Rădăcinile tuturor numerelor. Rădăcină pătrată. Acțiuni cu rădăcini pătrate. Modul. Comparația rădăcinilor pătrate

Formule de rădăcină. Proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule pentru rădăcini ce sunt proprietățile rădăcinilor, și ce se poate face cu toate acestea.

Formulele rădăcinilor, proprietățile rădăcinilor și regulile de lucru cu rădăcinile- acesta este în esență același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce cu siguranță mă face fericit! Sau, mai degrabă, puteți scrie o mulțime de formule diferite, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți oameni se încurcă în cele trei formule de rădăcină, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom proceda secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de acolo vom trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină, definind rădăcina a n-a. În același timp, vom introduce definiții, notații, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr și, în special, a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este un număr al cărui pătrat este egal cu a.

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luăm mai multe numere, de exemplu, 5, −0.3, 0.3, 0 și le pătratăm, obținem numerele 25, 0.09, 0.09 și respectiv 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3.0,3=0,09 şi 02 =0,0=0). Apoi, după definiția dată mai sus, numărul 5 este rădăcina pătrată a numărului 25, numerele −0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate ale lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat că nu pentru niciun număr a există un al cărui pătrat este egal cu a. Și anume, pentru orice număr negativ a nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. De fapt, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b. Prin urmare, nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ în mulțimea numerelor reale. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Din aceasta rezultă întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Acest fapt poate fi justificat prin metoda constructivă folosită pentru a afla valoarea rădăcinii pătrate.

Apoi apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate ale numărului a este două, iar rădăcinile sunt . Să justificăm asta.

Să începem cu cazul a=0 . Mai întâi, să arătăm că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Am spus mai sus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie rădăcina pătrată a lui a numărul b. Să presupunem că există un număr c, care este și rădăcina pătrată a lui a. Atunci, prin definiția unei rădăcini pătrate, sunt adevărate egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , atunci (b−c)·(b+c)=0 . Egalitatea rezultată este valabilă proprietăţile operaţiilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel, numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, este introdus definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a.

Notația pentru rădăcina pătrată aritmetică a lui a este . Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radical. Prin urmare, uneori puteți auzi atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește număr radical, iar expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație numărul 151 este un număr radical, iar în notație expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcina pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă”. Cuvântul „aritmetică” este folosit doar atunci când doresc să sublinieze asta despre care vorbimîn special despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția unei rădăcini pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atasa semnificatie notatiei pana nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinii pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

În încheierea acestui paragraf, observăm că rădăcinile pătrate ale numărului a sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x.

Rădăcina cubă a unui număr

Definiția cube root al numărului a este dat în mod similar definiției rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a este un număr al cărui cub este egal cu a.

Să dăm exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7, 0, −2/3 și cubează-le: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Apoi, pe baza definiției unei rădăcini cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a unui număr, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna, nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcinile pătrate.

Mai mult, există doar o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că, dacă a este pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici un număr negativ, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a, atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a. Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b există o altă rădăcină cubă a numărului a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0, dar b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b·c+c 2 =0. Din prima egalitate avem b=c, iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2, b·c și c 2. Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Când a=0, rădăcina cubă a numărului a este doar numărul zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b, care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil doar când b=0.

Pentru negativ a, pot fi date argumente similare cu cazul pentru pozitiv a. În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și una unică.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicele de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este număr radical, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubă aritmetică este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze notații în care numerele negative se găsesc sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că rădăcina cubă a numărului a este o soluție de forma x 3 =a.

a n-a rădăcină, rădăcină aritmetică de gradul n

Să generalizăm conceptul de rădăcină a unui număr - introducem definiția rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina de gradul întâi a numărului a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu exponent natural am luat un 1 =a.

Mai sus ne-am uitat la cazuri speciale ale rădăcinii a n-a pentru n=2 și n=3 - rădăcină pătrată și rădăcină cubă. Adică, o rădăcină pătrată este o rădăcină de gradul doi, iar o rădăcină cubă este o rădăcină de gradul trei. Pentru a studia rădăcinile de gradul al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcini de grade pare (adică pentru n = 4, 6, 8 , ...), al doilea grup - rădăcini grade impare (adică cu n=5, 7, 9, ...). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile puterilor pare sunt similare cu rădăcinile pătrate, iar rădăcinile puterilor impare sunt similare cu rădăcinile cubice. Să ne ocupăm de ele unul câte unul.

Să începem cu rădăcinile ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par al numărului a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par ale numărului a și sunt numere opuse.

Să argumentăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2 m, unde m este ceva numar natural) de la numărul a . Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de gradul 2·m din numărul a. Atunci b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Dar știm forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0, sau b+c=0, sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Iar ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece pe partea stângă există o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar al numărului a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea unei rădăcini de grad impar 2·m+1 a numărului a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice a lui a. Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) se foloseşte o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, cu m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c în paranteză însăși grad înalt cuibărire, este pozitivă ca suma numerelor pozitive. Acum, trecând secvențial la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de cuibărit, suntem convinși că acestea sunt și pozitive ca sumă a numerelor pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 posibil doar când b−c=0, adică când numărul b este egal cu numărul c.

Este timpul să înțelegem notația rădăcinilor a n-a. În acest scop este dat definiția rădăcinii aritmetice de gradul al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a este un număr nenegativ a cărui putere a n-a este egală cu a.

Și ai dependenta de calculator? Sau credeți că este foarte greu de calculat, de exemplu, decât cu un calculator sau folosind un tabel de pătrate.

Se întâmplă ca școlari să fie legați de un calculator și chiar să înmulțească 0,7 cu 0,5 apăsând pe butoanele prețuite. Ei spun, ei bine, încă știu să calculez, dar acum voi economisi timp... Când va veni examenul... atunci mă voi eforta...

Deci, adevărul este că vor fi deja o mulțime de „momente stresante” în timpul examenului... După cum se spune, apa uzează pietrele. Deci, la un examen, lucrurile mărunte, dacă sunt multe, te pot ruina...

Să minimizăm numărul de probleme posibile.

Luând rădăcina pătrată a unui număr mare

Vom vorbi acum doar despre cazul în care rezultatul extragerii rădăcinii pătrate este un număr întreg.

Cazul 1.

Deci, cu orice preț (de exemplu, când calculăm discriminantul) trebuie să calculăm rădăcina pătrată a lui 86436.

Vom factoriza numărul 86436 în factori primi. Împărțiți la 2, obținem 43218; Împărțiți din nou cu 2, obținem 21609. Un număr nu poate fi divizibil cu 2. Dar, deoarece suma cifrelor este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3 (în general vorbind, este clar că este și divizibil cu 9). . Împărțim din nou cu 3 și obținem 2401. 2401 nu este complet divizibil cu 3. Nu este divizibil cu cinci (nu se termină cu 0 sau 5).

Suspectăm divizibilitatea cu 7. Într-adevăr, și ,

Deci, Comanda completa!

Cazul 2.

Trebuie să calculăm. Este incomod să acționați în același mod ca cel descris mai sus. Încercăm să factorizăm...

Numărul 1849 nu este divizibil cu 2 (nu este par)...

Nu este complet divizibil cu 3 (suma cifrelor nu este multiplu de 3)...

Nu este complet divizibil cu 5 (ultima cifră nu este nici 5, nici 0)...

Nu este complet divizibil cu 7, nu este divizibil cu 11, nu este divizibil cu 13... Ei bine, cât timp ne va dura să sortăm toate numerele prime?

Să gândim puțin diferit.

Înțelegem asta

Ne-am restrâns căutarea. Acum trecem prin numerele de la 41 la 49. Mai mult, este clar că, deoarece ultima cifră a numărului este 9, atunci ar trebui să ne oprim la opțiunile 43 sau 47 - doar aceste numere, la pătrat, vor da ultima cifră 9. .

Ei bine, aici, desigur, ne oprim la 43. Într-adevăr,

P.S. Cum naiba înmulțim 0,7 cu 0,5?

Ar trebui să înmulțiți 5 cu 7, ignorând zerourile și semnele și apoi să separați, mergând de la dreapta la stânga, două zecimale. Primim 0,35.

Ce este o rădăcină pătrată?

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Acest concept este foarte simplu. Natural, as spune. Matematicienii încearcă să găsească o reacție pentru fiecare acțiune. Există adunare - există și scădere. Există înmulțire - există și împărțire. Există pătrare... Așa că există și luând rădăcina pătrată! Asta e tot. Această acțiune ( rădăcină pătrată) la matematică este indicată de această pictogramă:

Icoana în sine este numită un cuvânt frumos "radical".

Cum se extrage rădăcina? E mai bine să te uiți exemple.

Care este rădăcina pătrată a lui 9? Ce număr pătrat ne va da 9? 3 pătrat ne dă 9! Acestea:

Dar care este rădăcina pătrată a lui zero? Nici o problemă! Ce număr la pătrat face zero? Da, dă zero! Mijloace:

Am înţeles, ce este radacina patrata? Atunci luăm în considerare exemple:

Răspunsuri (în dezordine): 6; 1; 4; 9; 5.

Hotărât? Într-adevăr, cât de ușor este asta?!

Dar... Ce face o persoană când vede o sarcină cu rădăcini?

O persoană începe să se simtă tristă... Nu crede în simplitatea și lejeritatea rădăcinilor sale. Deși pare să știe ce este rădăcina pătrată...

Acest lucru se datorează faptului că persoana a ignorat câteva puncte importante atunci când a studiat rădăcinile. Atunci aceste mofturi se răzbună crunt pe teste și examene...

Punctul unu. Trebuie să recunoști rădăcinile din vedere!

Care este rădăcina pătrată a lui 49? Șapte? Dreapta! De unde ai știut că era șapte? A pătrat șapte și a primit 49? Dreapta! Te rog noteaza asta extrage rădăcina din 49 trebuia sa facem operatiunea inversa - careul 7! Și asigură-te că nu ratam. Sau ar fi putut rata...

Aceasta este dificultatea extragerea rădăcinilor. Pătrat Puteți folosi orice număr fără probleme. Înmulțiți un număr cu el însuși cu o coloană - asta-i tot. Dar pentru extragerea rădăcinilor Nu există o astfel de tehnologie simplă și sigură. Trebuie să ne ridica răspundeți și verificați dacă este corect, punându-l la pătrat.

Acest proces creativ complex - alegerea unui răspuns - este mult simplificat dacă dvs tine minte pătratele numerelor populare. Ca o masă de înmulțire. Dacă, să zicem, trebuie să înmulțiți 4 cu 6, nu adunați de patru de 6 ori, nu-i așa? Răspunsul 24 apare imediat Deși, nu toată lumea îl înțelege, da...

În mod gratuit și munca de succes cu rădăcini este suficient să cunoaștem pătratele numerelor de la 1 la 20. Mai mult AcoloȘi înapoi. Acestea. ar trebui să puteți recita cu ușurință atât, de exemplu, 11 pătrat, cât și rădăcina pătrată a lui 121. Pentru a realiza această memorare, există două moduri. Primul este să înveți tabelul pătratelor. Acesta va fi de mare ajutor în rezolvarea exemplelor. Al doilea este de a rezolva mai multe exemple. Acest lucru vă va ajuta foarte mult să vă amintiți tabelul cu pătrate.

Și fără calculatoare! Numai în scopuri de testare. Altfel, vei încetini fără milă în timpul examenului...

Asa de, ce este rădăcina pătrată Si cum extrage rădăcinile- Cred că e clar. Acum haideți să aflăm DIN CE le putem extrage.

Punctul doi. Root, nu te cunosc!

Din ce numere poți lua rădăcini pătrate? Da, aproape oricare dintre ele. Este mai ușor de înțeles de la ce este este interzis extrage-le.

Să încercăm să calculăm această rădăcină:

Pentru a face acest lucru, trebuie să alegem un număr care pătratul ne va da -4. Selectam.

Ce, nu se potrivește? 2 2 dă +4. (-2) 2 dă din nou +4! Gata... Nu există numere care, la pătrat, să ne dea un număr negativ! Deși știu aceste numere. Dar nu vă spun). Du-te la facultate și vei afla singur.

Aceeași poveste se va întâmpla cu orice număr negativ. De aici concluzia:

O expresie în care există un număr negativ sub semnul rădăcinii pătrate - nu are sens! Aceasta este o operațiune interzisă. Este la fel de interzis ca împărțirea la zero. Amintiți-vă cu fermitate acest fapt! Sau cu alte cuvinte:

Nu poți extrage rădăcini pătrate din numere negative!

Dar dintre toate celelalte, este posibil. De exemplu, este foarte posibil să se calculeze

La prima vedere, acest lucru este foarte dificil. Selectarea fracțiilor și pătrarea lor... Nu vă faceți griji. Când înțelegem proprietățile rădăcinilor, astfel de exemple vor fi reduse la același tabel de pătrate. Viața va deveni mai ușoară!

Bine, fracții. Dar încă întâlnim expresii precum:

E bine. Tot la fel. Rădăcina pătrată a lui doi este numărul care, la pătrat, ne dă doi. Doar acest număr este complet neuniform... Iată-l:

Ceea ce este interesant este că această fracție nu se termină niciodată... Astfel de numere se numesc iraționale. În rădăcini pătrate, acesta este cel mai comun lucru. Apropo, de aceea se numesc expresiile cu rădăcini iraţional. Este clar că a scrie o astfel de fracție infinită tot timpul este incomod. Prin urmare, în loc de o fracție infinită, o lasă așa:

Dacă, atunci când rezolvați un exemplu, ajungeți cu ceva care nu poate fi extras, cum ar fi:

apoi o lăsăm așa. Acesta va fi răspunsul.

Trebuie să înțelegeți clar ce înseamnă pictogramele

Desigur, dacă se ia rădăcina numărului neted, trebuie să faci asta. Răspunsul la sarcină este sub formă, de exemplu

Un răspuns destul de complet.

Și, desigur, trebuie să cunoașteți valorile aproximative din memorie:

Aceste cunoștințe ajută foarte mult la evaluarea situației în sarcini complexe.

Punctul trei. Cel mai viclean.

Principala confuzie în lucrul cu rădăcini este cauzată de acest punct. El este cel care dă incertitudine propria putere... Să ne ocupăm de această problemă în mod corespunzător!

Mai întâi, să luăm din nou rădăcina pătrată a patru dintre ele. V-am deranjat deja cu această rădăcină?) Nu contează, acum va fi interesant!

Ce număr înseamnă 4 pătrat? Ei bine, doi, doi - aud răspunsuri nemulțumite...

Dreapta. Două. Dar de asemenea minus doi va da 4 pătrat... Între timp, răspunsul

corect si raspunsul

greseala grosolana. Ca aceasta.

Deci care e treaba?

Într-adevăr, (-2) 2 = 4. Și sub definiția rădăcinii pătrate a lui patru minus doi destul de potrivit... Aceasta este și rădăcina pătrată a lui patru.

Dar! ÎN curs şcolar Matematicienii iau în considerare de obicei rădăcinile pătrate doar numere nenegative! Adică zero și toate pozitive. Chiar și un termen special a fost inventat: din număr A- Acest nenegativ număr al cărui pătrat este A. Rezultatele negative la extragerea unei rădăcini pătrate aritmetice sunt pur și simplu aruncate. La școală, totul este rădăcină pătrată - aritmetic. Deși acest lucru nu este menționat în mod deosebit.

Bine, e de înțeles. Este chiar mai bine - nu te deranja rezultate negative... Aceasta nu este încă o confuzie.

Confuzia începe la rezolvarea ecuațiilor pătratice. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație.

Ecuația este simplă, scriem răspunsul (cum este predat):

Acest răspuns (absolut corect, de altfel) este doar o versiune prescurtată Două raspunsuri:

Opreste opreste! Chiar mai sus am scris că rădăcina pătrată este un număr Mereu nenegativ! Și iată unul dintre răspunsuri - negativ! Tulburare. Aceasta este prima (dar nu ultima) problemă care provoacă neîncredere în rădăcini... Să rezolvăm această problemă. Să notăm răspunsurile (doar pentru înțelegere!) astfel:

Parantezele nu schimbă esența răspunsului. Am separat-o doar cu paranteze semne din rădăcină. Acum puteți vedea clar că rădăcina în sine (în paranteze) este încă un număr nenegativ! Și semnele sunt rezultatul rezolvării ecuației. La urma urmei, atunci când rezolvăm orice ecuație trebuie să scriem Toate X care, atunci când sunt înlocuite în ecuația originală, vor da rezultatul corect. Rădăcina lui cinci (pozitivă!) cu un plus și un minus se încadrează în ecuația noastră.

Ca aceasta. daca tu luați doar rădăcina pătrată din orice, tu Mereu primesti unul nenegativ rezultat. De exemplu:

Pentru ca - rădăcină pătrată aritmetică.

Dar dacă decizi ceva ecuație pătratică, tip:

Acea Mereu se dovedește Două raspuns (cu plus si minus):

Pentru că aceasta este soluția ecuației.

Speranţă, ce este rădăcina pătrată Ai punctele clare. Acum rămâne să aflăm ce se poate face cu rădăcinile, care sunt proprietățile lor. Și care sunt punctele și capcanele... scuze, pietre!)

Toate acestea sunt în următoarele lecții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.