Logaritmii ecuației. Unitate logaritmică și zero logaritmic

În această lecție vom repeta faptele teoretice de bază despre logaritmi și vom lua în considerare rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice.

Să vă reamintim definiție centrală- definirea logaritmului. Are legătură cu decizia ecuație exponențială. Această ecuație are o singură rădăcină, se numește logaritmul lui b la baza a:

Definiție:

Logaritmul lui b la baza a este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obține b.

Să vă reamintim identitate logaritmică de bază.

Expresia (expresia 1) este rădăcina ecuației (expresia 2). Înlocuiți valoarea x din expresia 1 în loc de x în expresia 2 și obțineți identitatea logaritmică principală:

Deci vedem că fiecare valoare este asociată cu o valoare. Notăm b cu x(), c cu y și obținem astfel o funcție logaritmică:

De exemplu:

Să ne amintim proprietățile de bază ale funcției logaritmice.

Să fim atenți încă o dată, aici, deoarece sub logaritm poate exista o expresie strict pozitivă, ca bază a logaritmului.

Orez. 1. Graficul unei funcții logaritmice în diferite baze

Graficul funcției la este afișat cu negru. Orez. 1. Dacă argumentul crește de la zero la infinit, funcția crește de la minus la plus infinit.

Graficul funcției la este afișat cu roșu. Orez. 1.

Proprietățile acestei funcții:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă în întregul său domeniu de definire. Când crește monoton (strict), o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Când monoton (strict) scade, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

Proprietățile funcției logaritmice sunt cheia pentru rezolvarea unei varietăți de ecuații logaritmice.

Să considerăm cea mai simplă ecuație logaritmică, de regulă, toate celelalte ecuații logaritmice sunt reduse la această formă.

Deoarece bazele logaritmilor și logaritmii înșiși sunt egale, funcțiile de sub logaritm sunt, de asemenea, egale, dar nu trebuie să pierdem domeniul de definiție. Doar un număr pozitiv poate apărea sub logaritm, avem:

Am aflat că funcțiile f și g sunt egale, deci este suficient să alegeți orice inegalitate pentru a respecta ODZ.

Deci am primit sistem mixt, în care există o ecuație și o inegalitate:

De regulă, nu este necesar să se rezolve o inegalitate, este suficient să se rezolve ecuația și să se înlocuiască rădăcinile găsite în inegalitate, efectuând astfel o verificare.

Să formulăm o metodă pentru rezolvarea celor mai simple ecuații logaritmice:

Egalizarea bazelor logaritmilor;

Echivalează funcțiile sublogaritmice;

Efectuați verificarea.

Să ne uităm la exemple specifice.

Exemplul 1 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem primul logaritm pentru a compune inegalitatea:

Exemplul 2 - rezolvați ecuația:

Această ecuație diferă de cea anterioară prin faptul că bazele logaritmilor sunt mai mici decât unu, dar acest lucru nu afectează soluția în niciun fel:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Am primit o inegalitate incorectă, ceea ce înseamnă că rădăcina găsită nu satisface ODZ.

Exemplul 3 - rezolvați ecuația:

Bazele logaritmilor sunt inițial egale, avem dreptul de a echivala expresii sublogaritmice, nu uitați de ODZ, alegem al doilea logaritm pentru a compune inegalitatea:

Să găsim rădăcina și să o înlocuim în inegalitate:

Evident, doar prima rădăcină satisface ODZ.

Să luăm în considerare câteva tipuri de ecuații logaritmice, care nu sunt atât de des discutate în lecțiile de matematică de la școală, dar sunt utilizate pe scară largă în pregătirea sarcinilor competitive, inclusiv pentru examenul de stat unificat.

1. Ecuații rezolvate prin metoda logaritmului

La rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă atât în ​​bază, cât și în exponent, se folosește metoda logaritmului. Dacă, în același timp, exponentul conține un logaritm, atunci ambele părți ale ecuației trebuie să fie logaritmate la baza acestui logaritm.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: x log 2 x+2 = 8.

Soluţie.

Să luăm logaritmul părților stânga și dreaptă ale ecuației la baza 2. Obținem

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Fie log 2 x = t.

Atunci (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t1 = 1; t2 = -3.

Deci log 2 x = 1 și x 1 = 2 sau log 2 x = -3 și x 2 = 1/8

Raspuns: 1/8; 2.

2. Ecuații logaritmice omogene.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Soluţie.

Domeniul ecuației

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 la x = -4. Prin verificare determinăm că valoare dată x nu este rădăcina ecuației inițiale. Prin urmare, putem împărți ambele părți ale ecuației la log 2 3 (x + 5).

Obținem log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Fie log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Atunci t 2 – 3 t + 2 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt 1; 2. Revenind la variabila inițială, obținem o mulțime de două ecuații

Dar ținând cont de existența logaritmului, trebuie să luăm în considerare numai valorile (0; 9). Aceasta înseamnă că expresia din partea stângă ia cea mai mare valoare 2 pentru x = 1. Să considerăm acum funcția y = 2 x-1 + 2 1-x. Dacă luăm t = 2 x -1, atunci va lua forma y = t + 1/t, unde t > 0. În astfel de condiții, are un singur punct critic t = 1. Acesta este punctul minim. Y vin = 2. Și se realizează la x = 1.

Acum este evident că graficele funcțiilor luate în considerare se pot intersecta o singură dată la punctul (1; 2). Rezultă că x = 1 este singura rădăcină a ecuației care se rezolvă.

Răspuns: x = 1.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Soluţie.

Să rezolvăm această ecuație pentru log 2 x. Fie log 2 x = t. Atunci t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t1 = -2; t 2 = 3 – x.

Obținem ecuația log 2 x = -2 sau log 2 x = 3 – x.

Rădăcina primei ecuații este x 1 = 1/4.

Vom găsi rădăcina ecuației log 2 x = 3 – x prin selecție. Acest număr este 2. Această rădăcină este unică, deoarece funcția y = log 2 x este în creștere pe întregul domeniu de definiție, iar funcția y = 3 – x este în scădere.

Este ușor să verificați dacă ambele numere sunt rădăcini ale ecuației

Raspuns:1/4; 2.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Pregătirea pentru proba finală la matematică include o secțiune importantă - „Logaritmi”. Sarcinile din acest subiect sunt incluse în mod necesar în Examenul de stat unificat. Experiența din anii trecuți arată că ecuațiile logaritmice au cauzat dificultăți pentru mulți școlari. Prin urmare, elevii cu diferite niveluri de pregătire trebuie să înțeleagă cum să găsească răspunsul corect și să le facă față rapid.

Trece testul de certificare cu succes folosind portalul educațional Shkolkovo!

În pregătirea pentru unificat examen de stat Absolvenții de liceu au nevoie de o sursă de încredere care să ofere cele mai complete și corecte informații pentru a rezolva cu succes problemele de testare. Cu toate acestea, un manual nu este întotdeauna la îndemână, iar căutarea regulilor și formulelor necesare pe Internet necesită adesea timp.

Portalul educațional Shkolkovo vă permite să vă pregătiți pentru examenul de stat unificat oriunde și oricând. Site-ul nostru web oferă cea mai convenabilă abordare pentru repetarea și asimilarea unei cantități mari de informații despre logaritmi, precum și cu una și mai multe necunoscute. Începeți cu ecuații simple. Dacă le faci față fără dificultate, treci la altele mai complexe. Dacă întâmpinați probleme la rezolvarea unei anumite inegalități, o puteți adăuga la Favorite, astfel încât să puteți reveni la ea mai târziu.

Puteți găsi formulele necesare pentru a finaliza sarcina, repeta cazuri speciale și metode pentru calcularea rădăcinii unei ecuații logaritmice standard, urmărind secțiunea „Ajutor teoretic”. Profesorii Shkolkovo au colectat, sistematizat și prezentat toate materialele necesare promovării cu succes în cea mai simplă și mai înțeleasă formă.

Pentru a face față cu ușurință sarcinilor de orice complexitate, pe portalul nostru vă puteți familiariza cu rezolvarea unor ecuații logaritmice standard. Pentru a face acest lucru, accesați secțiunea „Cataloguri”. Vă prezentăm un numar mare de exemple, inclusiv ecuații ale nivelului de profil al examenului unificat de stat la matematică.

Elevii din școlile din toată Rusia pot folosi portalul nostru. Pentru a începe cursurile, pur și simplu înregistrați-vă în sistem și începeți să rezolvați ecuații. Pentru a consolida rezultatele, vă sfătuim să reveniți zilnic pe site-ul Shkolkovo.

Algebră clasa a XI-a

Subiect: „Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice”

Obiectivele lecției:

educational: construirea cunoștințelor despre în diverse feluri rezolvarea ecuațiilor logaritmice, capacitatea de a le aplica în fiecare situație specifică și de a alege orice metodă de rezolvare;

în curs de dezvoltare: dezvoltarea abilităților de a observa, compara, aplica cunoștințele într-o situație nouă, identifica tipare, generaliza; dezvoltarea abilităților de control reciproc și autocontrol;

educational: promovarea unei atitudini responsabile față de munca educațională, percepția atentă a materialului din lecție și luarea atentă a notelor.

Tipul de lecție : lecție despre introducerea de material nou.

„Invenția logaritmilor, în timp ce a redus munca astronomului, i-a prelungit viața.”
Matematicianul și astronomul francez P.S. Laplace

În timpul orelor

I. Stabilirea scopului lecției

Definiția studiată a logaritmului, proprietăților logaritmilor și funcției logaritmice ne va permite să rezolvăm ecuații logaritmice. Toate ecuațiile logaritmice, indiferent cât de complexe sunt, sunt rezolvate folosind algoritmi uniformi. Ne vom uita la acești algoritmi în lecția de astăzi. Nu sunt mulți dintre ei. Dacă le stăpânești, atunci orice ecuație cu logaritmi va fi fezabilă pentru fiecare dintre voi.

Notați subiectul lecției în caiet: „Metode pentru rezolvarea ecuațiilor logaritmice”. Îi invit pe toți să coopereze.

II. Actualizarea cunoștințelor de referință

Să ne pregătim să studiem subiectul lecției. Rezolvați fiecare sarcină și scrieți răspunsul; nu trebuie să scrieți condiția. Lucrați în perechi.

1) Pentru ce valori ale lui x are sens funcția:

A)

b)

V)

d)

(Răspunsurile sunt verificate pentru fiecare diapozitiv și erorile sunt sortate)

2) Graficele funcțiilor coincid?

a) y = x și

b)Și

3) Rescrieți egalitățile ca egalități logaritmice:

4) Scrieți numerele ca logaritmi cu baza 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Calculați :

6) Încercați să restaurați sau să completați elementele lipsă din aceste egalități.

III. Introducere în material nou

Următoarea declarație este afișată pe ecran:

„Ecuația este cheia de aur care deschide toate susanele matematice.”
Matematicianul polonez modern S. Kowal

Încercați să formulați definiția unei ecuații logaritmice. (Ecuație care conține o necunoscută sub semnul logaritmului ).

Sa luam in considerarecea mai simplă ecuație logaritmică: Buturuga A x = b (unde a>0, a ≠ 1). Deoarece funcția logaritmică crește (sau descrește) pe mulțimea numerelor pozitive și ia toate valorile reale, atunci din teorema rădăcinii rezultă că pentru orice b această ecuație are, și numai una, soluție și una pozitivă.

Amintiți-vă definiția logaritmului. (Logaritmul unui număr x față de baza a este un indicator al puterii la care trebuie ridicată baza a pentru a obține numărul x ). Din definiția logaritmului rezultă imediat căA V este o astfel de solutie.

Notează titlul:Metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice

1. Prin definiția logaritmului .

Așa se rezolvă cele mai simple ecuații ale formei.

Sa luam in considerarenr. 514(a) ): Rezolvați ecuația

Cum iti propui sa o rezolvi? (Prin definiția logaritmului )

Soluţie . , Prin urmare 2x – 4 = 4; x = 4.

Raspuns: 4.

În această sarcină 2x – 4 > 0, deoarece> 0, deci nu pot apărea rădăcini străine șinu trebuie verificat . Nu este nevoie să scrieți condiția 2x – 4 > 0 în această sarcină.

2. Potentizare (tranziție de la logaritmul unei expresii date la această expresie în sine).

Sa luam in considerareNr. 519(g): Buturuga 5 ( X 2 +8)- Buturuga 5 ( X+1)=3 Buturuga 5 2

Ce caracteristică ai observat?(Bazele sunt aceleași și logaritmii celor două expresii sunt egali) . Ce se poate face?(Potențizați).

Trebuie luat în considerare faptul că orice soluție este conținută printre toate x pentru care expresiile logaritmice sunt pozitive.

Soluţie: ODZ:

X 2 +8>0 inegalitate inutilă

Buturuga 5 ( X 2 +8) = Buturuga 5 2 3 + Buturuga 5 ( X+1)

Buturuga 5 ( X 2 +8)= Buturuga 5 (8 X+8)

Să potențam ecuația inițială

X 2 +8= 8 X+8

obținem ecuațiaX 2 +8= 8 X+8

Hai sa o rezolvam:X 2 -8 X=0

x=0, x=8

Răspuns: 0; 8

În generaltrecerea la un sistem echivalent :

Ecuația

(Sistemul conține o condiție redundantă - una dintre inegalități nu trebuie luată în considerare).

Întrebare pentru clasă : Care dintre aceste trei soluții ți-a plăcut cel mai mult? (Discuție despre metode).

Ai dreptul de a decide în orice fel.

3. Introducerea unei noi variabile .

Sa luam in considerarenr. 520(g) . .

Ce ai observat? (Acest ecuație pătratică raportat la log3x) Sugestiile dumneavoastră? (Introduceți o nouă variabilă)

Soluţie . ODZ: x > 0.

Lăsa, atunci ecuația va lua forma:. Discriminant D > 0. Rădăcini conform teoremei lui Vieta:.

Să revenim la înlocuire:sau.

După ce am rezolvat cele mai simple ecuații logaritmice, obținem:

; .

Răspuns : 27;

4. Logaritmul ambelor părți ale ecuației.

Rezolvați ecuația:.

Soluţie : ODZ: x>0, să luăm logaritmul ambelor părți ale ecuației în baza 10:

. Să aplicăm proprietatea logaritmului unei puteri:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Fie logx = y, apoi (y + 3)y = 4

, (D > 0) rădăcini conform teoremei lui Vieta: y1 = -4 și y2 = 1.

Să revenim la înlocuire, obținem: lgx = -4,; logx = 1,. . Este după cum urmează: dacă una dintre funcţii y = f(x) crește, iar cealaltă y = g(x) scade pe intervalul X, apoi ecuația f(x)= g(x) are cel mult o rădăcină pe intervalul X .

Dacă există o rădăcină, atunci poate fi ghicită. .

Răspuns : 2

« Utilizare corectă metodele pot fi învățate
doar aplicându-le la diverse exemple.”
Istoricul danez al matematicii G. G. Zeiten

eu V. Tema pentru acasă

P. 39 luați în considerare exemplul 3, rezolvați nr. 514(b), nr. 529(b), nr. 520(b), nr. 523(b)

V. Rezumând lecția

Ce metode de rezolvare a ecuațiilor logaritmice ne-am uitat în clasă?

În lecțiile următoare ne vom uita la mai multe ecuații complexe. Pentru a le rezolva, metodele studiate vor fi utile.

Ultimul slide afișat:

„Ce este mai mult decât orice în lume?
Spaţiu.
Care este cel mai înțelept lucru?
Timp.
Care este cea mai bună parte?
Obține ceea ce îți dorești.”
Thales

Îi doresc fiecăruia să realizeze ceea ce își dorește. Vă mulțumim pentru cooperare și înțelegere.