5 exemple de scădere cu numitori diferiți. Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți (reguli de bază, cazuri cele mai simple)

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori diferiți. Pentru a face acest lucru, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. În același timp, știm deja cum să reducem fracțiile algebrice la un numitor comun. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți este una dintre cele mai importante și dificile subiecte din cursul de clasa a VIII-a. Mai mult, acest subiect va apărea în multe subiecte din cursul de algebră pe care îl vei studia în viitor. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu diferiți numitori și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice.

Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu pentru fracții obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim de regula de adunare a fracțiilor. Pentru început, fracțiile trebuie reduse la un numitor comun. Numitorul comun pentru fracțiile ordinare este cel mai mic multiplu comun(LCM) a numitorilor originali.

Definiție

Cel mai mic număr natural care este divizibil cu ambele numere și .

Pentru a găsi LCM, trebuie să factorizați numitorii în factori primi și apoi să selectați toți factorii primi care sunt incluși în extinderea ambilor numitori.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După ce ați găsit numitorul comun, trebuie să găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție (de fapt, împărțiți numitorul comun la numitorul fracției corespunzătoare).

Fiecare fracție este apoi înmulțită cu factorul suplimentar rezultat. Obținem fracții cu aceiași numitori, pe care le-am învățat să le adunăm și să le scădem în lecțiile anterioare.

Primim: .

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare adăugarea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți. Mai întâi, să ne uităm la fracțiile ai căror numitori sunt numere.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Algoritmul de soluție este absolut similar cu exemplul anterior. Este ușor de găsit numitorul comun al acestor fracții: și factori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, hai să formulăm algoritm de adunare si scadere a fractiilor algebrice cu numitori diferiti:

1. Aflați cel mai mic numitor comun al fracțiilor.

2. Găsiți factori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (prin împărțirea numitorului comun la numitorul fracției date).

3. Înmulțiți numărătorii cu factorii suplimentari corespunzători.

4. Adunați sau scădeți fracții folosind regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari.

Să luăm acum un exemplu cu fracții al căror numitor conține expresii cu litere.

Exemplul 3. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Deoarece expresiile literelor din ambii numitori sunt aceleași, ar trebui să găsiți un numitor comun pentru numere. Numitorul comun final va arăta astfel: . Astfel, soluția acestui exemplu arată astfel:.

Răspuns:.

Exemplul 4. Scăderea fracțiilor: .

Soluţie:

Dacă nu puteți „trișa” atunci când alegeți un numitor comun (nu îl puteți factoriza sau folosi formule de înmulțire abreviate), atunci trebuie să luați produsul numitorilor ambelor fracții ca numitor comun.

Răspuns:.

În general, atunci când te hotărăști exemple similare, cea mai dificilă sarcină este găsirea numitorului comun.

Să ne uităm la un exemplu mai complex.

Exemplul 5. Simplifica: .

Soluţie:

Când găsiți un numitor comun, trebuie mai întâi să încercați să factorizați numitorii fracțiilor originale (pentru a simplifica numitorul comun).

În acest caz particular:

Atunci este ușor să determinați numitorul comun: .

Determinăm factori suplimentari și rezolvăm acest exemplu:

Răspuns:.

Acum să stabilim regulile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplul 6. Simplifica: .

Soluţie:

Răspuns:.

Exemplul 7. Simplifica: .

Soluţie:

.

Răspuns:.

Să luăm acum în considerare un exemplu în care nu se adună două, ci trei fracții (la urma urmei, regulile de adunare și scădere pentru un număr mai mare de fracții rămân aceleași).

Exemplul 8. Simplifica: .

Această lecție va acoperi adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari. Știm deja cum să adunăm și să scădem fracții comune cu numitori similari. Se pare că fracțiile algebrice urmează aceleași reguli. A învăța să lucrezi cu fracții cu numitori similari este una dintre pietrele de temelie ale învățării cum să lucrezi cu fracții algebrice. În special, înțelegerea acestui subiect va facilita stăpânirea unui subiect mai complex - adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Ca parte a lecției, vom studia regulile de adunare și scădere a fracțiilor algebrice cu numitori similari și, de asemenea, vom analiza o serie de exemple tipice

Regula pentru adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori similari

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fracții de la one-on-to-you -mi know-me-na-te-la-mi (coincide cu regula analogă pentru lovituri obișnuite): Adică pentru adăugarea sau calcularea fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu unu-to-you know-me-on-the-la-mi necesar -ho-di-mo-compilați o al-geb-ra-i-che-sum corespunzătoare de numere, iar semnul-me-na-tel pleacă fără niciunul.

Înțelegem această regulă atât pentru exemplul ven-draws obișnuiți, cât și pentru exemplul al-geb-ra-i-che-draws.

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile ordinare

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie

Să adunăm numărul de fracții și să lăsăm semnul același. După aceasta, descompunem numărul și semnăm în multiplicități și combinații simple. Sa o luam: .

Notă: o eroare standard care este permisă atunci când se rezolvă tipuri similare de exemple, pentru -klu-cha-et-sya în următoarea soluție posibilă: . Aceasta este o greșeală gravă, deoarece semnul rămâne același ca în fracțiile originale.

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie

Acesta nu este cu nimic diferit de precedentul: .

Exemple de aplicare a regulii pentru fracțiile algebrice

De la dro-beat-uri obișnuite, trecem la al-geb-ra-i-che-skim.

Exemplul 3. Adunarea fracțiilor: .

Soluție: așa cum am menționat deja mai sus, compoziția fracțiunilor al-geb-ra-i-che nu este în niciun fel diferită de cuvântul la fel ca și luptele obișnuite. Prin urmare, metoda de rezolvare este aceeași: .

Exemplul 4. Tu ești fracția: .

Soluţie

You-chi-ta-nie a fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih din adunare numai prin faptul că în numărul pi-sy-va-et-sya diferența în numărul de fracții utilizate. De aceea .

Exemplul 5. Tu ești fracția: .

Soluție: .

Exemplul 6. Simplificați: .

Soluție: .

Exemple de aplicare a regulii urmate de reducere

Într-o fracție care are aceeași semnificație în rezultatul combinării sau calculării, combinațiile sunt posibile nia. În plus, nu trebuie să uitați de ODZ al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih.

Exemplul 7. Simplificați: .

Soluție: .

în care . În general, dacă ODZ a fracțiilor inițiale coincide cu ODZ a totalului, atunci poate fi omis (la urma urmei, fracția se află în răspuns, nu va exista nici cu modificările semnificative corespunzătoare). Dar dacă ODZ al fracțiilor utilizate și răspunsul nu se potrivesc, atunci ODZ trebuie indicat.

Exemplul 8. Simplificați: .

Soluție: . În același timp, y (ODZ a fracțiilor inițiale nu coincide cu ODZ a rezultatului).

Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Pentru a adăuga și a citi fracții al-geb-ra-i-che-cu diferite cunoștințe pe-la-mi, facem ana-lo -giyu cu fracții obișnuite-ven-ny și le transferăm în al-geb -ra-i-che-fractions.

Să ne uităm la cel mai simplu exemplu pentru fracțiile obișnuite.

Exemplul 1. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Să ne amintim regulile de adunare a fracțiilor. Pentru a începe cu o fracție, este necesar să o aduceți la un semn comun. În rolul unui semn general pentru fracțiile obișnuite, acționezi cel mai mic multiplu comun(NOK) semne inițiale.

Definiție

Cel mai mic număr, care se împarte în același timp în numere și.

Pentru a găsi NOC, trebuie să împărțiți cunoștințele în seturi simple și apoi să selectați tot ce sunt multe, care sunt incluse în împărțirea ambelor semne.

; . Atunci LCM-ul numerelor trebuie să includă doi doi și doi trei: .

După găsirea cunoștințelor generale, este necesar ca fiecare dintre fracții să găsească un rezident de multiplicitate completă (de fapt, de fapt, să turnăm semnul comun pe semnul fracției corespunzătoare).

Apoi fiecare fracție este înmulțită cu un factor pe jumătate. Să obținem câteva fracții din aceleași pe care le cunoașteți, să le adunăm și să le citim - studiate în lecțiile anterioare.

Hai sa mancam: .

Răspuns:.

Să ne uităm acum la compoziția fracțiilor al-geb-ra-i-che cu semne diferite. Acum să ne uităm la fracții și să vedem dacă există numere.

Adunarea și scăderea fracțiilor algebrice cu numitori diferiți

Exemplul 2. Adăugați fracții: .

Soluţie:

Al-go-ritmul deciziei ab-so-lyut-dar ana-lo-gi-chen la exemplul anterior. Este ușor să luați semnul comun al fracțiilor date: și multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre ele.

.

Răspuns:.

Deci, hai să ne formăm al-go-ritmul de adunare și de calcul al fracțiilor al-geb-ra-i-che-skih cu semne diferite:

1. Găsiți cel mai mic semn comun al fracției.

2. Găsiți multiplicatori suplimentari pentru fiecare dintre fracții (într-adevăr, semnul comun al semnului este dat -a fracție).

3. Până la mai multe numere pe multiplicitățile corespunzătoare până la maxim.

4. Adaugă sau calculează fracții, folosind regulile de compus și calcul de fracții cu aceleași cunoștințe -me-na-te-la-mi.

Acum să ne uităm la un exemplu cu fracții, în semnul căruia sunt litere tu -nia.

Numerele fracționale obișnuite întâlnesc mai întâi școlari în clasa a V-a și îi însoțesc pe tot parcursul vieții, deoarece în viața de zi cu zi este adesea necesar să se ia în considerare sau să se folosească un obiect nu ca un întreg, ci în bucăți separate. Începeți să studiați acest subiect - acțiuni. Acțiunile sunt părți egale, în care se împarte acest sau acel obiect. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se exprime, de exemplu, lungimea sau prețul unui produs într-un număr întreg, ar trebui luate în considerare părți sau părți ale unei anumite măsuri; Format din verbul „a împărți” - a împărți în părți și având rădăcini arabe, cuvântul „fracție” însuși a apărut în limba rusă în secolul al VIII-lea.

Expresiile fracționale au fost mult timp considerate cea mai dificilă ramură a matematicii. În secolul al XVII-lea, când au apărut primele manuale de matematică, ele erau numite „numere sparte”, ceea ce era foarte greu de înțeles de către oameni.

Aspect modern resturile fracționale simple, ale căror părți sunt separate printr-o linie orizontală, au fost promovate pentru prima dată de Fibonacci - Leonardo din Pisa. Lucrările sale sunt datate din 1202. Dar scopul acestui articol este de a explica simplu și clar cititorului cum se înmulțesc fracțiile mixte cu diferiți numitori.

Înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți

Inițial merită determinat tipuri de fracții:

• corect;
• incorect;
• amestecat.

În continuare, trebuie să vă amintiți cum sunt înmulțite numerele fracționale cu aceiași numitori. Însăși regula acestui proces nu este dificil de formulat independent: rezultatul înmulțirii fracțiilor simple cu numitori identici este o expresie fracțională, al cărei numărător este produsul numărătorilor, iar numitorul este produsul numitorilor acestor fracții. . Adică, de fapt, noul numitor este pătratul unuia dintre cele existente inițial.

La înmulțire fracții simple cu numitori diferiți pentru doi sau mai mulți factori regula nu se schimbă:

A/b * c/d = a*c/ b*d.

Singura diferență este că numărul format sub linia fracțională va fi un produs de numere diferite și, desigur, nu poate fi numit pătratul unei expresii numerice.

Merită să luați în considerare înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți folosind exemple:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Exemplele folosesc metode pentru reducerea expresiilor fracționale. Puteți reduce numai numerele numărătorului cu numerele numitorului factorii adiacenți deasupra sau sub linia fracției nu pot fi reduse.

Alături de fracțiile simple, există și conceptul de fracții mixte. Un număr mixt este format dintr-un număr întreg și o parte fracțională, adică este suma acestor numere:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Cum funcționează înmulțirea?

Sunt oferite mai multe exemple pentru a fi luate în considerare.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Exemplul folosește înmulțirea unui număr cu parte fracțională obișnuită, regula pentru această acțiune poate fi scrisă astfel:

A* b/c = a*b/c.

De fapt, un astfel de produs este suma resturilor fracționale identice, iar numărul de termeni indică acest număr natural. Caz special:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Există o altă soluție pentru înmulțirea unui număr cu un rest fracționar. Trebuie doar să împărțiți numitorul la acest număr:

d* e/f = e/f:d.

Această tehnică este utilă atunci când numitorul este împărțit la un număr natural fără rest sau, după cum se spune, la un număr întreg.

Convertiți numerele mixte în fracții improprii și obțineți produsul în modul descris anterior:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Acest exemplu implică o modalitate de a reprezenta o fracție mixtă ca o fracție improprie, poate fi reprezentată și ca formula generala:

A bc = a*b+ c/c, unde numitorul noii fracții se formează prin înmulțirea întregii părți cu numitorul și adăugarea acesteia cu numărătorul restului fracționar inițial, iar numitorul rămâne același.

Acest proces funcționează și în direcția opusă. Pentru a separa întreaga parte și restul fracționar, trebuie să împărțiți numărătorul fracție improprie la numitorul său cu un „colț”.

Înmulțirea fracțiilor improprii produs într-un mod general acceptat. Când scrieți sub o singură linie de fracție, trebuie să reduceți fracțiile după cum este necesar pentru a reduce numerele folosind această metodă și pentru a facilita calcularea rezultatului.

Există mulți ajutoare pe Internet pentru a rezolva chiar și probleme matematice complexe în diverse variante de programe. Un număr suficient de astfel de servicii oferă asistență în numărarea înmulțirii fracțiilor cu numere diferiteîn numitori - așa-numitele calculatoare online pentru calcularea fracțiilor. Ei sunt capabili nu numai să înmulțească, ci și să efectueze toate celelalte operații aritmetice simple cu fracții obișnuite și numere mixte. Nu este dificil să lucrați cu acesta, completați câmpurile corespunzătoare de pe pagina site-ului, selectați semnul operației matematice și faceți clic pe „calculați”. Programul calculează automat.

Tema operațiilor aritmetice cu fracții este relevantă pe tot parcursul educației elevilor de gimnaziu și liceu. În liceu nu mai consideră cea mai simplă specie, dar expresii fracționale întregi, dar cunoașterea regulilor de transformare și calcule obținute mai devreme se aplică în forma sa originală. Cunoștințele de bază bine stăpânite oferă încredere deplină în decizie de succes cel mai sarcini complexe.

În concluzie, este logic să cităm cuvintele lui Lev Nikolaevici Tolstoi, care a scris: „Omul este o fracțiune. Nu stă în puterea unei persoane să-și mărească numărătorul – meritele – dar oricine își poate reduce numitorul – părerea sa despre sine, iar odată cu această scădere se apropie de perfecțiunea sa.

După cum știm din matematică, un număr fracționar este format dintr-un numărător și un numitor. Numătorul este în partea de sus, iar numitorul este în partea de jos.

Este destul de simplu să se efectueze operații matematice de adunare sau scădere a cantităților fracționale cu același numitor. Trebuie doar să puteți adăuga sau scădea numerele din numărător (mai sus), iar același număr de jos rămâne neschimbat.

De exemplu, să luăm numărul fracționar 7/9, aici:

• numărul „șapte” de deasupra este numărătorul;
• numărul „nouă” de mai jos este numitorul.

Exemplul 1. Plus:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Exemplul 2. Scădere:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Scăderea valorilor fracționale simple care au numitori diferiți

Pentru a efectua operația matematică de scădere a cantităților care au numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la un singur numitor. Când îndepliniți această sarcină, este necesar să respectați regula conform căreia acest numitor comun trebuie să fie cel mai mic dintre toate. opțiuni posibile.

Exemplul 3

Având în vedere două mărimi simple cu numitori diferiți (numerele mai mici): 7/8 și 2/9.

Este necesar să scadă a doua din prima valoare.

Soluția constă din mai mulți pași:

1. Găsiți numărul mai mic comun, adică ceva care este divizibil atât cu valoarea inferioară a primei fracții, cât și cu cea de-a doua. Acesta va fi numărul 72, deoarece este un multiplu al numerelor opt și nouă.

2. Cifra de jos a fiecărei fracții a crescut:

• numărul „opt” din fracția 7/8 a crescut de nouă ori - 8*9=72;
• numărul „nouă” din fracția 2/9 a crescut de opt ori - 9*8=72.

3. Dacă numitorul (cifra inferioară) s-a schimbat, atunci trebuie să se schimbe și numărătorul (cifra superioară). Conform regulii matematice existente, numărul de sus trebuie mărit exact cu aceeași sumă cu cel de jos. Acesta este:

• numărătorul „șapte” din prima fracție (7/8) se înmulțește cu numărul „nouă” - 7*9=63;
• Înmulțim numărătorul „doi” din a doua fracție (2/9) cu numărul „opt” - 2*8=16.

4. În urma acțiunilor noastre, am obținut două cantități noi, care, totuși, sunt identice cu cele originale.

• primul: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• secunda: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Acum este posibil să scazi un număr fracționar din altul:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Efectuând această acțiune, revenim la subiectul scăderii fracțiilor cu aceleași cifre mai mici (numitori). Aceasta înseamnă că acțiunea de scădere va fi efectuată deasupra, în numărător, iar cifra de jos va fi transferată fără modificări.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Exemplul 4

Să complicăm problema luând mai multe fracții cu numere diferite, dar multiple în partea de jos pentru a le rezolva.

Valorile date sunt: ​​5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

Ele trebuie luate unul de celălalt în această secvență.

1. Aducem fracțiile folosind metoda de mai sus la un numitor comun, care va fi numărul „24”:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - lăsăm această ultimă valoare neschimbată, deoarece numitorul este numărul total „24”.

2. Scădem toate cantitățile:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Deoarece numărătorul și numitorul fracției rezultate sunt divizibile cu un număr, ele pot fi reduse prin împărțirea la numărul „trei”:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Scriem răspunsul astfel:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Exemplul 5

Se dau trei fracții cu numitori nemulți: 3/4; 2/7; 1/13.

Trebuie să găsiți diferența.

1. Aducem primele două numere la un numitor comun, acesta va fi numărul „28”:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Scădeți primele două fracții una de la cealaltă:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Scădeți a treia fracție dată din valoarea rezultată:

4. Aducem numerele la un numitor comun. Dacă nu este posibil să selectați același numitor mai mult calea ușoară, atunci trebuie doar să efectuați acțiunile înmulțind toți numitorii unul cu altul în succesiune, fără a uita să creșteți valoarea numărătorului cu aceeași cifră. În acest exemplu facem asta:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, unde 13 este cifra inferioară a lui 5/13;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, unde 28 este numărul mai mic de la 13/28.

5. Scădeți fracțiile rezultate:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Răspuns: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Fracții mixte

În exemplele discutate mai sus, s-au folosit numai fracții adecvate.

Ca exemplu:

• 8/9 este o fracție proprie;
• 9/8 este incorect.

Este imposibil să transformi o fracție nepotrivită într-o fracție adecvată, dar este posibil să o transformi în amestecat. De ce împărțiți numărul de sus (numărătorul) la cel de jos (numitorul) pentru a obține un număr cu rest? Întregul rezultat din împărțire se notează astfel, restul se scrie la numărător în partea de sus, iar numitorul din partea de jos rămâne același. Pentru a fi mai clar, să luăm în considerare exemplu concret:

Exemplul 6

Transformați fracția improprie 9/8 în fracția proprie.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numărul „nouă” la „opt”, rezultatul este fracție mixtă cu un întreg și rest:

9: 8 = 1 și 1/8 (acesta poate fi scris diferit ca 1+1/8), unde:

• numărul 1 este întregul rezultat din împărțire;
• un alt număr 1 este restul;
• numărul 8 este numitorul, care rămâne neschimbat.

Un număr întreg se mai numește și număr natural.

Restul și numitorul sunt o fracție nouă, dar adecvată.

Când se scrie numărul 1, se scrie înaintea fracției proprii 1/8.

Scăderea numerelor mixte cu diferiți numitori

Din cele de mai sus, dăm definiția unui număr fracțional mixt: „Număr mixt - aceasta este o cantitate care este egală cu suma unui număr întreg și a unei fracții ordinare propriu-zise. În acest caz, întreaga parte este numită numar natural, iar numărul care a rămas este al lui parte fracționată».

Exemplul 7

Date: două mărimi fracționale mixte formate dintr-un număr întreg și o fracție proprie:

• prima valoare este 9 și 4/7, adică (9+4/7);
• a doua valoare este 3 și 5/21, adică (3+5/21).

Este necesar să se găsească diferența dintre aceste cantități.

1. Pentru a scădea 3+5/21 din 9+4/7, mai întâi trebuie să scădeți valorile întregi una de la alta:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Rezultatul rezultat al diferenței dintre două numere mixte va consta din numărul natural (întreg) 6 și fracția proprie 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematicienii din toate țările au fost de acord că semnul „+” atunci când se scriu cantități mixte poate fi omis și doar numărul întreg rămâne înaintea fracției fără niciun semn.

Următoarea acțiune care poate fi efectuată cu fracții obișnuite este scăderea. În acest material, ne vom uita la cum să calculăm corect diferența dintre fracțiile cu numitori similari și diferiți, cum să scădem o fracție dintr-un număr natural și invers. Toate exemplele vor fi ilustrate cu probleme. Să clarificăm în prealabil că vom examina doar cazurile în care diferența de fracții are ca rezultat un număr pozitiv.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum să găsiți diferența dintre fracții cu numitori similari

Să începem imediat cu exemplu clar: Să presupunem că avem un măr care a fost împărțit în opt părți. Să lăsăm cinci părți pe farfurie și să luăm două dintre ele. Această acțiune poate fi scrisă astfel:

Ca rezultat, mai avem 3 optimi, deoarece 5 − 2 = 3. Se pare că 5 8 - 2 8 = 3 8.

Astfel exemplu simplu Am văzut exact cum funcționează regula de scădere pentru fracțiile ai căror numitori sunt aceiași. Să o formulăm.

Definiția 1

Pentru a găsi diferența dintre fracțiile cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul celeilalte din numărătorul uneia și să lăsați numitorul același. Această regulă poate fi scrisă ca a b - c b = a - c b.

Vom folosi această formulă în viitor.

Să luăm exemple concrete.

Exemplul 1

Scădeți fracția comună 17 15 din fracția 24 15.

Soluţie

Vedem că aceste fracții au aceiași numitori. Deci tot ce trebuie să facem este să scădem 17 din 24. Obținem 7 și adăugăm numitorul, obținem 7 15.

Calculele noastre pot fi scrise astfel: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Dacă este necesar, puteți scurta o fracție complexă sau puteți selecta o parte întreagă dintr-o fracție necorespunzătoare pentru a face numărarea mai convenabilă.

Exemplul 2

Aflați diferența 37 12 - 15 12.

Soluţie

Să folosim formula descrisă mai sus și să calculăm: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Este ușor de observat că numărătorul și numitorul pot fi împărțite la 2 (am vorbit deja despre asta mai devreme când am examinat semnele de divizibilitate). Scurtând răspunsul, obținem 11 6. Aceasta este o fracție improprie, din care vom selecta întreaga parte: 11 6 = 1 5 6.

Cum să găsiți diferența de fracții cu diferiți numitori

Această operație matematică poate fi redusă la ceea ce am descris deja mai sus. Pentru a face acest lucru, pur și simplu reducem fracțiile necesare la același numitor. Să formulăm o definiție:

Definiția 2

Pentru a găsi diferența dintre fracțiile care au numitori diferiți, trebuie să le reduceți la același numitor și să găsiți diferența dintre numărători.

Să ne uităm la un exemplu despre cum se face acest lucru.

Exemplul 3

Scădeți fracția 1 15 din 2 9.

Soluţie

Numitorii sunt diferiți și trebuie să îi reduceți la cel mai mic valoarea totală. În acest caz, LCM este 45. Prima fracție necesită un factor suplimentar de 5, iar a doua - 3.

Să calculăm: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Avem două fracții cu același numitor, iar acum putem găsi cu ușurință diferența lor folosind algoritmul descris anterior: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Un scurt rezumat al soluției arată astfel: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Nu neglijați reducerea rezultatului sau separarea unei părți întregi de acesta, dacă este necesar. ÎN în acest exemplu nu trebuie să facem asta.

Exemplul 4

Găsiți diferența 19 9 - 7 36.

Soluţie

Să reducem fracțiile indicate în condiție la cel mai mic numitor comun 36 și să obținem 76 9 și, respectiv, 7 36.

Calculăm răspunsul: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Rezultatul poate fi redus cu 3 și obține 23 12. Numătorul este mai mare decât numitorul, ceea ce înseamnă că putem selecta întreaga parte. Răspunsul final este 1 11 12.

Un scurt rezumat al întregii soluții este 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Cum se scade un număr natural dintr-o fracție comună

Această acțiune poate fi ușor redusă și la o simplă scădere a fracțiilor obișnuite. Acest lucru se poate face prin reprezentarea unui număr natural ca o fracție. Să o arătăm cu un exemplu.

Exemplul 5

Aflați diferența 83 21 – 3 .

Soluţie

3 este același cu 3 1. Apoi îl puteți calcula astfel: 83 21 - 3 = 20 21.

Dacă condiția necesită scăderea unui număr întreg dintr-o fracție improprie, este mai convenabil să separă mai întâi întregul de acesta scriindu-l ca număr mixt. Atunci exemplul anterior poate fi rezolvat diferit.

Din fracția 83 21, la separarea întregii părți, obțineți 83 21 = 3 20 21.

Acum să scădem doar 3 din el: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Cum se scade o fracție dintr-un număr natural

Această acțiune se face într-un mod similar cu cea anterioară: rescriem numărul natural sub formă de fracție, le aducem pe ambele la un singur numitor și găsim diferența. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Exemplul 6

Găsiți diferența: 7 - 5 3 .

Soluţie

Să facem din 7 o fracție 7 1. Facem scăderea și transformăm rezultatul final, separând întreaga parte de acesta: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Există o altă modalitate de a face calcule. Are câteva avantaje care pot fi folosite în cazurile în care numărătorii și numitorii fracțiilor din problemă sunt numere mari.

Definiția 3

Dacă fracția care trebuie scăzută este adecvată, atunci numărul natural din care scădem trebuie reprezentat ca suma a două numere, dintre care unul este egal cu 1. După aceasta, trebuie să scădeți fracția dorită din unitate și să obțineți răspunsul.

Exemplul 7

Calculați diferența 1 065 - 13 62.

Soluţie

Fracția care trebuie scăzută este o fracție proprie, deoarece numărătorul ei este mai mic decât numitorul său. Prin urmare, trebuie să scădem una din 1065 și să scădem fracția dorită din ea: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Acum trebuie să găsim răspunsul. Folosind proprietățile scăderii, expresia rezultată poate fi scrisă ca 1064 + 1 - 13 62. Să calculăm diferența între paranteze. Pentru a face acest lucru, să ne imaginăm unitatea ca o fracție 1 1.

Se dovedește că 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Acum să ne amintim despre 1064 și să formulăm răspunsul: 1064 49 62.

Folosim mod vechi pentru a demonstra că este mai puțin convenabil. Acestea sunt calculele pe care le-am face:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 6644

Răspunsul este același, dar calculele sunt evident mai greoaie.

Ne-am uitat la cazul în care trebuie să scădem o fracție adecvată. Dacă este incorect, îl înlocuim cu un număr mixt și scădem conform regulilor familiare.

Exemplul 8

Calculați diferența 644 - 73 5.

Soluţie

A doua fracție este o fracție improprie și întreaga parte trebuie separată de ea.

Acum calculăm similar cu exemplul anterior: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Proprietăți de scădere atunci când se lucrează cu fracții

Proprietățile pe care le are scăderea numerelor naturale se aplică și cazurilor de scădere a fracțiilor obișnuite. Să vedem cum să le folosim atunci când rezolvăm exemple.

Exemplul 9

Aflați diferența 24 4 - 3 2 - 5 6.

Soluţie

Am rezolvat deja exemple similare când ne-am uitat la scăderea unei sume dintr-un număr, așa că urmăm un algoritm binecunoscut. Mai întâi, să calculăm diferența 25 4 - 3 2 și apoi să scădem ultima fracție din ea:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Să transformăm răspunsul, separând întreaga parte de el. Rezultat - 3 11 12.

Un scurt rezumat al întregii soluții:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Dacă expresia conține ambele fracții și numere întregi, atunci se recomandă gruparea lor după tip la efectuarea calculelor.

Exemplul 10

Aflați diferența 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

Soluţie

Cunoscând proprietățile de bază ale scăderii și adunării, putem grupa numerele astfel: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Să completăm calculele: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter