenților mei. În al doilea rând, vom lua în considerare cea mai simplă regulă de rezolvare a problemelor în care vom căuta derivate ale sumelor, derivate ale diferențelor și derivate. functie de putere.

Vom analiza exemple combinate mai complexe, din care veți afla, în special, că probleme similare care implică rădăcini și chiar fracții pot fi rezolvate folosind formula pentru derivata unei funcții de putere. În plus, desigur, vor exista multe probleme și exemple de soluții de diferite niveluri de complexitate.

În general, inițial urma să înregistrez un videoclip scurt de 5 minute, dar puteți vedea cum a ieșit. Deci destule versuri - să trecem la treabă.

Ce este un derivat?

Deci, să începem de departe. Cu mulți ani în urmă, când copacii erau mai verzi și viața era mai distractivă, matematicienii s-au gândit la asta: luați în considerare o funcție simplă definită de graficul ei, numiți-o $y=f\left(x \right)$. Desigur, graficul nu există singur, așa că trebuie să desenați axele $x$ precum și axa $y$. Acum să alegem orice punct din acest grafic, absolut orice. Să numim abscisa $((x)_(1))$, ordonata, după cum ați putea ghici, va fi $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Să ne uităm la un alt punct din același grafic. Nu contează care dintre ele, principalul lucru este că diferă de cel original. Are, din nou, o abscisă, să o numim $((x)_(2))$ și, de asemenea, o ordonată - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Deci, avem două puncte: au abscise diferite și, prin urmare, sensuri diferite funcții, deși acesta din urmă este opțional. Dar ceea ce este cu adevărat important este că știm din cursul de planimetrie: prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una. Deci hai să o ducem la îndeplinire.

Acum să tragem o linie dreaptă prin prima dintre ele, paralelă cu axa absciselor. Primim triunghi dreptunghic. Să-i spunem $ABC$, unghi drept $C$. Acest triunghi are o proprietate foarte interesantă: faptul este că unghiul $\alpha $, de fapt, egal cu unghiul, sub care dreapta $AB$ se intersectează cu continuarea axei absciselor. Judecă singur:

1. linia dreaptă $AC$ este paralelă cu axa $Ox$ prin construcție,
2. linia $AB$ intersectează $AC$ sub $\alpha $,
3. prin urmare, $AB$ intersectează $Ox$ sub același $\alpha $.

Ce putem spune despre $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nimic specific, cu excepția faptului că în triunghiul $ABC$ raportul dintre catetul $BC$ și catetul $AC$ este egal cu tangenta acestui unghi. Deci hai sa o scriem:

Desigur, $AC$ în acest caz este ușor de calculat:

La fel pentru $BC$:

Cu alte cuvinte, putem scrie următoarele:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \dreapta))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Acum că am scos toate astea din drum, să ne întoarcem la diagrama noastră și să ne uităm la noul punct $B$. Să ștergem vechile valori și să luăm $B$ undeva mai aproape de $((x)_(1))$. Să notăm din nou abscisa cu $((x)_(2))$ și ordonata cu $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Să ne uităm din nou la micul nostru triunghi $ABC$ și $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ în interiorul acestuia. Este destul de evident că acesta va fi un unghi complet diferit, tangenta va fi și ea diferită deoarece lungimile segmentelor $AC$ și $BC$ s-au schimbat semnificativ, dar formula pentru tangentei unghiului nu s-a schimbat deloc - aceasta este încă relația dintre o schimbare a funcției și o schimbare a argumentului .

În cele din urmă, continuăm să ne apropiem $B$ de punctul original $A$, ca urmare triunghiul va deveni și mai mic, iar linia dreaptă care conține segmentul $AB$ va arăta din ce în ce mai mult ca o tangentă la graficul lui functia.

Ca rezultat, dacă continuăm să aducem punctele mai aproape, adică să reducem distanța la zero, atunci linia dreaptă $AB$ se va transforma într-adevăr într-o tangentă la grafic într-un punct dat și $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ se va transforma dintr-un element triunghi regulat în unghiul dintre tangenta la grafic și direcția pozitivă a axei $Ox$.

Și aici trecem ușor la definiția lui $f$, și anume, derivata unei funcții în punctul $((x)_(1))$ este tangentea unghiului $\alpha $ dintre tangenta la grafic în punctul $((x)_( 1))$ și direcția pozitivă a axei $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Revenind la graficul nostru, trebuie remarcat că orice punct din grafic poate fi ales ca $((x)_(1))$. De exemplu, cu același succes am putea elimina cursa în punctul prezentat în figură.

Să numim unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $\beta$. În consecință, $f$ în $((x)_(2))$ va fi egal cu tangentei acestui unghi $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Fiecare punct din grafic va avea propria sa tangentă și, prin urmare, propria sa valoare a funcției. În fiecare dintre aceste cazuri, pe lângă punctul în care căutăm derivata unei difere sau a unei sume, sau derivata unei funcții de putere, este necesar să luăm un alt punct situat la o oarecare distanță de acesta și apoi să direcționăm acest punct la cel original și, desigur, aflați cum în acest proces o astfel de mișcare va schimba tangenta unghiului de înclinare.

Derivată a unei funcții de putere

Din păcate, o astfel de definiție nu ne convine deloc. Toate aceste formule, imagini, unghiuri nu ne dau nici cea mai mică idee despre cum să calculăm derivata reală în probleme reale. Prin urmare, să ne abatem puțin de la definiția formală și să luăm în considerare formule și tehnici mai eficiente cu care puteți rezolva deja probleme reale.

Să începem cu cele mai multe desene simple, și anume, funcții de forma $y=((x)^(n))$, adică. funcții de putere. În acest caz, putem scrie următoarele: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Cu alte cuvinte, gradul care a fost în exponent este afișat în multiplicatorul frontal, iar exponentul în sine este redus cu unitate.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Iată o altă opțiune:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Folosind acestea reguli simple, să încercăm să eliminăm cursul din următoarele exemple:

Deci obținem:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Acum să rezolvăm a doua expresie:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prim ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Desigur, acestea au fost foarte sarcini simple. Cu toate acestea, problemele reale sunt mai complexe și nu se limitează doar la grade de funcționare.

Deci, regula nr. 1 - dacă o funcție este prezentată sub forma celorlalte două, atunci derivata acestei sume este egală cu suma derivatelor:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

În mod similar, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

În plus, mai este unul regula importanta: dacă un $f$ este precedat de o constantă $c$, cu care această funcție este înmulțită, atunci $f$ din întreaga construcție se calculează după cum urmează:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prim ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

În sfârșit, încă o regulă foarte importantă: în probleme există adesea un termen separat care nu conține deloc $x$. De exemplu, putem observa acest lucru în expresiile noastre de astăzi. Derivata unei constante, adică a unui număr care nu depinde în niciun fel de $x$, este întotdeauna egală cu zero și nu contează deloc cu ce este egală constanta $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Exemplu de solutie:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Puncte cheie din nou:

1. Derivata sumei a doua functii este intotdeauna egala cu suma derivatelor: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Din motive similare, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența a două derivate: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Dacă o funcție are un factor constant, atunci această constantă poate fi luată ca semn derivat: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Dacă întreaga funcție este o constantă, atunci derivata ei este întotdeauna zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Să vedem cum funcționează totul exemple reale. Asa de:

Scriem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) „= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

În acest exemplu vedem atât derivata sumei, cât și derivata diferenței. În total, derivata este egală cu $5((x)^(4))-6x$.

Să trecem la a doua funcție:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^() 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Aici am găsit răspunsul.

Să trecem la a treia funcție - este mai gravă:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Am găsit răspunsul.

Să trecem la ultima expresie - cea mai complexă și mai lungă:

Deci, luăm în considerare:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Dar soluția nu se termină aici, pentru că ni se cere nu doar să eliminăm un stroke, ci să-i calculăm valoarea într-un anumit punct, așa că înlocuim −1 în loc de $x$ în expresia:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Să mergem mai departe și să trecem la exemple și mai complexe și mai interesante. Cert este că formula pentru rezolvarea derivatei puterii $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ are un domeniu de aplicare chiar mai larg decât se crede de obicei. Cu ajutorul lui, puteți rezolva exemple cu fracții, rădăcini etc. Asta vom face acum.

Pentru început, să scriem din nou formula care ne va ajuta să găsim derivata unei funcții de putere:

Și acum atenție: până acum am considerat doar numerele naturale ca $n$, dar nimic nu ne împiedică să luăm în considerare fracțiile și chiar numerele negative. De exemplu, putem scrie următoarele:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prim ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nimic complicat, așa că să vedem cum ne va ajuta această formulă atunci când rezolvăm mai multe sarcini complexe. Deci, un exemplu:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ stânga(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Să ne întoarcem la exemplul nostru și să scriem:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Aceasta este o decizie atât de dificilă.

Să trecem la al doilea exemplu - există doar doi termeni, dar fiecare dintre ei conține atât un grad clasic, cât și rădăcini.

Acum vom învăța cum să găsim derivata unei funcții de putere, care, în plus, conține rădăcina:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ambii termeni au fost calculati, nu mai ramane decat sa scrieti raspunsul final:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Am găsit răspunsul.

Derivată a unei fracții printr-o funcție de putere

Dar posibilitățile formulei de rezolvare a derivatei unei funcții de putere nu se termină aici. Faptul este că, cu ajutorul său, puteți calcula nu numai exemple cu rădăcini, ci și cu fracții. Aceasta este tocmai o oportunitate rară care simplifică foarte mult soluția unor astfel de exemple, dar este adesea ignorată nu numai de elevi, ci și de profesori.

Deci, acum vom încerca să combinăm două formule deodată. Pe de o parte, derivata clasică a unei funcții de putere

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Pe de altă parte, știm că o expresie de forma $\frac(1)(((x)^(n)))$ poate fi reprezentată ca $((x)^(-n))$. Prin urmare,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Astfel, derivatele fracțiilor simple, unde numărătorul este o constantă și numitorul este un grad, se calculează și ele folosind formula clasică. Să vedem cum funcționează acest lucru în practică.

Deci prima functie:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ dreapta))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Primul exemplu este rezolvat, să trecem la al doilea:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ stânga(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ sfârşitul (alinierea)\]...

Acum colectăm toți acești termeni într-o singură formulă:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Am primit un răspuns.

Cu toate acestea, înainte de a trece mai departe, aș dori să vă atrag atenția asupra formei de scriere a expresiilor originale în sine: în prima expresie am scris $f\left(x \right)=...$, în a doua: $y =...$ Mulți studenți se pierd când văd forme diferiteînregistrări. Care este diferența dintre $f\left(x \right)$ și $y$? Nimic adevărat. Sunt doar intrări diferite cu același sens. Doar că atunci când spunem $f\left(x \right)$, atunci despre care vorbim, în primul rând, despre o funcție, iar când vorbim despre $y$, cel mai adesea ne referim la graficul unei funcții. În caz contrar, acesta este același lucru, adică derivata în ambele cazuri este considerată aceeași.

Probleme complexe cu derivate

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme complexe combinate care folosesc tot ceea ce am considerat astăzi. Ele conțin rădăcini, fracții și sume. Cu toate acestea, aceste exemple vor fi complexe doar în tutorialul video de astăzi, deoarece funcțiile derivate cu adevărat complexe vă vor aștepta înainte.

Deci, partea finală a lecției video de astăzi, constând din două sarcini combinate. Să începem cu primul dintre ele:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ stânga(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivata functiei este egala cu:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Primul exemplu este rezolvat. Să luăm în considerare a doua problemă:

În al doilea exemplu procedăm în mod similar:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Să calculăm fiecare termen separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ stânga(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Toți termenii au fost calculati. Acum revenim la formula originală și adunăm toți cei trei termeni împreună. Observăm că răspunsul final va fi astfel:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Și asta este tot. Aceasta a fost prima noastră lecție. În lecțiile următoare vom acoperi mai multe desene complexeși, de asemenea, aflați de ce sunt necesare instrumente derivate.

Rețineți că funcția putere-exponențială poate fi reprezentată în formă exponențială:
.
De aceea se mai numește funcţie exponenţială complexă.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Calcul folosind derivată logaritmică

Să găsim derivata puterii functie exponentiala
(2) ,
unde și sunt funcții ale variabilei.
Pentru a face acest lucru, vom logaritm ecuația (2), folosind proprietatea logaritmului:
.
Diferențierea față de variabila x:
(3) .
Aplicam reguli de diferențiere a funcțiilor complexe si functioneaza:
;
.

Înlocuim în (3):
.
De aici
.

Deci, am găsit derivata funcției putere-exponențială:
(1) .
Dacă exponentul este constant, atunci . Atunci derivata este egală cu derivata unei funcții de putere complexe:
.
Dacă baza gradului este constantă, atunci . Atunci derivata este egală cu derivata unei funcții exponențiale complexe:
.
Când și sunt funcții ale lui x, atunci derivata funcției putere-exponențială este egală cu suma derivatelor puterii complexe și ale funcțiilor exponențiale.

Calculul derivatei prin reducerea la o funcție exponențială complexă

Acum să găsim derivata funcției putere-exponențială
(2) ,
prezentându-l ca o funcție exponențială complexă:
(4) .

Să diferențiem produsul:
.
Aplicăm regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

.
Și am primit din nou formula (1).

Exemplul 1

Găsiți derivata următoarei funcții:
.

Calculăm folosind derivata logaritmică. Să logaritmăm funcția originală:
(A1.1) .

Din tabelul derivatelor găsim:
;
.
Folosind formula derivată a produsului, avem:
.
Diferențiem (A1.1):
.
Deoarece
,
Acea
.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Vezi si: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice ale funcției de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la puterea a m este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este un număr real arbitrar. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata rădăcinii de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . Să găsim derivata funcției (3) la x = 0 . Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:
.

Să înlocuim x = 0 :
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .

Așa că am găsit:
.
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
La , .
La , .
Acest rezultat se obține și din formula (1):
(1) .
Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x = 0 .

Cazul x< 0

Luați în considerare din nou funcția (3):
(3) .
Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x. Și anume, să fie Numar rational. Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă:
,
unde m și n sunt numere întregi care nu au un divizor comun.

Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x. De exemplu, când n = 3 și m = 1 avem rădăcina cubă a lui x:
.
De asemenea, este definit pentru valorile negative ale variabilei x.

Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x în următoarea formă:
.
Apoi ,
.
Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
De atunci
.
Apoi
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.

observa asta dacă a este un număr natural, atunci derivata a n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple de calculare a derivatelor

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsirea derivatelor puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.

Vă prezentăm un tabel rezumativ pentru comoditate și claritate atunci când studiem subiectul.

Să analizăm cum au fost obținute formulele din tabelul specificat sau, cu alte cuvinte, vom demonstra derivarea formulelor derivate pentru fiecare tip de funcție.

Derivată a unei constante

Pentru a se retrage această formulă, să luăm ca bază definiția derivatei unei funcții într-un punct. Folosim x 0 = x, unde X ia valoarea oricărui număr real sau, cu alte cuvinte, X este orice număr din domeniul funcției f (x) = C. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului ca ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Vă rugăm să rețineți că expresia 0 ∆ x se încadrează sub semnul limită. Nu este incertitudinea „zero împărțit la zero”, deoarece numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Deci, derivata funcției constante f (x) = C este egală cu zero în întregul domeniu de definiție.

Exemplul 1

Funcțiile constante sunt date:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Soluţie

Să descriem condițiile date. În prima funcție vedem derivata numărului natural 3. În exemplul următor, trebuie să luați derivata lui A, Unde A- orice număr real. Al treilea exemplu ne oferă derivata numărului irațional 4. 13 7 22, a patra este derivata lui zero (zero este un întreg). În cele din urmă, în al cincilea caz avem derivata fracției raționale - 8 7.

Răspuns: derivatele unor funcții date sunt zero pentru orice real X(pe toată zona de definiție)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivată a unei funcții de putere

Să trecem la funcția putere și la formula derivatei sale, care are forma: (x p) " = p x p - 1, unde exponentul p este orice număr real.

Dovada 2

Să dăm o dovadă a formulei când exponentul este numar natural: p = 1, 2, 3, …

Ne bazăm din nou pe definiția unei derivate. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Pentru a simplifica expresia în numărător, folosim formula binomială a lui Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Prin urmare:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + , + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + .

Astfel, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere atunci când exponentul este un număr natural.

Dovada 3

Pentru a furniza dovezi pentru cazul când p- orice număr real, altul decât zero, folosim derivata logaritmică (aici ar trebui să înțelegem diferența față de derivata unei funcții logaritmice). Pentru a avea o înțelegere mai completă, este indicat să se studieze derivata unei funcții logaritmice și să se înțeleagă suplimentar derivata unei funcții implicite și derivata unei funcții complexe.

Să luăm în considerare două cazuri: când X pozitiv și când X negativ.

Deci x > 0. Atunci: x p > 0 . Să logaritmăm egalitatea y = x p la baza e și să aplicăm proprietatea logaritmului:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

În această etapă, am obținut o funcție specificată implicit. Să definim derivata sa:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Acum luăm în considerare cazul când X - un număr negativ.

Dacă indicatorul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Apoi x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Dacă p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită pentru x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ultima tranziție este posibilă datorită faptului că dacă p este un număr impar, atunci p - 1 fie un număr par, fie zero (pentru p = 1), prin urmare, pentru negativ X egalitatea (- x) p - 1 = x p - 1 este adevărată.

Deci, am demonstrat formula pentru derivata unei funcții de putere pentru orice p real.

Exemplul 2

Funcții date:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Determinați derivatele lor.

Soluţie

Transformăm unele dintre funcțiile date în formă tabelară y = x p , pe baza proprietăților gradului, apoi folosim formula:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivata unei functii exponentiale

Să derivăm formula derivată folosind definiția ca bază:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Avem incertitudine. Pentru a o extinde, să scriem o nouă variabilă z = a ∆ x - 1 (z → 0 ca ∆ x → 0). În acest caz, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Pentru ultima tranziție a fost utilizată formula de tranziție la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Să ne amintim de a doua limită remarcabilă și apoi obținem formula pentru derivata funcției exponențiale:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Exemplul 3

Funcțiile exponențiale sunt date:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Este necesar să găsiți derivatele lor.

Soluţie

Folosim formula pentru derivata funcției exponențiale și proprietățile logaritmului:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivată a unei funcții logaritmice

Să oferim o dovadă a formulei pentru derivata unei funcții logaritmice pentru oricare Xîn domeniul definiției și orice valori admisibile ale bazei a a logaritmului. Pe baza definiției derivatei, obținem:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Din lanțul de egalități indicat este clar că transformările s-au bazat pe proprietatea logaritmului. Egalitatea lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e este adevărată în conformitate cu a doua limită remarcabilă.

Exemplul 4

Funcțiile logaritmice sunt date:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Este necesar să se calculeze derivatele lor.

Soluţie

Să aplicăm formula derivată:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Deci derivata logaritmul natural este unul împărțit la X.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Să folosim câteva formule trigonometriceși prima limită remarcabilă pentru a deriva formula pentru derivata unei funcții trigonometrice.

Conform definiției derivatei funcției sinus, obținem:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula pentru diferența de sinusuri ne va permite să efectuăm următoarele acțiuni:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

În cele din urmă, folosim prima limită minunată:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Deci, derivata funcției sin x voi cos x.

Vom demonstra, de asemenea, formula pentru derivata cosinusului:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Acestea. derivata functiei cos x va fi – sin x.

Obținem formulele pentru derivatele tangentei și cotangentei pe baza regulilor de diferențiere:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse

Secțiunea derivată funcții inverse oferă informații cuprinzătoare despre demonstrarea formulelor pentru derivatele arcsinus, arccosin, arctangent și arccotangent, așa că nu vom duplica materialul aici.

Derivate ale funcțiilor hiperbolice

Putem deriva formulele pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind regula de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Da, este suficient”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt luate din real testeși sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexe Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, cel mai adesea nu este necesară o înregistrare atât de detaliată, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau în schiță) să înlocuim valoare datăîntr-o „expresie îngrozitoare”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai profundă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența:

6) Și în sfârșit, cea mai externă funcție este Rădăcină pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este într-adevăr – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să scoateți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea inainte de cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o coală de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului și apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat ca derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Notă : deoarece funcția poate accepta valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „dezintegrați” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor voștri?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec bagheta magica avem o derivată . Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Exemplu de proiectare de acest tip la sfarsitul lectiei.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții exponențiale putere?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In cele din urma:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

ÎN sarcini practice Funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complexă decât exemplul discutat în prelegere.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :