Piramidă. Formule și proprietăți ale piramidei. Zona suprafeței laterale și totale a conului

Ce figură numim piramidă? În primul rând, este un poliedru. În al doilea rând, la baza acestui poliedru se află un poligon arbitrar, iar laturile piramidei (fețele laterale) au în mod necesar forma unor triunghiuri convergente la un vârf comun. Acum, după ce am înțeles termenul, să aflăm cum să găsim suprafața piramidei.

Este clar că suprafața unui astfel de corp geometric este alcătuită din suma suprafețelor bazei și a întregii sale suprafețe laterale.

Calcularea ariei bazei unei piramide

Alegerea formulei de calcul depinde de forma poligonului care stă la baza piramidei noastre. Poate fi regulat, adică cu laturile de aceeași lungime, sau neregulat. Să luăm în considerare ambele opțiuni.

Baza este un poligon regulat

Din curs şcolar cunoscut:

• aria pătratului va fi egală cu lungimea laturii sale la pătrat;
• Aria unui triunghi echilateral este egală cu pătratul laturii sale împărțit la 4 și înmulțit cu rădăcina pătrată a lui trei.

Dar există și o formulă generală pentru calcularea ariei oricărui poligon regulat (Sn): trebuie să înmulțiți perimetrul acestui poligon (P) cu raza cercului înscris în el (r), apoi să împărțiți rezultat cu doi: Sn=1/2P*r .

La bază este un poligon neregulat

Schema de găsire a ariei sale este să împărțiți mai întâi întregul poligon în triunghiuri, să calculați aria fiecăruia dintre ele folosind formula: 1/2a*h (unde a este baza triunghiului, h este înălțimea coborâtă la această bază), adunați toate rezultatele.

Suprafața laterală a piramidei

Acum să calculăm aria suprafeței laterale a piramidei, adică. suma ariilor tuturor laturilor sale laterale. Există și 2 opțiuni aici.

1. Să avem o piramidă arbitrară, adică. unul cu un poligon neregulat la bază. Apoi ar trebui să calculați aria fiecărei fețe separat și să adăugați rezultatele. Deoarece laturile unei piramide, prin definiție, pot fi doar triunghiuri, calculul se efectuează folosind formula menționată mai sus: S=1/2a*h.
2. Să fie piramida noastră corectă, adică. la baza sa se află un poligon regulat, iar proiecția vârfului piramidei este în centrul acesteia. Apoi, pentru a calcula aria suprafeței laterale (Sb), este suficient să găsiți jumătate din produsul perimetrului poligonului de bază (P) și înălțimea (h) a laturii laterale (la fel pentru toate fețele). ): Sb = 1/2 P*h. Perimetrul unui poligon se determină prin adăugarea lungimilor tuturor laturilor acestuia.

Suprafața totală a unei piramide obișnuite este găsită prin însumarea aria bazei sale cu aria întregii suprafețe laterale.

Exemple

De exemplu, să calculăm algebric suprafețele mai multor piramide.

Suprafața unei piramide triunghiulare

La baza unei astfel de piramide se află un triunghi. Folosind formula So=1/2a*h găsim aria bazei. Folosim aceeași formulă pentru a găsi aria fiecărei fețe a piramidei, care are și o formă triunghiulară, și obținem 3 zone: S1, S2 și S3. Aria suprafeței laterale a piramidei este suma tuturor ariilor: Sb = S1+ S2+ S3. Prin adunarea suprafețelor laturilor și bazei, obținem suprafața totală a piramidei dorite: Sp= So+ Sb.

Suprafața unei piramide patruunghiulare

Aria suprafeței laterale este suma a 4 termeni: Sb = S1+ S2+ S3+ S4, fiecare dintre care se calculează folosind formula pentru aria unui triunghi. Și zona bazei va trebui căutată, în funcție de forma patrulaterului - regulat sau neregulat. Suprafața totală a piramidei se obține din nou prin adăugarea suprafeței bazei și a suprafeței totale a piramidei date.

• Problema 1. Aflați suprafața totală a piramidei
• Problema 2. Aflați aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare regulate

Problema 1. Găsiți suprafața totală a unei piramide obișnuite

Soluţie.

La baza unei piramide triunghiulare regulate se află un triunghi echilateral.
Prin urmare, pentru a rezolva problema, vom folosi proprietățile unui triunghi obișnuit:

Cunoaștem înălțimea triunghiului, de unde îi putem găsi aria.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

De unde aria bazei va fi egală cu:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Conform problemei, unghiul OKM este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să folosim tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice și să înlocuim valori cunoscute.

OK / MK = √2/2

Să luăm în considerare că OK este egal cu raza cercului înscris. Apoi
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Apoi
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Aria feței laterale este apoi egală cu jumătate din produsul înălțimii și bazei triunghiului.
Sside = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Astfel, suprafața totală a piramidei va fi egală cu
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Răspuns: 3√3 + 18/√6

Problema 2. Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide regulate

Soluţie.

Deoarece baza unei piramide triunghiulare regulate este un triunghi echilateral, AO este raza cercului circumscris bazei.
(Aceasta decurge din)

Din proprietățile sale găsim raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi echilateral

De unde lungimea marginilor unei piramide triunghiulare regulate va fi egală cu:
AM 2 = MO 2 + AO 2
înălțimea piramidei este cunoscută prin condiție (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Fiecare parte a piramidei este un triunghi isoscel. Găsim aria unui triunghi isoscel din prima formulă prezentată mai jos

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Deoarece toate cele trei fețe ale unei piramide obișnuite sunt egale, aria suprafeței laterale va fi egală cu
3S = 48 √(91/3)

Răspuns: 48 √(91/3)

Problema 3. Aflați suprafața totală a unei piramide obișnuite

Latura unei piramide triunghiulare obișnuite este de 3 cm, iar unghiul dintre fața laterală și baza piramidei este de 45 de grade. Aflați suprafața totală a piramidei.

Soluţie.
Deoarece piramida este regulată, există un triunghi echilateral la baza ei. Prin urmare, aria bazei este


Deci = 9 * √3/4

Pentru a găsi aria feței laterale, calculăm înălțimea KM. Conform problemei, unghiul OKM este de 45 de grade.
Prin urmare:
OK / MK = cos 45
Să profităm

Piramidă- una dintre varietățile de poliedru format din poligoane și triunghiuri care se află la bază și sunt fețele acestuia.

Mai mult, în vârful piramidei (adică la un moment dat) toate fețele sunt unite.

Pentru a calcula aria piramidei, merită să determinați că este suprafata laterala este format din mai multe triunghiuri. Și putem găsi cu ușurință zonele lor folosind

diverse formule. În funcție de ce date știm despre triunghiuri, căutăm aria lor.

Enumerăm câteva formule care pot fi folosite pentru a găsi aria triunghiurilor:

1. S = (a*h)/2 . În acest caz, știm înălțimea triunghiului h , care este coborât în ​​lateral A .
2. S = a*b*sinβ . Iată laturile triunghiului A , b , iar unghiul dintre ele este β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Iată laturile triunghiului a, b, c . Raza unui cerc care este înscris într-un triunghi este r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi este R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Această formulă ar trebui folosit numai atunci când triunghiul este un triunghi dreptunghic.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicam aceasta formula unui triunghi echilateral.

Numai după ce calculăm ariile tuturor triunghiurilor care sunt fețele piramidei noastre putem calcula aria suprafeței sale laterale. Pentru a face acest lucru, vom folosi formulele de mai sus.

Pentru a calcula aria suprafeței laterale a unei piramide, nu apar dificultăți: trebuie să aflați suma ariilor tuturor triunghiurilor. Să exprimăm asta cu formula:

Sp = ΣSi

Aici Si este aria primului triunghi și S P - zona suprafeței laterale a piramidei.

Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere o piramidă regulată, fețele sale laterale sunt formate din mai multe triunghiuri echilaterale,

« Geometria este cel mai puternic instrument de ascuțire a abilităților noastre mentale».

Galileo Galilei.

iar pătratul este baza piramidei. În plus, marginea piramidei are o lungime de 17 cm Să găsim aria suprafeței laterale a acestei piramide.

Raționăm astfel: știm că fețele piramidei sunt triunghiuri, sunt echilaterale. Știm, de asemenea, care este lungimea marginii acestei piramide. Rezultă că toate triunghiurile au laturile egale și lungimea lor este de 17 cm.

Pentru a calcula aria fiecăruia dintre aceste triunghiuri, puteți utiliza următoarea formulă:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Deci, din moment ce știm că pătratul se află la baza piramidei, se dovedește că avem patru triunghiuri echilaterale. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei poate fi calculată cu ușurință folosind următoarea formulă: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Răspunsul nostru este următorul: 500,548 cm² - aceasta este aria suprafeței laterale a acestei piramide.

este o figură cu mai multe fațete, a cărei bază este un poligon, iar fețele rămase sunt reprezentate prin triunghiuri cu un vârf comun.

Dacă baza este un pătrat, atunci se numește piramida patruunghiular, dacă un triunghi – atunci triunghiular. Înălțimea piramidei este trasată de la vârful ei perpendicular pe bază. Folosit și pentru a calcula suprafața apotema– înălțimea feței laterale, coborâtă din vârful acesteia.
Formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide este suma ariilor fețelor sale laterale, care sunt egale între ele. Cu toate acestea, această metodă de calcul este utilizată foarte rar. Practic, aria piramidei este calculată prin perimetrul bazei și apotema:

Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide.

Să fie dată o piramidă cu baza ABCDE și vârful F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Să găsim perimetrul. Deoarece toate marginile bazei sunt egale, perimetrul pentagonului va fi egal cu:
Acum puteți găsi aria laterală a piramidei:

Aria unei piramide triunghiulare regulate

O piramidă triunghiulară regulată constă dintr-o bază în care se află un triunghi regulat și trei fețe laterale care sunt egale ca suprafață.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide triunghiulare regulate poate fi calculată căi diferite. Puteți aplica formula de calcul obișnuită folosind perimetrul și apotema sau puteți găsi aria unei fețe și o puteți înmulți cu trei. Deoarece fața unei piramide este un triunghi, aplicăm formula pentru aria unui triunghi. Va necesita o apotema și lungimea bazei. Să luăm în considerare un exemplu de calcul al suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite.

Având în vedere o piramidă cu apotema a = 4 cm și fața de bază b = 2 cm Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Mai întâi, găsiți zona uneia dintre fețele laterale. In acest caz va fi:
Înlocuiți valorile în formula:
Deoarece într-o piramidă obișnuită toate laturile sunt aceleași, aria suprafeței laterale a piramidei va fi egală cu suma ariilor celor trei fețe. Respectiv:

Aria unei piramide trunchiate

Trunchiat O piramidă este un poliedru format dintr-o piramidă și secțiunea transversală a acesteia paralelă cu baza.
Formula pentru suprafața laterală a unei piramide trunchiate este foarte simplă. Aria este egală cu produsul dintre jumătate din suma perimetrelor bazelor și apotema:

Când se pregătesc pentru examenul de stat unificat la matematică, studenții trebuie să-și sistematizeze cunoștințele de algebră și geometrie. Aș dori să combin toate informațiile cunoscute, de exemplu, despre cum să calculez aria unei piramide. Mai mult, începând de la marginile de bază și laterale până la întreaga suprafață. Dacă situația cu fețele laterale este clară, deoarece acestea sunt triunghiuri, atunci baza este întotdeauna diferită.

Cum să găsiți aria bazei piramidei?

Poate fi absolut orice cifră: de la un triunghi arbitrar la un n-gon. Și această bază, pe lângă diferența dintre numărul de unghiuri, poate fi o figură obișnuită sau una neregulată. În sarcinile Unified State Exam care îi interesează pe școlari, există doar sarcini cu cifre corecte la bază. Prin urmare, vom vorbi doar despre ele.

Triunghi regulat

Adică echilateral. Acela în care toate părțile sunt egale și sunt desemnate cu litera „a”. În acest caz, aria bazei piramidei este calculată prin formula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Pătrat

Formula pentru calcularea ariei sale este cea mai simplă, aici „a” este din nou partea:

N-gon regulat arbitrar

Latura unui poligon are aceeași notație. Pentru numărul de unghiuri se folosește litera latină n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Ce să faci când calculezi suprafața laterală și totală?

Deoarece baza este o figură obișnuită, toate fețele piramidei sunt egale. Mai mult, fiecare dintre ele este un triunghi isoscel, deoarece marginile laterale sunt egale. Apoi, pentru a calcula aria laterală a piramidei, veți avea nevoie de o formulă constând din suma monomiilor identice. Numărul de termeni este determinat de numărul de laturi ale bazei.

Aria unui triunghi isoscel se calculează prin formula în care jumătate din produsul bazei este înmulțit cu înălțimea. Această înălțime în piramidă se numește apotema. Denumirea sa este „A”. Formula generala pentru suprafața laterală arată astfel:

S = ½ P*A, unde P este perimetrul bazei piramidei.

Există situații când laturile bazei nu sunt cunoscute, ci nervurile laterale (c) și unghi plat la vârful său (α). Apoi, trebuie să utilizați următoarea formulă pentru a calcula aria laterală a piramidei:

S = n/2 * în 2 sin α .

Sarcina nr. 1

Condiție. Aflați aria totală a piramidei dacă baza ei are o latură de 4 cm și apotema are o valoare de √3 cm.

Soluţie. Trebuie să începeți prin a calcula perimetrul bazei. Deoarece acesta este un triunghi regulat, atunci P = 3*4 = 12 cm Deoarece apotema este cunoscută, putem calcula imediat aria întregii suprafețe laterale: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Pentru triunghiul de la bază, obțineți următoarea valoare a ariei: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Pentru a determina întreaga zonă, va trebui să adăugați cele două valori rezultate: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Răspuns. 10√3 cm 2.

Problema nr. 2

Condiție. Există o piramidă patruunghiulară obișnuită. Lungimea laturii de bază este de 7 mm, marginea laterală este de 16 mm. Este necesar să-i aflați suprafața.

Soluţie. Deoarece poliedrul este patruunghiular și regulat, baza lui este un pătrat. Odată ce cunoașteți aria fețelor de bază și laterale, veți putea calcula aria piramidei. Formula pătratului este dată mai sus. Și pentru fețele laterale, toate laturile triunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, puteți folosi formula lui Heron pentru a calcula suprafețele lor.

Primele calcule sunt simple și duc la următorul număr: 49 mm 2. Pentru a doua valoare, va trebui să calculați semiperimetrul: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Acum puteți calcula aria unui triunghi isoscel: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Există doar patru astfel de triunghiuri, așa că atunci când calculați numărul final, va trebui să-l înmulțiți cu 4.

Rezultă: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 mm 2.

Răspuns. Valoarea dorită este 267,576 mm 2.

Sarcina nr. 3

Condiție. Pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită, trebuie să calculați aria. Se știe că latura pătratului este de 6 cm, iar înălțimea este de 4 cm.

Soluţie. Cel mai simplu mod este de a folosi formula cu produsul perimetrului și apotemului. Prima valoare este ușor de găsit. Al doilea este un pic mai complicat.

Va trebui să ne amintim teorema lui Pitagora și să considerăm Este format din înălțimea piramidei și apotema, care este ipotenuza. Al doilea picior este egal cu jumătate din latura pătratului, deoarece înălțimea poliedrului cade în mijlocul său.

Apotema căutată (ipotenuză triunghi dreptunghic) este egal cu √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Acum puteți calcula valoarea necesară: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Răspuns. 96 cm2.

Problema nr. 4

Condiție. Este dată partea corectă: laturile bazei sale sunt de 22 mm, marginile laterale sunt de 61 mm. Care este suprafața laterală a acestui poliedru?

Soluţie. Raționamentul din acesta este același cu cel descris în sarcina nr. 2. Numai acolo a fost dată o piramidă cu un pătrat la bază, iar acum este un hexagon.

În primul rând, aria de bază este calculată folosind formula de mai sus: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Acum trebuie să aflați semiperimetrul unui triunghi isoscel, care este fața laterală. (22+61*2):2 = 72 cm Tot ce rămâne este să folosiți formula lui Heron pentru a calcula aria fiecărui astfel de triunghi, apoi să o înmulțiți cu șase și să o adăugați la cea obținută pentru bază.

Calcule folosind formula lui Heron: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Calcule care vor da aria suprafeței laterale: 660 * 6 = 3960 cm 2. Rămâne să le adunăm pentru a afla întreaga suprafață: 5217,47≈5217 cm 2.

Răspuns. Baza este de 726√3 cm2, suprafața laterală este de 3960 cm2, întreaga suprafață este de 5217 cm2.